«Тригонометрические уравнения» 10 класс

1. Тригонометрические уравнения

http://aida.ucoz.ru

2. С помощью тригонометрической окружности найти все значения для следующих выражений

arcsin 0,
arcsin

3. Верно ли равенство

1
а ) arccos ;
2 3
3 11
г ) arcsin
;
2
6
2
б ) arcsin(
) ;
2
4
2
3
д) arccos(
)
.
2
4
3
в ) arccos( ) ;
2
6
е)arctg 3
3
.

4. Определение.

• Уравнения вида f(x) = а, где а – данное
число, а f(x) – одна из тригонометрических
функций,
называются
простейшими
тригонометрическими уравнениями.

5.

Чтобы успешно решать простейшие
тригонометрические уравнения нужно
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
29.01.2017
5

6. Уравнение cos t = a

a) при -1< а < 1 имеет две серии корней
t1 = arсcos a + 2πk, k ϵ Z
t 2 = - arсcos a + 2πm, m ϵ Z.
Эти серии можно записать так
t = ± arсcos a + 2πn, n ϵ Z ;
• б) при а = 1 имеет одну серию решений
t = 2πn, n ϵ Z ;
• в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = π + 2πn, n ϵ Z ;
• г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 =
+ 2πk, k ϵ Z
t 2 = - + 2πm, m ϵ Z. Обе серии можно записать в одну серию
t=
+ πn, n ϵ Z.
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

7. Решите уравнение

1) cos х =
1
2
2) cos х = -
1
2

8. Решите уравнение

3) cos 4x = 1
4x = 2πn, n ϵ Z
4)

9. Решите уравнение

.
Решите уравнение
5)

10. Решите уравнение и укажите корни, принадлежащие промежутку [-π;-2π].

Решите уравнение
принадлежащие
а)
и укажите корни,
промежутку [-π;-2π].

11. б) сделаем выборку корней, принадлежащих промежутку [-2π; -π].

с помощью окружности
4
2
A
с помощью графика
-10
-5
5
-2
Перебор корней подстановкой значений n
Ответ : а)
б)
-4
-6

12. Задание 1. Найти корни уравнения:

1) a) cos x =1 б) cos x = - 1 в) cos x = 0
г) cos x =1,2
2) а)
в)
д) cos x = 0,2
б)
г)

13. Уравнение sin t = a

Уравнение
a)
sin t = a
при -1< а < 1 имеет две серии корней
t1 = arсsin a + 2πn, n ϵ Z
t 2 = π - arсsin a + 2πn, n ϵ Z.
Эти серии можно записать так
t = ( -1)k arсsin a + πk, k ϵ Z ;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
t=
+ 2πn, n ϵ Z
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t= + 2πn, n ϵ Z;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 = 2πk, k ϵ Z,
t2 = π + 2πm, m ϵ Z.
Обе серии можно записать в одну серию
t = πn, n ϵ Z ;
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

14. Решите уравнение

,,
1) sin х =
x = ( -1)k
+ πk,
kϵ Z.

15. Решите уравнение

(;
Решите
,,;
2) sin х = -
x = ( -1)k ( -
уравнение
2
2
+ πk, k ϵ Z
x = ( -1)k+1
+ πk, k ϵ Z

16. Задание 2. Найти корни уравнения:  

Задание 2. Найти корни уравнения:
1) a) sin x =1 б) sin x = - 1 в) sin x = 0
г) sin x =1,2
д) sin x = 0,7
2) а)
б)
в)
г)

17. Уравнение tg t = a

при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrctg a + πn, nϵ Z.

18. Решите уравнение

Решите
1) x= tg
х = аrctg
x=
уравнение
2) x= tg (-
+ πn, nϵ Z.
+ πn, nϵ Z.
)
х = аrctg(x=-
) + πn, nϵ Z,
+ πn, nϵ Z.

19. Уравнение ctg t = a

при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrcctg a + πn, nϵ Z.

20. Решите уравнение

Решите
1) ctg x = 1
уравнение
2)
ctg x = - 1
х = аrcctg 1 + πn, nϵ Z,
х = аrcctg ( -1) + πn, nϵ Z
х=
х = π - аrcctg 1 + πn, nϵ Z
+ πn, nϵ Z.
х=
+ πn, nϵ Z.