Невозможно отобразить презентацию
ФизикаПохожие презентации:
Лекция 4 (03.10.2013)
Лекция 4 (03.10.2013) Литература: 1.
Тензор проводимости и закон Ома 2.
Преобразование координат группы Oh 1.
У.
Харрисон, "Теория твердого тела".
3.
Элементы континуальной теории упругости 3.
Ландау и Лифшиц, том VII "Теория упругости", Глава I (П 1, 2, 5).
2.
А.
Келли, Г.
Гровс, “Кристаллография и дефекты в кристаллах”.
6.
Тензор упругих модулей.
Закон Гука.
7.
Тензор четвертого ранга в кристаллах (группа Oh) 4.
Явление пьезоэлектричества 5.
Тензор третьего ранга в кубических кристаллах (группа Oh) Физические тензоры и симметрия направлений в кристаллах Любому точечному преобразованию в кристалле соответствует матрица, описывающая преобразование координат – Поворот C4 вокруг оси z: (x,y,z)→ (y,–x,z)=Π1-01-01-=Π10101-=Π101-010Π=zyxzyx333231232221131211Π' Примеры: - Инверсия относительно нуля (i): (x,y,z) --> (-x,-y,-z) - Отражение в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси x (σx): (x,y,z) --> (-x,y,z) (x,y,z)→ (y,z,x) — поворот C3, - Поворот вокруг C3 оси куба=Π01010 Совершим последовательно два точечных преобразования, описываемых матрицами преобразования координат Π1 и Π2 .
Произвольная точка с координатамиr в результате этих преобразований будет иметь координатыr ': 2121 '()()rrr =Π×Π×=Π×Π×rrr Группа преобразований точечной симметрии изоморфна группе соответствующих матриц преобразования координат Группа матриц преобразования координат является матричным представлением группы преобразований симметрии Симметрия направлений кристалла (кристаллический класс) определяет структуру тензоров, описывающих их свойства.
Рассмотрим некоторую группу точечной симметрии Произведению преобразований симметрии соответствует произведение матриц преобразования координат.
Множество всех матриц преобразования – тоже группа с обычным матричным умножением Преобразования симметрии и соответствующие им матрицы перемножаются по одной и той же таблице умножения Пример : тензор проводимости и закон Ома Зависимость плотности тока в кристалле от приложенного электрического поля в линейном приближении в определенной системе координат будет иметь вид:zzzyzyxzxzyzyyyxyxyzxzyxyxxxxEjEjEjσ+=+=+= или),(,∑=kikizyxkiEjσkikiEjσ= или еще короче:σik - тензор второго ранга, описывающий “свойство” кристалла – проводимость.kikiEj'σ= В новой системе координат: Согласно общему правилу, компоненты тензора для двух систем координат связаны как'kikkiiikσΠ ΣΠ=I’ k’ Вспомним Для тензора первого ранга (вектора) закон преобразования тензора совпадает с законом преобразования координат точки :∑=Π=31'jijierjijjijixΠ=Π=∑=31' Для тензора второго ранга закон преобразования тензора совпадаетс законом преобразования произведения координатjixij'σ⇒jijix'⇒ Аналогичное правило перемножения значков работает для тензоров произвольного ранга Так же как и (доказательство –обязательная домашняя задача) Рассмотрим преобразование компонент тензора при простых точечных преобразованиях, приводящих к перестановке индексов и смене их знаков - Отражение в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси x (σx): (x,y,z) --> (-x,y,z)=Π10101---- xxxyxzxxxyxz yxyyyzyxyyyz zxzyzzzxzyzz σσσσσσ ÷÷→ ÷÷ правило преобразования тензора: Работает правило перемножения значков! Итак, если известен закон преобразования координат, соответствующий некоторой операции симметрии кристалла, правило перемножения значков позволяет легко определить закон преобразования компонент тензора - Инверсия (i): (x,y,z) ->(-x,-y,-z)=Π1-01-01- xxxyxzxxxyxz yxyyyzyxyyyz zxzyzzzxzyzz σσσσσσ ÷÷→ ÷÷ Симметрия кристалла накладывает ограничение на вид любого тензора, описывающего его свойства: если при преобразованиях симметрии направлений направления в кристалле переходят в эквивалентные, то и тензор, характеризующий свойства этого кристалла, не должен менять своего вида при этих преобразованиях симметрии, т.
е.
его компоненты не должны меняться.
три оси четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка.
шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер и три плоскости, параллельные граням куба.
