Основные методы решения тригонометрических уравнений урок математики в 10 классе

1. Основные методы решения тригонометрических уравнений урок математики в 10 классе

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
г.Иркутска средняя общеобразовательная школа №71
Основные методы решения
тригонометрических уравнений
урок математики в 10 классе
Автор:
Судникович Ольга Викторовна

2. Методы решения уравнений

Введение новой переменной
Разложение на множители
Однородные тригонометрические уравнения 1
степени
Однородные тригонометрические уравнения 2
степени
Использование основных тригонометрических
тождеств, формул приведения
Уравнения вида asinx+bcosx=c
Уравнения, решаемые с помощью формул
понижения степени
На содержание

3.

Введение новой переменной
2 cos 2 x – cos x – 1 = 0
t =cos x, t Є [-1,1]
2t2 – t -1 = 0
D=9
t=1
cosx=1
x= 2πn, n Є Z
Ответ: x= 2πn, n Є Z;
t = -1/2
cos x = -1/2
x=±2π/3+2πn,, n Є Z.
x=±2π/3+2πn, n Є Z.
На содержание

4.

Разложение на множители
cos²x + 3cosx = 0,
сosx(cosx + 3) = 0,
сosx = 0
или
cosx + 3 = 0,
x n, n ; cosx=-3, корней нет
2
Ответ:
x
2
n, n .
На содержание

5.

Однородные тригонометрические
уравнения 1 степени
asinx+bcosx=0
cosx + sinx = 0
Разделим обе части уравнения почленно на cosx≠0
1+tgx=0
tg x= - 1
x
4
n, n ;
Ответ: x
4
n, n ;
На содержание

6.

Однородные тригонометрические
уравнения 2 степени
asin²x+bsinxcosx+ccos²x=0
5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.
5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0;
5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0;
sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0
Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x ≠ 0.
tg2 x + 3tg x – 4 = 0.
tg x = t
t2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 или t = -4
tg x = 1 или tg x = -4.
x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πn, n Є Z.
Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πn, n Є Z.
На содержание

7.

Использование основных
тригонометрических тождеств,
формул приведения
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
(sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0
2x = πn, n Є Z; cos x = -1/2.
х = πn/2, n Є Z; x = ±(π – π/3) + 2πn, n Є Z.
x = ±2π/3 + 2πn, nЄ Z.
Ответ: х = πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πn, n Є Z.
На содержание

8. Уравнения вида asinx+bcosx=c

sin x cos x 1 разделим 12 12 2
2
2
2
sin x
cos x
2
2
2
2
sin sin x cos cos x
4
4
2
2
cos x
4 2
x
x
4
4
Ответ:
,
arccos
4
2
2 n, n
2
2 n, n
x 2 n, n
x
2
2 n, n
На содержание

9. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

sin 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
, cos 2 x
2
2
cos 2 3 x
3
4
1 cos 6 x
3
2
4
2 2 cos 6 x 3
cos 6 x
1
2
6 x arccos
6x
x
3
18
1
2 n
2
2 n
n
3
,n Z
На содержание

10. Решите данные уравнения (если уравнение решено правильно, то ответ вы найдете среди предложенных).

1)2 sin 2 x 7 sin x 5 0
5) cos 2 x 3 sin x 2
x
x
2) sin cos 0
2
2
3)4 sin 2 2 x sin 4 x 3
6) sin 2 x 4 sin x cos x 3 cos 2 x 0
4) sin x sin 7 x sin 15 x sin 21x 0
7) cos 11x cos 3 x 0
8) 2 sin 2 x cos 4 x 0

11.

Применяемые методы
1
2
3
4
5
6
7
8
Введение новой переменной.
Однородное уравнение 1 степени.
Синус двойного угла.
Однородное уравнение 2 степени.
Сумма синусов и косинусов.
Разложение на множители.
Косинус двойного угла.
Введение новой переменной.
Однородное уравнение 2 степени.
Разность косинусов. Разложение на
множители.
Формула понижения степени.
Косинус двойного угла.

12. Ответы

a) x
2
2 n, n
б ) x 1
n
в) x
2
6
n, n ; x
2
2 n, n
2 n, n
г ) x arctg 3 n, n ; x
n
4
n, n
1
n
, n ; x arctg 3 , n
8 2
2
2
n
n
е) x , n ; x , n
7
4
n
ж ) x , n ; x n, n
4 2
6
n
n
n
з ) x , n ; x , n ; x , n
11
14 7
6 3
д) x

13.

1
2
3
4
5
6
7
8
а
в
д
з
б
г
е
ж

14. Список использованной литературы:

2.
Практикум по элементарной математике. Тригонометрия.
Авторы – В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович, Москва, «Вербум –
М», 2000.
http://www.trizway.com/show.php?id=63&pg=1#a1
3.
http://mathnet.spb.ru/
1.