Расстояние от точки до плоскости

1. . Задание 13. Расстояние от точки до плоскости.

2.

Поэтапно вычислительный метод.
Расстояние от точки М до плоскости (АВС), не содержащей
эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного
из этой точки на плоскость.
Через точку М провести
плоскость α, перпендикулярную
плоскости (АВС) и опустить
перпендикуляр на пересечение
плоскостей α и(АВС). Длина
полученного перпендикуляра
=ρ(М;(АВС))
11.06.2022
α
М
ρ
С
А
В
2

3.

Метод параллельных прямых и плоскостей.
Расстояние от точки M
до плоскости (АВС) равно
расстоянию до плоскости (АВС)
от произвольной точки P ,
лежащей на прямой l , которая
проходит через точку M и
параллельна плоскости АВС.
11.06.2022
М
l
P
ρ
ρ
С
А
В
3

4.

Метод параллельных плоскостей.
Расстояние от точки M
до плоскости (АВС) равно
расстоянию до плоскости (АВС)
от произвольной точки P ,
лежащей на плоскости α ,
которая проходит через
точку M и параллельна
плоскости (АВС) .
11.06.2022
α
М
ρ
P
ρ
С
А
В
4

5.

Метод объемов.
Если объём пирамиды АВСМ
равен VABCM , то расстояние от
точки M до плоскости (АВС)
вычисляют по формуле
3VМАВС
ρ(М;(АВС))=
S АВС
М
ρ
С
А
В
В общем случае рассматривают равенство объёмов одной
фигуры, выраженные двумя независимыми способами.
11.06.2022
5

6.

Координатный метод .
1)
2)
3)
4)
Ввести удобную систему координат.
Вычислить координаты точек M, А, В и С.
Написать уравнение плоскости ax+by+cz+d=0
Найти ρ(М;(АВС)) по формуле;
( М ; ( ABС ))
ax M byM cz M d
a2 b2 c 2
Вывод уравнения плоскости смотри по адресу:
http://ta-shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/koordinatnyj_metod_kljuchevye_zadachi/14-1-0-73
Как вычислить координаты внутренней точки
С отрезка АВ, если АС:СВ=k?
x A kxB yA kyB z A kz B
С
;
;
k 1
k 1
k 1
11.06.2022
6

7.

Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника
ABC, если известно, что SA=2 , AC= AB=4 и
BC= SC= SB= 2 3 .
Решение:
Д. п. М – середина ВС
S
ВС АМ
ВС SM
( АМS ) ВС
( АВС ) ( АМS )
(АВС) проходит через ВС
С
( АВС ) ( АМS ) AM
Д. п. SH AM
А
H
M
В
11.06.2022
( S ; ( АВС ))
SH
Найдем неизвестные стороны
треугольника ASM
7

8.

Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника
ABC, если известно, что SA=2 , AC= AB=4 и
BC= SC= SB= 2 3 .
Решение:
Из треугольника АМВ
S
Из треугольника SMC
S
2 3
С
2
?
3
А
H
4
M
3
В
H
А
АМ 4 2 ( 3 )2
SМ ( 2 3 )2 ( 3 )2 3
( 13 )2 3 2 2 2
cos М
2 13 3
3
2
3
sin М 1
13
11.06.2022
3
13
2
13
M
13
Из треугольника SНM
AН sin M SM
13
2
6
3
13
13
Ответ:
6
13
8

9.

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от
точки С₁ до плоскости АВ₁С .
С₁
Решение:
А1С1 || АС А1С1 || ( АВ1С )
( С1 ; ( АВ1С )) ( О1 ; ( АВ1С ))
В1
O1
E
С
А1
В
D1
O
А
Гусаревич Александр 10В.
(медиана р/б
треугольника АВ1С )
ВО АС (диагонали квадрата)
В1О АС
( ВВ1О1 ) AС
(АВ1С) проходит через АС
D ( АВ1С ) ( ВВ1О1 ) ( O ; ( АВ С ))
1
1
( АВ1С ) ( ВВ1О1 ) B1O
O1 E
Д. п. О1 Е В1О
Найдем неизвестные стороны
треугольника ВВ1О

10.

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от
точки С₁ до плоскости АВ₁С .
С₁
В1
Решение: В1О1
2 (половина диагонали
2 единичного квадрата)
ОО1 1 (= ребру куба)
O1
D1
Из треугольника ВВ1О
2
E
2
2
В1О 1
2
С
А1
SB1OO 1
В
O
А
Гусаревич Александр 10В.
D
EO1
1
2
B1O1 OO1
2
4
SB1OO 1
1
3
3
2
1
2 1 3
B1O EO1
EO1
2
4
2 2
Ответ:
3
3

11.