Преобразования координат группы куба (Oh) При определенном выборе системы координат (оси направлены вдоль ребер, а центр совпадает с центром инверсии) точечным преобразованиям группы Oh соответствуют все перестановки координат с любыми изменениями знаков, например: (x,y,z)→ (–x,–y,–z) — инверсия, (x,y,z)→ (y,–x,z) – поворот C4 вокруг оси z (x,y,z)→ (y,z,x) — поворот C3, -------------------------------------------------------------- Всего 48 = 3!· 23 , где 3! — число возможных перестановок, 23 — число возможных расстановок знаков.
Возьмем преобразование, при котором координаты x и y меняются местами:(x,y,z)→ (y,x,z).
При этом преобразовании σxx →σyy.
Т.
к.
компоненты тензора кристалла класса Oh не должны меняться при всех преобразованиях симметрии группы куба, то получаем что σxx = σyy.
Аналогично доказывается, что σxx = σzz и σyy = σzz.
Рассмотрим другое преобразование группы куба: (x,y,z)→ (–x,y,z): σxy →–σxy .
Отсюда следует, что σxy = 0.
Аналогично доказывается, что равны нулю все недиагональные компоненты тензора.
Недиагональные компоненты любого тензора второго ранга, характеризующего свойства кристалла класса Oh , равны нулю, а диагональные равны между собой, т.
е.
тензор превращается в скаляр.
Закон Ома для кристалла группы Oh имеет вид:Ejrσ= Элементы континуальной теории упругости (L&L, том 7, глава 1, п.
1-2) Под влиянием приложенных сил твердые тела деформируются, т.е.
меняют форму и объем.
Характер деформации зависит от величины силы: - область упругих деформаций - деформации обратимы, связь деформации и силы линейная (выполняется закон Гука);
- область пластических деформаций - деформации необратимы, закон Гука не выполняется;
- область разрушений - образец разъединяется на части.
Теория упругости работает в области упругих деформаций и рассматривает твердые тела как сплошные среды "Одномерный" закон Гука:Fkx =∆ Упругая энергия:212Ekx =∆F - сила, - растяжение,k - коэффициент упругостиx∆ Тензор деформаций Задание вектора деформации как функции координат полностью определяет деформацию тела.
Но этот же вектор описывает и смещение тела как целое.
Поэтому деформацию в точке с координатами(x1,x2,x3 ) описывают как изменение расстояния между бесконечно близкими точками вблизи этой координаты.
Пусть до деформации координаты некоторой точки былиrс компонентами x1 =x, x2 =y, x3 =z, а после деформации сталиr ' с компонентами xi '.
Смещение точки тела при деформации изобразится вектором u=r'-r - вектор деформации (или вектор смещения) Пусть до деформации это расстояние было2321dxdl+= Далее будем подразумевать суммирование по повторяющимся индексам в каждом сомножителе выражения.
Тогда: 22222123iii dldxdxdxdxdxdx =++== Тогда:kiikdxdlε2'2+= после деформации: , где 2'222 '()2iii iiiikklkkluuu dldxdxdudldxdxdxdxxxx ∂∂∂ ==+=++ ∂∂∂ '2'2'2123' dldxdxdx=++idudx+=' , где или Тензор деформации по определению симметриченkiikε=1()2 ikllik kiik uuuux xxxxε ∂∂∂∂=++ ÷ ∂∂∂∂ r - тензор деформации Теорема Любой симметричный тензор можно привести к главным осям, то есть выбрать систему координат, в которой тензор - диагонален.
Если тензор деформации в данной точке привести к главным осям, то вблизи этой точки элемент длины после деформации имеет вид:23)3(2)2(21)1(2)21()21()21()2(2'dxdlkiikkiikεδε+=+=+= Деформацию в каждом элементе объема тела можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно- перпендикулярным направлениям - главным осям тензора деформаций Каждая из этих деформаций представляет собой простое растяжение (или сжатие) вдоль соответствующего направления.
Например, длинаdx1 превращается в длину1)1(121'dxε+= Величины представляют собой относительные удлинения вдоль соответствующих осей121)(−+iεidx−'ε(i)=εii - главные значения тензора1,0,ikδ== =≠ Случай малых деформаций С точностью до величин высшего порядка относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации равны главным значениям этого тензора121')(−+=−idxε)(iε≈∂+∂=ikiikxuxu21ε тензор деформаций в пренебрежении членами второго порядка малости 1/2211 (1)1...28xxx ±=±m Изменение объема при малых деформациях dV - элемент объема вблизи точки (x1,x2,x3 ).
