Вторая производная и ее применение

1. Вторая производная и ее применение

2. 1. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

3.

4.

5. Теорема

6. Пример 1

Исследовать функцию на направление выпуклости и перегиб
y x3 6 x 2 x
Решение
1. D ( y ) R
2. y 3 x 2 12 x 1
y 6 x 12
3. 6 x 12 0
x 2
Ответ: функция выпукла на промежутке ( ;2)
функция вогнута на промежутке (2; )
х = 2 – точка перегиба

7. Исследование на экстремум с помощью второй производной

8. Пример 2

Исследовать функцию на экстремум с помощью
второй производной
x3
2
y x 3x 2
3
Решение 1. D ( y ) R
2. y x 2 2 x 3
y 2 x 2
3. D ( y ) R
4. x 2 2 x 3 0
x1 1
x2 3
5. y ( 1) 4 0 точка макимума
y (3) 4 0 точка минимума

9. Механический смысл второй производной

Ускорение
a(t ) x (t )

10. Приближенные вычисления

f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) x x0
Пример
65
1. y x , x 65
2. x0 64
3. f ( x0 ) 64 8
4. y
1
2 x
1
1
2 64 16
1
1
5. 65 8 65 64 8 8,0625
16
16
f ( x0 )

11. Домашнее задание

1. Данные функции исследовать на выпуклость и
перегиб:
1 3
x 3x 2 8 x 4
3
б ) f ( x ) x 4 2 x 3 12 x 2 24 x 8
а ) f ( x)
2. Исследовать функции на экстремум с помощью
второй производной:
а) f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 8
б ) f ( x) x 2 ln x
3. Вычислить, используя формулы для приближенных
вычислений:
а)
3,98
б ) 1,99 4

12. Ответы к домашнему заданию

1.
а ) y при x ; 3
y при x 3;
x 3 точка перегиба
2.
3.
а) xmin 2
а ) y при x 1; 2
y при x ; 1 2;
x 1 и x 2 точки перегиба
б ) xmin 2
xmax 1
а) 3,98 2 0,25 3,98 4 1,995
б ) 1,99 4 16 32 1,99 2 15,68