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости
основания ABC. Найдите расстояние от точки A до
плоскости, проходящей через середины ребер AB, AC и AD,
если AD= 2 5 ,AB=AC=10, BC= 4 5
D
Решение:
3VKAMN
ρ(A;(KMN))=
SKMN
K
MN
H
M
1
BC 2 5 (средняя линия треугольника АВС)
2
Из треугольника ADC DC ( 2 5 )2 10 2
C
120 2 30
A
KM KN 30
N
B
K
30
30
5
N
Е
(средние линии равных
треугольников ADB и ADC)
M
KЕ ( 30 )2 ( 5 )2 5
1
1
SKMN NM KE 2 5 5 5 5
2
2

12.

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости
основания ABC. Найдите расстояние от точки A до
плоскости, проходящей через середины ребер AB, AC и AD,
если AD= 2 5 ,AB=AC=10, BC= 4 5
D
Решение:
А
AQ 5 2 ( 5 )2 2 5
5
K
5
S AMN
5
H
M
C
N
A
N
VKAMN
B
ρ(A;(KMN))=
Q
M
1
MN AQ
2
1
2 5 2 5 10
2
1
10 5
1
10
5
S AMN AK
3
3
3
10 5
1
3VKAMN
3
2
3
5 5
SKMN
Ответ: 2

13.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А1
до плоскости ВD1Е.
Решение:
E1
Z
Введем прямоугольную систему координат
D1
Тогда: А1 ( 1;0 ;1 ) В(?; ?;0 ) Е (?; ?;0 )
C1
F
1
A1
D1 ( 1;0 ;1 )
Е
D
yЕ
B1
хЕ
F
E
yЕ
F
X
хB
A
хЕ
1
2
хB
D
A
C
yB
C
?
yB
1
Y
B
2
Y
X
3
1
уЕ
уВ 12
2
2
B
1 3
1
3
В( ;
;0 ) Е ( ;
;0 )
2 2
2
2

14.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А1
до плоскости ВD1Е.
Решение:
1 3
;
;0 )
2 2
1
3
;
;0 )
D1 ( 1;0 ;1 )
А1 ( 1;0 ;1 )
2
2
Выведем уравнение плоскости (ВЕD1) ax by cz d 0
В(
Е(
1
3
1
a
3
a
b d 0
b
a
b
0
2
2
d 0 2
2
3
1
3
a z 0 z a
a
b
d
0
2
2
a
1
или
ax
y
az
0
x
y z 0
a
z
d
0
3
3
Вычислим ρ(А;(ВЕD1)) по формуле
1 1 0
( А; ( ВЕD1 ))
1
3
Ответ: 2 21
1 1
2
1
2
12
1
3
2
2 21
7
7
3
7

15.

1) В кубе ABCDA1В1С1D1 , ребро которого равно 4, точки
E и F – середины ребер AB и C1B1 соответственно, а точка
P расположена на ребре CD так, что CP= 3PD . Найдите
расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF .
В1
А1
Z
Решение:
Введем прямоугольную систему координат
F
Тогда: А1 ( 4 ;0 ;4 ) Е ( 2 ;0 ;0 )
С₁
F ( 0 ;2 ;4 ) P ( 3 ;4 ;0 )
Выведем уравнение плоскости (ЕFP)
D1
ax by cz d 0
В
E
А
С
X
Y
D
11.06.2022
2a 0 b 0 z d 0
0 a 2 b 4 z d 0
3a 4 b 0 z d 0
P
15

16.

1) В кубе ABCDA1В1С1D1 , ребро которого равно 4, точки
E и F – середины ребер AB и C1B1 соответственно, а точка
P расположена на ребре CD так, что CP= 3PD . Найдите
расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF .
Решение:
А1 ( 4 ;0 ;4 )
2a 0 b 0 c d 0
0 a 2 b 4 c d 0
3a 4 b 0 c d 0
d 2 a
2b 4 c 2a 0
a
b
4
11.06.2022
Е ( 2 ;0 ;0 )
F ( 0 ; 2 ;4 )
d 2 a
2b 4 c d 0
3a 4 b d 0
d 2 a
a
4 c 2a 0
2
a
b
4
P ( 3 ;4 ;0 )
d 2 a
2b 4 c 2a 0
3a 4 b 2 a 0
d 2 a
5a
c
8
a
b 4
16

17.