Вычислим объем этого элемента после деформирования dV', используя в качестве осей координат главные оси тензора деформации в этой точке.)1()1)(1)(1()1)(1)(1(')3()2()1()3()2()1()3()2()1(321321ε+≈+=+=dVdxdViidVε=−' относительное изменение объема равно сумме диагональных компонент тензора деформацииiiε=+)3()2()1( сумма диагональных компонент (след, шпур) тензора не зависит от системы координат Теорема При деформировании в теле возникают силы, стремящиеся вернуть его в состояние равновесия.
Эти силы называются внутренними напряжениями, которые описываются тензором 2-го ранга - тензором напряженийσ.
Например, на единичную площадку, перпендикулярную к осиx , действуют нормальная к ней (направленная вдоль осиx ) силаσxx и тангенциальные (направленные по осямy иz) силыσyx иσzx.
Компонентаσik тензора напряжений естьi -я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярной кк -ой оси тензор напряжений симметричен ( см.
L&L том 7, глава 1, п.2) Тензор напряжений xxxyxz ikyxyyyz zxzyzz σσσ σσσσ σσσ ÷= ÷ xyzxxσyxσzxσyyσxyσzyσzzσyzσxzσ "Одномерный" закон Гука:Fkx =∆ Равномерное всестороннее (гидростатическое) сжатие - на каждую точку поверхности тела действует одинаковое по величине давление, направленное везде по нормали к поверхности внутрь объема тела.
Тангенциальных напряжений нет, все отличные от нуля компоненты равны давлениюp:ikpδσ−= Всестороннее сжатие сопровождается изменением объема без изменения формы.
Деформация сдвига - объем тела остается неизменным, меняется только его форма (εii=0) Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига и всестороннего сжатия:,31)31(llikllikεδεδε+−= сдвиг сжатие Простые деформации: изотропные твердые тела332211ε+=ll Свободная энергия деформации изотропного твердого тела221()32 ikikllllKE µεδεε =−+К - модуль всестороннего сжатия μ - модуль сдвига Закон Гука для изотропного твердого тела:111239 ikikikllikllK εσδσδσµ =−+ ÷ обратная формула:123 ikikllllikK µεδεεδ =−+ ÷ Можно показать : Из компонент симметричного тензора можно составить два независимых скаляра второй степени Разложение удельной энергии (скаляра) с точностью до членов второго порядка по элементам тензора деформации можно представить в виде суммы квадратов компонент "сдвига" и "всестороннего сжатия"ikEσε∂=∂ "Одномерный" закон Гука:Fkx =∆ Упругая энергия:212Ekx =∆ Однородные деформации Деформации, при которых тензор деформации постоянен по всему объему тела.
Примеры: - всестороннее сжатие - простое растяжение (или сжатие) стержня (стенки свободны) - одностороннее сжатие (стенки зафиксированы) Простое растяжение: Силы действуют равномерно на поверхности концов стержня (вдоль оси z), p - сила, действующая на единицу поверхности.pzz=σ , остальные элементы тензора напряжений равны нулюpEzz1=ε - относительное растяжение стержня вдоль zE - модуль растяжения (модуль Юнга) , 1/E - коэффициент растяженияzzyyxx σεε−= относительное сжатие в поперечном направлении σ - коэффициент Пуассона Для изотропного стержня:,312131pKyyxx−=µε,13131pKzz+=µε,39µ+=KEµσ+−=K32321 Явление пьезоэлектричества В кристаллах с определенной симметрией деформация кристалла может вызывать электрическую поляризацию кристалла (возникновение дипольного момента).
В линейном приближении вектор поляризации кристалла (дипольный момент единицы объема)P выражается через тензор деформаций:jkijkiePε= тензор 3-го рангаeijk – пьезоэлектрический тензор, определяет пьезоэлектрические свойства кристалла Теорема: Для любого кристалла, обладающего центром инверсии все компоненты тензора третьего ранга равны нулю.
Действительно, при операции инверсии (x,y,z)→ (–x,–y,–z) любая компонента тензора третьего ранга меняет знак (т.
к.
меняет знак произведение любых трех координат):eijk → –eijk .
Но если кристалл имеет центр инверсии, то он не должен менять своих свойств при операции инверсии, откуда следуетeijk = 0.
Следствия: 1.
Кубический кристалл класса Oh не обладает пьезоэлектричеством 2.
Кристаллы с простой решеткой не обладают пьезоэлектричеством Тензор второго ранга : тензор проводимостиkikiEjσ=jkijkiePε= Тензор третьего ранга : пьезоэлектрический тензор вектор вектор вектор тензор 2-го ранга Тензор четвертого ранга : тензор упругих модулейlm iklmikCεσ= тензор 2-го ранга тензор 2-го ранга iklmC имеет размерность давления Матричные обозначения.
