Расстояние от точки до прямой

1. . ЗадаНИЕ13. Расстояние от точки до прямой.

2.

Поэтапно вычислительный метод.
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту
точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного
из этой точки на прямую.
Расстояние от точки M до прямой AB , обозначаемое
ρ( AB;M) , вычисляют, как длину высоты, опущенной
из точки M на основание AB (или ее продолжение)
треугольника ABM .
М
А
М
А
ρ
В
ρ
В
11.06.2022
2

3.

Метод параллельных прямых.
Расстояние от точки M до прямой a равно расстоянию до
прямой a от произвольной точки P, лежащей на прямой b ,
проходящей через точку M и параллельной прямой a .
b
М
а
Р
ρ
ρ
11.06.2022
3

4.

Координатный метод .
1) Ввести удобную систему координат.
2) Вычислить координаты точек А и В.
3) Найти длину отрезка АВ по формуле
( AB ) AB ( x A xB )2 ( yA yB )2 ( z A zB )2
Как вычислить координаты внутренней точки
С отрезка АВ, если АС:СВ=k?
x A kxB yA kyB z A kz B
С
;
;
k 1
k 1
k 1
11.06.2022
4

5.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 на диагоналях граней
AD1 и D1B1 взяты точки E и F так, что D1E=1/3AD1,
D1F=2/3D1B1.Найдите расстояние от точки D1 до прямой EF.
Решение:
Д. п. D1 Н FE D1 Н ( D1 ; FE )
С₁
В1
Угол FD1E=600 , так как является
D1 углом равностороннего
треугольника B1D1A.
F
А1 С
H
E
Отрезок D1H является высотой
треугольника D1EF.
AD1 2 B1 D1 (диагональ единичного
квадрата).
D
В
D1 E
1
2, а
3
D1F
2
2
3
А
11.06.2022
5

6.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 на диагоналях граней
AD1 и D1B1 взяты точки E и F так, что D1E=1/3AD1,
D1F=2/3D1B1.Найдите расстояние между точками Е и F.
С₁
В1
Решение:
D1
2
2
3
F
60
D1
H
E
1
2
3
E
F
А1 С
0
?
Воспользуемся теоремой косинусов
D
В
А
11.06.2022
6

7.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 на диагоналях граней
AD1 и D1B1 взяты точки E и F так, что D1E=1/3AD1,
D1F=2/3D1B1.Найдите расстояние между точками Е и F.
Решение:
D1
1
2
3
2
2
3
H
Высоту можно найти методом
площадей.
SD1 EF
E
F
6
3
SD1 EF
1
FD1 ED1 sin D1
2
1 2
1
3
3
2
2
2 3
3
2
9
1
HD1 EF
2
HD1
3 1
6
HD1
9
2
3
2
или
Ответ:
3 2
11.06.2022
3 6
2
9
6
3 2
2
.
3
7

8.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой ВС1.
Решение:
E₁
F1
Д. п. АН С1 В АН ( А; ВС1 )
D1
С₁
А1
В1
Отрезок АС1 является гипотенузой
треугольника АС1С.
Найдем АС из треугольника АВС
С
А
E
1
D
F
С
А
В
H
1200
В
1
АС 12 12 2 1 1 cos 1200 3
Найдем АС1 из треугольника АС1С
АС1 12 3 4 2
ВС1 2 (диагональ единичного квадрата).

9.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой ВС1.
Решение:
E₁
F1
D1
С₁
А1
В1
Из треугольника АС1В найдем cosС1.
2 2 ( 2 )2 12 5 2
cos С1
2 2 2
8
2
E
D
F
С
А
В
H
5 2
sin С1 1
8
14
8
Найдем АН из треугольника АС1Н
АН sinC1 AC1
Ответ:
14
4
14
14
2
8
4

10.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , К - середина
ребра SA, О – центр основания. Ребра основания равны 6, а
боковые ребра равны 8. Найдите расстояние от точки С до
прямой ОК.
Решение:
S
ОК – средняя линия треугольника ASC
=> ОК || SC
Н
Д. п. АН SC АН ОК
ЕН ( С ; КО )
К
Е
С
D
ЕН
1
АН
2
О
А
В
АС 6 2
(из подобия
треугольников
ASC и АКО)
(диагональ квадрата со
стороной 6)
АН найдем методом площадей

11.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , К - середина
ребра SA, О – центр основания. Ребра основания равны 6, а
боковые ребра равны 8. Найдите расстояние от точки С до
прямой ОК.
Решение:
S
Н
8 2 8 2 ( 6 2 )2
7
сosS
2 8 8
16
2
3 23
7
sin S 1
16
16
С S ASC 1 AS SC sin S 1 8 8 3 23
2
16
2
К
Е
D
О
А
1
3 23
ЕН АН
2
4
В
6 23
1
S ASC AН SC
6 23 2
3 23
2
АН
1
8
2
6 23 AН 8
2
Ответ:
3 23
4