1) В кубе ABCDA1В1С1D1 , ребро которого равно 4, точки
E и F – середины ребер AB и C1B1 соответственно, а точка
P расположена на ребре CD так, что CP= 3PD . Найдите
расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF .
Решение:
А1 ( 4 ;0 ;4 )
d 2 a
5a
c
8
a
b
4
( A1 ; ( EFP ))
32 20 16
Е ( 2 ;0 ;0 )
P ( 3 ;4 ;0 )
ax by cz d 0
a
5a
ax y
z 2a 0 8 x 2 y 5 z 16 0
4
8
Вычислим ρ(А1;(EFP)) по формуле
ax A1 by A1 cz A1 d
a 2 b2 c 2
36 93
93
64 4 25
93
11.06.2022
F ( 0 ; 2 ;4 )
36
8 4 2 0 5 4 16
8 ( 2 ) 5
2
2
2
Ответ: 12 93
31
17

18.

2) В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найти
расстояние от точки А1 до плоскости ВD1Е.
E1
D1
Решение: А1 F1 || BE А1 F1 || ( BD1 E )
( A1 ; ( BD1 E )) ( F1 ; ( BD1 E ))
Е
C1
F1
A1
FD BE
B1
FF1 BE
D
К
F
C
H
E
К
C
F
A
( FF1 D1 ) BE
D
B
A
B
(BD1E) проходит через BE
( FF1 D1 ) ( BD1 E )
( FF1 D1 ) ( ВD1 E ) KD1
Д. п. F1 H KD1
( F1 ; ( BD1 E ))
F1 H

19.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А1
до плоскости ВD1Е.
Решение:
E1
D1
C1
F1
A1
F1H найдем как высоту
треугольника F1D1K.
Для этого найдем его стороны.
B1
Е
D
H
E
D
К
C
F
A
Из треугольника FED: F
B
К
FD 2 12 12 2 1 1 cos 120 0 A
FD 3 F1 D1
FК
1
3
FD
2
2
C
B

20.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А1
до плоскости ВD1Е.
E1
D1
C1
F1
A1
1
3
FК FD
2
2
Решение:
B1
3
2
F1 К 1
2
3
B
7
2
D1
?
C
F
A
F1
D
К
F1 К D1 K
H
E
2
H
7
2
7
2
К

21.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А1
до плоскости ВD1Е.
Решение:
F1
3
?
D1
F1 H 2 F1 K 2 KH 2 F1 D1 D1 H 2
2
х
2
7 7
x 3 x 2
4 2
H
7
2
7
х
2
7
2
3
x
HD1
7
К
HF1
2 3
Ответ :
.
7
3
2
2
3
2 3
7
7

22.

3) В правильной четырехугольной призме ABCDA1В1С1D1
стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2.
Точка E – середина ребра AA1. Найдите расстояние от
вершины A до плоскости BED1 (ЕГЭ 2012).
D1
Решение:
Искомое расстояние есть высота
С₁ пирамиды D AEB, проведенная
1
к основанию ED1B.
3V D1 ABE
А1
ρ(A;(BED1))=
В1
Найдем объем пирамиды.
E
1
1
А
1
В
D
S BED 1
За основание примем АВЕ, тогда
высота – AD.
1
1
S
1
1
С
ABE
2
2
1 1
1
VD1 ABE 1
3 2
6

23.

3) В правильной четырехугольной призме ABCDA1В1С1D1
стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2.
Точка E – середина ребра AA1. Найдите расстояние от
вершины A до плоскости BED1 (ЕГЭ 2012).
D1
Решение:
Найдем стороны треугольника BED1.
С₁
А1
Из треугольника АЕВ:
BE 1 2 1 2
В1
2 ED1
E
1
1
D
BD1 12 12 2 2
С
А
1
В
6
(диагональ прямоугольного
параллелепипеда)

24.

3) В правильной четырехугольной призме ABCDA1В1С1D1
стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2.
Точка E – середина ребра AA1. Найдите расстояние от
вершины A до плоскости BED1 (ЕГЭ 2012).
D1
Решение:
EH
D1
С₁
А1
2
Н 6
E
В1
2
E
1
D
С
А
В
В
S BED1
ρ(A;(BED1))=
3
Ответ :
.
3
6
2
6
2
2
4
2
2
1
2
3
6
2
2
2
3V D1 ABE
S BED 1
2
2
3
1
3
3
:
6 2
3

25.

4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с
основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое
ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите
расстояние от точки A до плоскости KDF.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат
Z
S
Тогда: А( 5 ;0 ;0 ) D( 5 ;0 ;0 ) F (?;?;0 ) K (?; ?;?) (середина
BS)
Е
D
В(?; ?;0 )
S ( 0 ;0 ;?)
yF
K
F
Е
D
хF
С
F
A
O
А
X
F(
11.06.2022
В
Y
5 5 3
5 5 3
;
;0 ) В( ;
;0 )
2
2
2 2
X
5
2
хB
C
?
yB
5
Y
B
2
5 3
5
2
уF
уВ 5
2
2
25

26.