Двойное сочетание ij (i,j=1,2,3) заменяется одним символом по следующей схеме: 11 1;
22 2;
33 3;
23,32 4;
31,13 5;
12,21 6 т.к.
тензоры напряжения и деформации симметричны, тензор упругих модулей симметричен по двум первым и двум последним индексам: iklmikmlkilmlmik CCCC=== В результате число независимых компонент тензора - 21 Тензор 4-го ранга для кубической симметрии Oh Преобразованиям координат группы Oh соответствуют все возможные перестановки координат со всеми возможными изменениями знаков.
Поэтому равны нулю все компоненты тензора, содержащие нечетное количество одинаковых индексов (например,C xyzx илиС xxxz) Отличны от нуля 4 набора компонент тензора, содержащие четные количества одинаковых индексов:C iiii, C iikk, C ikik, C ikki Элементы каждого набора равны между собой, т.к.
группа Oh включает преобразования, соответствующие любым перестановкам координат.
В первый набор входят три равных диагональных компонента, а остальные наборы содержат 18 компонент, по 6 в каждом.
Кроме того для тензора упругих модулейC ikik= C ikki (из-за симметрии тензора по двум первым и последним индексам).
Итак, для группы симметрии Oh имеется всего три независимых компонента тензора упругих модулей:C iiii=С11 ;
C iikk=С12 ;
C ikik=C ikki=С44 получаются присоединением к вертикальной оси симметрии n-го порядка перпендикулярной ей оси С2 , что приводит к появлению еще (n-1) горизонтальных осей С2 , так что углы между ними равны π/n.D2 =VD1 Порядок группы - 2n: n поворотов вокруг Cn и n вращений вокруг осей С2 Группы Dn: Тензор упругих модулей для группы D2 3.
ромбическая или ортогональная(D2h ) - o;2/321321πβ=≠a Задача: Определить число и вид независимых компонентов тензора упругих модулей для группы D2 Элементы группы: E, C2,z, U2,x, U2,y Преобразования координат: :(,,)(,,) Exyzxyz→2, :(,,)(,,)z Cxyzxyz →−−2, :(,,)(,,)x Uxyzxyz →−−2, :(,,)(,,)y Uxyzxyz →−− При любом преобразовании (кроме Е) одна из координат не меняет знак, две другие - меняют.
ijklijklCC →− т.е.
всегда можно найти преобразование, когда любой из индексов меняет знак.
Если хоть один из индексов встречается нечетное количество раз Не равны нулю компоненты с четным количеством индексов 112233,, xxxxyyyyzzzz CCCCCC=== 121323,, xxyyxxzzyyzz CCCCCC=== 665544,, xyxyxzxzyzyz CCCCCC=== Задача: Определить модуль Юнга и коэффициент Пуассона для кристалла c симметрией D2 вдоль направления одной из осей поворота (z) Закон Гука в главных осях: ikiklmlmC σε= Модуль Юнга Е:1 zzzzE εσ= 132333 zzzzlmlmzzxxxxzzyyyyzzzzzzxxyyzz CCCCCCC σεεεεεεε ==++=++ 1112130 xxxxlmlmxxxxxxxxyyyyxxzzzzxxyyzz CCCCCCC σεεεεεεε ===++=++ 1222230 yyyylmlmyyxxxxyyyyyyyyzzzzxxyyzz CCCCCCC σεεεεεεε ===++=++ 111213 122223 1323330xxyy zzzzCCCε εσ ÷÷÷= ÷÷÷ Можно разрешить систему и выразитьzzyyxx σεε−= Коэффициент Пуассона :σ();
iizzf εσ=() iikkf εε= 13221223 11221212 xxzzxzz CCCC εεσε− =−=−− 23111223 11221212 yyzzyzz CCCC εεσε− =−=−− Коэффициент Пуассона для симметрии D2 анизотропен 331122121223121323111312231322 11221212 ()()() zzzzzz CCCCCCCCCCCCCCC CCCCE σεε −+−+−==−= Модуль Юнга имеет тот же смысл, что и для изотропного тела Три практических правила определения структуры произвольного тензора, описывающего свойства системы с определенной группой симметрии: 1.
Если в группе симметрии есть элемент, соответствующий преобразованию координат, при котором некоторая компонента тензора меняет знак, то эта компонента равна нулю.
,..,,.., ininCC →− ,..,0inC= 3.
Если в группе симметрии есть элемент, соответствующий преобразованию координат, при котором некоторая компонента тензора переходит в другую, то эти компоненты равны друг другу.