12.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от
точки А до прямой PQ, где Р и Q – середины соответственно
ребер А1В1 и ВС.
Решение:
D1
Z
Р
А1
Д. п. АН PQ АН ( А; PQ )
С₁
В1
Введем прямоугольную систему координат
1
1
Тогда: А( 1;0 ;0 ), Р ( 1; ;1 ), Q( ;1;0 ).
2
D
А
X
2
Найдем стороны треугольника APQ
по формуле
Н
Y
С
PQ
1
Q
В
2
2
1 1
2
1
1 0
2 2
3
2
2
1
2
2
AQ 1 0 1 0 0
2
2
1
2
2
AP 1 1 0 0 1
2
5
2
5
2

13.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от
точки А до прямой PQ, где Р и Q – середины соответственно
ребер А1В1 и ВС.
D1
Решение:
Z
С₁
Р
А1
РН
В1
3
2
5
2
Из треугольника APН
Н
D
Y
С
Q
А
X
5
2
(треугольник APQ
равнобедренный)
1 3
2 2
2
2
5 3
РН
2
2
2
В
Ответ:
34
4
5 3
4 8
17
17
34
8
4
2 2

14.

1) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до прямой ВС1 .
А1
Решение:
С₁
Д. п. АН ВC1 АН ( А; ВС1 )
В1
AС1 2 BС1 (диагональ единичного
квадрата).
С₁
3
( 2 )2 ( 2 )2 12
cos С1
4
2 2 2
Н
А
С
?
А
В
Из треугольника AНС1
AН sinC1 AC1
2
Н
3
sin С1 1
4
В
7
14
2
4
4
Ответ:
14
4
7
4

15.

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой а) DE, б) D1E1, в) B1C1, г) BE1, д) ВС1.
Решение:
E₁
F1
а)
D1
С₁
А1
В1
АЕ DE АE ( А; ED )
Найдем АЕ из треугольника АFE
E
А
E
1
D
F
С
А
В
1200
F
1
АE 12 12 2 1 1 cos 1200 3
Ответ: а)
3.

16.

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой а) DE, б) D1E1, в) B1C1, г) BE1, д) ВС1.
Решение:
E₁
ТТП
б) А Е D E АЕ D E
1 1
1 1
1
1 1
D1
С₁
F1
А1
В1
E
A1 E1 AE 3
С
А
н я
АE1 ( А; E1 D1 )
Найдем АЕ1 из треугольника АА1E1
D
F
пр я
(см. задачу а))
AE1 12 ( 3 )2 2
В
Ответ: б) 2 .

17.

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой а) DE, б) D1E1, в) B1C1, г) BE1, д) ВС1.
E
Решение:
D
С
F
А
В
Д. п. АH B1C1 АH ( А; B1C1 )
в)
AC1 AE1 2 (см. задачу б))
А
E1
D1
F1
2
С1
А1
AB1 2
2
В1
12 2 2 ( 2 ) 2
cos С1
2 2 1
2
Н
В1
Из треугольника АНС1
AН sinC1 AC1
(диагональ единичного
квадрата
1
7
7
2
4
2
3
sin С1 1
С1
4
Ответ:
7
2
3
4
7
4

18.

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой а) DE, б) D1E1, в) B1C1, г) BE1, д) ВС1.
Решение:
E₁
F1
г)
D1
С₁
А1
В1
E
А
С
В
АH BE1 АE ( А; BE1 )
АЕ AB
пр я
D
Н
F
Д. п.
ТТП
АЕ1 AB
н я
AE1 AE1 2 (см. задачу б))
(большая диагональ
BE 2 AF 2 правильного
шестиугольника)
Из треугольника ВЕЕ1
BE1 2 2 12 5

19.

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой а) DE, б) D1E1, в) B1C1, г) BE1, д) ВС1.
Решение:
E₁
F1
D1
С₁
А1
В1
E
А
E₁
S ABE1
Н
С
В
1
1
AE1 AB 2 1 1
2
2
1
AH BE1
2
1
1 AH 5
2
S ABE1
D
Н
F
г) В треугольнике АВЕ1 найдем высоту
АН методом площадей.
А
В
AH
Ответ: 2 5
5
2
2 5
5
5

20.