4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с
основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое
ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите
расстояние от точки A до плоскости KDF.
Решение:
Z
S
А( 5 ;0 ;0 ) D( 5 ;0 ;0 )
F(
5 5 3
;
;0 )
2
2
z S SO 8 2 5 2
K
Е
D
O
А
X
11.06.2022
В
39
S ( 0 ;0 ; 39 )
xB x S yB y S z B z S
K
;
;
2
2
2
С
F
K (?; ?;?) (середина
BS)
5 5 3
В( ;
;0 ) S ( 0 ;0 ;?)
2 2
Y
5
0 5 3 0
0
39
2
; 2
;
2
2
2
5 5 3
4 ; 4 ;
39
2
26

27.

4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с
основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое
ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите
расстояние от точки A до плоскости KDF.
Решение:
Запишем уравнение плоскости KDF
ax by cz d 0
А( 5 ;0 ;0 )
D( 5 ;0 ;0 )
5 5 3
;
;0 )
2
2
5 5 3
39
K ;
;
2
4 4
F(
5
5
5 3
39
5 3
39
a
b
c
d
0
b
c 5a 0
a
4
4
2
4
4
2
ax by cz d 0
d 5 a
5a 0 b 0 c d 0
20
5
5
3
5
5
3
a
ax
3
ay
az 5 a 0
a
b 0 c d 0
b
5
a
0
2
2
39
2
2
20
25
5 3
39
20
x 3 y
z 5 0
3 a
c 0
c
a
a
39
4
2
39
4
d 5 a
d 5 a
39 x 3 13 y 20 z 5 39 0
b 3 a
b 3 a
11.06.2022
27

28.

4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с
основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое
ребро равно 8. Точка K – середина ребра SB. Найдите
расстояние от точки A до плоскости KDF.
Решение:
А( 5 ;0 ;0 )
39 x 3 13 y 20 z 5 39 0 - уравнение плоскости KDF
( A ; ( KDF ))
ax A by A cz A d
a b c
2
2
2
39 5 3 13 0 20 0 5 39
( 39 )2 ( 3 13 )2 ( 20 )2
10 39 5 39
139
39 117 400
556
10 39
Ответ :
11.06.2022
5 39
139
.
28

29.

5) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M –
середина ребра AA1 , точка K – середина ребра BB1 . Найдите
расстояние от вершины А1 до плоскости СМK, если AA1=6 ,
AB = 4 (ЕГЭ 2011).
Решение:
A1
C1
N
M
B1
E
А
H
K
C
Д. п.: N – середина А1В1, Е – середина МК,
тогда С1N (АА1В1) (перпендикуляр,
опущенный на пересечение
перпендикулярных плоскостей)
А1 B1 || MK А1 B1 || ( CMK )
( A1 ; ( CMK )) ( N ; ( CMK ))
MK NE
MK C1 N
( ENC1 ) MK
(КСМ) проходит через МК
B
( KCM ) ( ENC )
( KCM ) ( ENC ) CE
11.06.2022
Д. п. NH CE
( N ; ( KCM ))
NH
29

30.

5) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M –
середина ребра AA1 , точка K – середина ребра BB1 . Найдите
расстояние от вершины А1 до плоскости СМK, если AA1=6 ,
AB = 4 (ЕГЭ 2011).
A1
Решение:
NH найдем из треугольника NHC.
C1
NE=3 (половина NF).
N
B1
А1
E
А
C1
4
NC 4 2 2 2 2 3 FC
2
H
C
F
N
B1
Из треугольника FЕC CE 3 2 ( 2 3 )2 21
B
Из треугольника NCC1 NC 6 2 ( 2 3 )2 4 3
11.06.2022
30

31.

5) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M –
середина ребра AA1 , точка K – середина ребра BB1 . Найдите
расстояние от вершины А1 до плоскости СМK, если AA1=6 ,
AB = 4 (ЕГЭ 2011).
Решение:
A1
C1
N
M
cos C
B1
E
А
В треугольнике NEC
( 21 )2 ( 4 3 )2 3 2
2 21 4 3
5
2 7
2
H
K
C
5
sin C 1
2 7
3
2 7
Из треугольника HNC
F
3
B
11.06.2022
6
6 7
NH NC sin C 4 3
7
2 7
7
6 7
Ответ :
.
7
31