(как правило, задача сводится к некоторой комбинаторике четного и нечетного числа разных индексов) (задача сводится к интуитивному выбору или нахождению перебором соответствующих элементов группы) ,..,',..,' ininCC→ ,..,',..,' ininCC= 2.
(обобщение 1) Если в группе симметрии есть элемент, соответствующий преобразованию координат, при котором некоторая компонента тензора меняет значение, то эта компонента равна нулю.
,..,,.., ininCCC →≠ ,..,0inC= 1.
Как меняются компоненты тензора при преобразовании системы координат, соответствующим элементу группы симметрии направлений кристалла? 2.
Как меняются компоненты тензора второго ранга при преобразовании системы координат, соответствующим операции инверсии относительно нуля? 4.
Сколько различных ненулевых компонент имеет тензор 2-го ранга, описывающий некоторое свойство кубического кристалла (группа Oh)? 3.
Какие преобразования координат соответствуют точечным преобразованиям группы Oh при определенном выборе системы координат (оси направлены вдоль ребер, а центр совпадает с центром инверсии)? 5.
Определение тензора деформаций для случая малых деформаций Контрольные вопросы 7.
Как относительное изменение объема тела выражается через компоненты тензора деформации 6.
Какую физическую величину определяют главные значения тензора деформаций? (для случая малых деформаций) 8.
Определение тензора напряжений 9.
Какой вид имеет тензор напряжений для деформации всестороннего сжатия изотропного твердого тела? 10.
Как меняется объем тела при деформации чистого сдвига? 11.
Сколько независимых констант нужно использовать для описания упругих свойств изотропного твердого тела? 14.
Что такое коэффициент Пуассона? 12.
Что такое однородная деформация? Примеры? 13.
Что такое модуль Юнга? 15.
В чем заключается явление пьезоэлектричества? 16.
Чему равны компоненты тензора пьезоэлектричества для кристалла, в группе симметрии которого есть операция инверсии? 18.
Сколько независимых констант нужно использовать для описания упругих свойств произвольного кристалла 17.
Какими свойствами симметрии обладает тензор упругости произвольного кристалла? 19.
Сколько независимых констант нужно использовать для описания упругих свойств кристалла с симметрией Оh? 20.
Можно ли определить коэффициент Пуассона для кристалла c симметрией D2 вдоль направления одной из осей поворота (z)? Почему? ЗАДАЧИ старые нерешенные 5.
Проанализировать наличие эквивалентных плоскостей и осей в группах Сnv, Dn,Td( два элемента симметрии эквивалентны, если в группе существует преобразование, переводящее их друг в друга) Лекция 2: 3.
Сколько существует различных двумерных решеток Браве? Перечислить.
Обосновать.
Лекция 3: 4.
Вычислить относительную долю пространства, заполненного сферами, в следующих структурах: а) простая кубическая структура;
б) ОЦК структура;
в) ГЦК структура: ЗАДАЧИ новые 1.* Доказать правило перемножения значков для тензоров второго ранга 4.
Может ли быть пьезоэлектричество в кристалле GaAs? Если да, то как надо деформировать кристалл, чтобы его обнаружить? 5.
Определить коэффициент Пуассона (σ) для кубического кристалла вдоль направления [001] 2.
Определить число и вид независимых компонент тензора упругих модулей для группы Cs(C1h) 3.
Определить отличные от нуля независимые компоненты пьезоэлектрического тензора для классов D2 и T.
Учитывать
Тензор проводимости и закон Ома 2.
Преобразование координат группы Oh 1.
У.
Харрисон, "Теория твердого тела".
3.
Элементы континуальной теории упругости 3.
Ландау и Лифшиц, том VII "Теория упругости", Глава I (П 1, 2, 5).
2.
А.
Келли, Г.
Гровс, “Кристаллография и дефекты в кристаллах”.
6.
Тензор упругих модулей.
Закон Гука.
7.
Тензор четвертого ранга в кристаллах (группа Oh) 4.
Явление пьезоэлектричества 5.
Тензор третьего ранга в кубических кристаллах (группа Oh) Физические тензоры и симметрия направлений в кристаллах Любому точечному преобразованию в кристалле соответствует матрица, описывающая преобразование координат – Поворот C4 вокруг оси z: (x,y,z)→ (y,–x,z)=Π1-01-01-=Π10101-=Π101-010Π=zyxzyx333231232221131211Π' Примеры: - Инверсия относительно нуля (i): (x,y,z) --> (-x,-y,-z) - Отражение в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси x (σx): (x,y,z) --> (-x,y,z) (x,y,z)→ (y,z,x) — поворот C3, - Поворот вокруг C3 оси куба=Π01010 Совершим последовательно два точечных преобразования, описываемых матрицами преобразования координат Π1 и Π2 .