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой а) DE, б) D1E1, в) B1C1, г) BE1, д) ВС1,.
Решение:
E₁
д)
D1
О1
F1
А1
С₁
В1
O1C1 AB
O1C1 BA параллелограмм
АO1 || BС1 ( А; ВС1 ) ( О1 ; ВС )
С
О
А
O1C1 || AB
D
E
F
Н
Д. п. О и О1 – центры оснований
В
Д. п. O1 Н BC1 O1 H ( А; ВС1 )
O1C1 1
(диагональ единичного
ВC1 2
квадрата
Найдем ВО1 из треугольника ОО1В
ВО1 ОО12 ОВ2 2

21.

2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А
до прямой а) DE, б) D1E1, в) B1C1, г) BE1, д) ВС1,.
Решение:
E₁
О1
F1
д)
D1
А1
С₁
1
В1
Н
2
2
D
E
F
С
О
А
Найдем высоту О1Н
треугольника ВО1С1
В
О1 Н sinC1 О1C1
12 ( 2 )2 ( 2 )2
1
2
cos С1
2 2 1
4
2 2
2
2
sin С1 1
4
14
4
Из треугольника О1С1Н
14
14
1
4
4
Ответ:
14
4

22.

3) Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 - ромб АВСD,
в котором АВ =10, АС = 6 7 . Боковое ребро АА1 = 3 21 .
Найдите расстояние от вершины В до прямой АС1.
С₁
D1
А1
В1
Решение:
Д. п. ВH АC1 ВH ( В; АC1 )
ВС1 – диагональ прямоугольника со
сторонами 10 и 3 21
ВС1 10 2 ( 3 21 )2
Н
Из треугольника АС1С
С АС ( 6 7 )2 ( 3 21 )2
1
D
А
289 17
Е
В
АС1 найдем методом площадей
441 21

23.

3) Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 - ромб АВСD,
в котором АВ =10, АС = 6 7 . Боковое ребро АА1 = 3 21 .
Найдите расстояние от вершины В до прямой АС1.
Решение:
С₁
D1
А1
pАВС 1
В1
17 21 10
24
2
SАВС1 24( 24 17 )( 24 10 )( 24 21 )
24 7 14 3 2 2 2 3 7 7 2 3 84
S АВС 1
Н
С
D
А
84
1
ВН АС1
2
1
ВН 21
2
Е
В
Ответ:
8
ВН
84 2
8
21

24.

4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро
равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от
точки A до прямой MB.
Д. п.
Решение:
(половина диагонали
DO 2 квадрата со стороной 2)
S
Z
ВH АC1
Из треугольника DOS:
ВH ( В; АC1 )
М
Введем прямоугольную систему координат
Тогда: А 2 ;0 ;0 D 0 ;0 ;0
В 2;2;0 S ?;?; 14
Н
yS
D
С ?
Y
С
xS
O
А
X
SO 4 2 ( 2 )2 14
В
S 1;1; 14
?
xS
В
X
yS
D
O
А
Y

25.

4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро
равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от
точки A до прямой MB.
А 2 ;0 ;0 D 0 ;0 ;0
В 2;2;0 S 1;1; 14
Найдем координаты точки М
(середины отрезка DS)
Решение:
S
Z
М
В
X
АM
0 1 0 1 0 14 1 ; 1 ; 14
2 2 2
М
;
;
2
2
2
Y Найдем длину отрезка АМ
С
по формуле
Н
D
А
9 1 14
4 4 4
АM 2
24
6
4
2
1
0
2
2
1
14
0
2
2
2

26.

4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро
равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от
точки A до прямой MB.
S
Z
М
А 2 ;0 ;0 D 0 ;0 ;0
В 2;2;0 S 1;1; 14
Решение:
1 1 14
М ; ;
2 2 2
Н
Найдем длину отрезка ВМ
по формуле
Y
D
С
А
В
ВM 2
X
ВМ
9 9 14
4 4 4
32
8
4
2
1
2
2
2
1
14
0
2
2
2

27.

4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро
равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от
точки A до прямой MB.
Решение: Из треугольника АМВ
S
Z
( 6 )2 ( 8 )2 2 2
5
cos М
2 6 8
4 3
М
6
2
5
sin М 1
23
4 3
4 3
Y
Н
8
D
Из треугольника АМН
С
А
2
В
AН sin М АМ
X
Ответ:
46
4
23
46
6
4
4 3

28.

5) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF ,
стороны оснований которой равны 1, а боковые ребра равны 2,
найдите расстояние от точки C до прямой SA .
Решение:
Д. п. СH АS
S
CH ( C ; АS )
Из треугольника АBC
2
АС 12 12 2 1 1 cos 1200 3
Н
Найдем высоту треугольника ASC
F
2
2 2 2 2 ( 3 )2
cos S
2 2 2
Е
А
2
D
3
В
39
8
С
Из треугольника CSН
CН sin S SC 39 2
8
11.06.2022
5
sin S 1
8
5
8
39
4
Ответ:
39
4
28