Произвольная точка с координатамиr в результате этих преобразований будет иметь координатыr ': 2121 '()()rrr =Π×Π×=Π×Π×rrr Группа преобразований точечной симметрии изоморфна группе соответствующих матриц преобразования координат Группа матриц преобразования координат является матричным представлением группы преобразований симметрии Симметрия направлений кристалла (кристаллический класс) определяет структуру тензоров, описывающих их свойства.
Рассмотрим некоторую группу точечной симметрии Произведению преобразований симметрии соответствует произведение матриц преобразования координат.
Множество всех матриц преобразования – тоже группа с обычным матричным умножением Преобразования симметрии и соответствующие им матрицы перемножаются по одной и той же таблице умножения Пример : тензор проводимости и закон Ома Зависимость плотности тока в кристалле от приложенного электрического поля в линейном приближении в определенной системе координат будет иметь вид:zzzyzyxzxzyzyyyxyxyzxzyxyxxxxEjEjEjσ+=+=+= или),(,∑=kikizyxkiEjσkikiEjσ= или еще короче:σik - тензор второго ранга, описывающий “свойство” кристалла – проводимость.kikiEj'σ= В новой системе координат: Согласно общему правилу, компоненты тензора для двух систем координат связаны как'kikkiiikσΠ ΣΠ=I’ k’ Вспомним Для тензора первого ранга (вектора) закон преобразования тензора совпадает с законом преобразования координат точки :∑=Π=31'jijierjijjijixΠ=Π=∑=31' Для тензора второго ранга закон преобразования тензора совпадаетс законом преобразования произведения координатjixij'σ⇒jijix'⇒ Аналогичное правило перемножения значков работает для тензоров произвольного ранга Так же как и (доказательство –обязательная домашняя задача) Рассмотрим преобразование компонент тензора при простых точечных преобразованиях, приводящих к перестановке индексов и смене их знаков - Отражение в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси x (σx): (x,y,z) --> (-x,y,z)=Π10101---- xxxyxzxxxyxz yxyyyzyxyyyz zxzyzzzxzyzz σσσσσσ ÷÷→ ÷÷ правило преобразования тензора: Работает правило перемножения значков! Итак, если известен закон преобразования координат, соответствующий некоторой операции симметрии кристалла, правило перемножения значков позволяет легко определить закон преобразования компонент тензора - Инверсия (i): (x,y,z) ->(-x,-y,-z)=Π1-01-01- xxxyxzxxxyxz yxyyyzyxyyyz zxzyzzzxzyzz σσσσσσ ÷÷→ ÷÷ Симметрия кристалла накладывает ограничение на вид любого тензора, описывающего его свойства: если при преобразованиях симметрии направлений направления в кристалле переходят в эквивалентные, то и тензор, характеризующий свойства этого кристалла, не должен менять своего вида при этих преобразованиях симметрии, т.
е.
его компоненты не должны меняться.
три оси четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка.
шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер и три плоскости, параллельные граням куба.
Преобразования координат группы куба (Oh) При определенном выборе системы координат (оси направлены вдоль ребер, а центр совпадает с центром инверсии) точечным преобразованиям группы Oh соответствуют все перестановки координат с любыми изменениями знаков, например: (x,y,z)→ (–x,–y,–z) — инверсия, (x,y,z)→ (y,–x,z) – поворот C4 вокруг оси z (x,y,z)→ (y,z,x) — поворот C3, -------------------------------------------------------------- Всего 48 = 3!· 23 , где 3! — число возможных перестановок, 23 — число возможных расстановок знаков.
Возьмем преобразование, при котором координаты x и y меняются местами:(x,y,z)→ (y,x,z).
При этом преобразовании σxx →σyy.
Т.
к.
компоненты тензора кристалла класса Oh не должны меняться при всех преобразованиях симметрии группы куба, то получаем что σxx = σyy.
Аналогично доказывается, что σxx = σzz и σyy = σzz.
Рассмотрим другое преобразование группы куба: (x,y,z)→ (–x,y,z): σxy →–σxy .
Отсюда следует, что σxy = 0.
Аналогично доказывается, что равны нулю все недиагональные компоненты тензора.
Недиагональные компоненты любого тензора второго ранга, характеризующего свойства кристалла класса Oh , равны нулю, а диагональные равны между собой, т.
е.
тензор превращается в скаляр.
Закон Ома для кристалла группы Oh имеет вид:Ejrσ= Элементы континуальной теории упругости (L&L, том 7, глава 1, п.
1-2) Под влиянием приложенных сил твердые тела деформируются, т.е.
меняют форму и объем.
Характер деформации зависит от величины силы: - область упругих деформаций - деформации обратимы, связь деформации и силы линейная (выполняется закон Гука);
- область пластических деформаций - деформации необратимы, закон Гука не выполняется;
- область разрушений - образец разъединяется на части.
Теория упругости работает в области упругих деформаций и рассматривает твердые тела как сплошные среды "Одномерный" закон Гука:Fkx =∆ Упругая энергия:212Ekx =∆F - сила, - растяжение,k - коэффициент упругостиx∆ Тензор деформаций Задание вектора деформации как функции координат полностью определяет деформацию тела.
Но этот же вектор описывает и смещение тела как целое.
Поэтому деформацию в точке с координатами(x1,x2,x3 ) описывают как изменение расстояния между бесконечно близкими точками вблизи этой координаты.
Пусть до деформации координаты некоторой точки былиrс компонентами x1 =x, x2 =y, x3 =z, а после деформации сталиr ' с компонентами xi '.
Смещение точки тела при деформации изобразится вектором u=r'-r - вектор деформации (или вектор смещения) Пусть до деформации это расстояние было2321dxdl+= Далее будем подразумевать суммирование по повторяющимся индексам в каждом сомножителе выражения.
Тогда: 22222123iii dldxdxdxdxdxdx =++== Тогда:kiikdxdlε2'2+= после деформации: , где 2'222 '()2iii iiiikklkkluuu dldxdxdudldxdxdxdxxxx ∂∂∂ ==+=++ ∂∂∂ '2'2'2123' dldxdxdx=++idudx+=' , где или Тензор деформации по определению симметриченkiikε=1()2 ikllik kiik uuuux xxxxε ∂∂∂∂=++ ÷ ∂∂∂∂ r - тензор деформации Теорема Любой симметричный тензор можно привести к главным осям, то есть выбрать систему координат, в которой тензор - диагонален.
Если тензор деформации в данной точке привести к главным осям, то вблизи этой точки элемент длины после деформации имеет вид:23)3(2)2(21)1(2)21()21()21()2(2'dxdlkiikkiikεδε+=+=+= Деформацию в каждом элементе объема тела можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно- перпендикулярным направлениям - главным осям тензора деформаций Каждая из этих деформаций представляет собой простое растяжение (или сжатие) вдоль соответствующего направления.
Например, длинаdx1 превращается в длину1)1(121'dxε+= Величины представляют собой относительные удлинения вдоль соответствующих осей121)(−+iεidx−'ε(i)=εii - главные значения тензора1,0,ikδ== =≠ Случай малых деформаций С точностью до величин высшего порядка относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации равны главным значениям этого тензора121')(−+=−idxε)(iε≈∂+∂=ikiikxuxu21ε тензор деформаций в пренебрежении членами второго порядка малости 1/2211 (1)1...28xxx ±=±m Изменение объема при малых деформациях dV - элемент объема вблизи точки (x1,x2,x3 ).
Вычислим объем этого элемента после деформирования dV', используя в качестве осей координат главные оси тензора деформации в этой точке.)1()1)(1)(1()1)(1)(1(')3()2()1()3()2()1()3()2()1(321321ε+≈+=+=dVdxdViidVε=−' относительное изменение объема равно сумме диагональных компонент тензора деформацииiiε=+)3()2()1( сумма диагональных компонент (след, шпур) тензора не зависит от системы координат Теорема При деформировании в теле возникают силы, стремящиеся вернуть его в состояние равновесия.
Эти силы называются внутренними напряжениями, которые описываются тензором 2-го ранга - тензором напряженийσ.
Например, на единичную площадку, перпендикулярную к осиx , действуют нормальная к ней (направленная вдоль осиx ) силаσxx и тангенциальные (направленные по осямy иz) силыσyx иσzx.
Компонентаσik тензора напряжений естьi -я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярной кк -ой оси тензор напряжений симметричен ( см.
L&L том 7, глава 1, п.2) Тензор напряжений xxxyxz ikyxyyyz zxzyzz σσσ σσσσ σσσ ÷= ÷ xyzxxσyxσzxσyyσxyσzyσzzσyzσxzσ "Одномерный" закон Гука:Fkx =∆ Равномерное всестороннее (гидростатическое) сжатие - на каждую точку поверхности тела действует одинаковое по величине давление, направленное везде по нормали к поверхности внутрь объема тела.
Тангенциальных напряжений нет, все отличные от нуля компоненты равны давлениюp:ikpδσ−= Всестороннее сжатие сопровождается изменением объема без изменения формы.
Деформация сдвига - объем тела остается неизменным, меняется только его форма (εii=0) Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига и всестороннего сжатия:,31)31(llikllikεδεδε+−= сдвиг сжатие Простые деформации: изотропные твердые тела332211ε+=ll Свободная энергия деформации изотропного твердого тела221()32 ikikllllKE µεδεε =−+К - модуль всестороннего сжатия μ - модуль сдвига Закон Гука для изотропного твердого тела:111239 ikikikllikllK εσδσδσµ =−+ ÷ обратная формула:123 ikikllllikK µεδεεδ =−+ ÷ Можно показать : Из компонент симметричного тензора можно составить два независимых скаляра второй степени Разложение удельной энергии (скаляра) с точностью до членов второго порядка по элементам тензора деформации можно представить в виде суммы квадратов компонент "сдвига" и "всестороннего сжатия"ikEσε∂=∂ "Одномерный" закон Гука:Fkx =∆ Упругая энергия:212Ekx =∆ Однородные деформации Деформации, при которых тензор деформации постоянен по всему объему тела.
Примеры: - всестороннее сжатие - простое растяжение (или сжатие) стержня (стенки свободны) - одностороннее сжатие (стенки зафиксированы) Простое растяжение: Силы действуют равномерно на поверхности концов стержня (вдоль оси z), p - сила, действующая на единицу поверхности.pzz=σ , остальные элементы тензора напряжений равны нулюpEzz1=ε - относительное растяжение стержня вдоль zE - модуль растяжения (модуль Юнга) , 1/E - коэффициент растяженияzzyyxx σεε−= относительное сжатие в поперечном направлении σ - коэффициент Пуассона Для изотропного стержня:,312131pKyyxx−=µε,13131pKzz+=µε,39µ+=KEµσ+−=K32321 Явление пьезоэлектричества В кристаллах с определенной симметрией деформация кристалла может вызывать электрическую поляризацию кристалла (возникновение дипольного момента).
В линейном приближении вектор поляризации кристалла (дипольный момент единицы объема)P выражается через тензор деформаций:jkijkiePε= тензор 3-го рангаeijk – пьезоэлектрический тензор, определяет пьезоэлектрические свойства кристалла Теорема: Для любого кристалла, обладающего центром инверсии все компоненты тензора третьего ранга равны нулю.
Действительно, при операции инверсии (x,y,z)→ (–x,–y,–z) любая компонента тензора третьего ранга меняет знак (т.
к.
меняет знак произведение любых трех координат):eijk → –eijk .
Но если кристалл имеет центр инверсии, то он не должен менять своих свойств при операции инверсии, откуда следуетeijk = 0.
Следствия: 1.
Кубический кристалл класса Oh не обладает пьезоэлектричеством 2.
Кристаллы с простой решеткой не обладают пьезоэлектричеством Тензор второго ранга : тензор проводимостиkikiEjσ=jkijkiePε= Тензор третьего ранга : пьезоэлектрический тензор вектор вектор вектор тензор 2-го ранга Тензор четвертого ранга : тензор упругих модулейlm iklmikCεσ= тензор 2-го ранга тензор 2-го ранга iklmC имеет размерность давления Матричные обозначения.
Двойное сочетание ij (i,j=1,2,3) заменяется одним символом по следующей схеме: 11 1;
22 2;
33 3;
23,32 4;
31,13 5;
12,21 6 т.к.
тензоры напряжения и деформации симметричны, тензор упругих модулей симметричен по двум первым и двум последним индексам: iklmikmlkilmlmik CCCC=== В результате число независимых компонент тензора - 21 Тензор 4-го ранга для кубической симметрии Oh Преобразованиям координат группы Oh соответствуют все возможные перестановки координат со всеми возможными изменениями знаков.
Поэтому равны нулю все компоненты тензора, содержащие нечетное количество одинаковых индексов (например,C xyzx илиС xxxz) Отличны от нуля 4 набора компонент тензора, содержащие четные количества одинаковых индексов:C iiii, C iikk, C ikik, C ikki Элементы каждого набора равны между собой, т.к.
группа Oh включает преобразования, соответствующие любым перестановкам координат.
В первый набор входят три равных диагональных компонента, а остальные наборы содержат 18 компонент, по 6 в каждом.
Кроме того для тензора упругих модулейC ikik= C ikki (из-за симметрии тензора по двум первым и последним индексам).
Итак, для группы симметрии Oh имеется всего три независимых компонента тензора упругих модулей:C iiii=С11 ;
C iikk=С12 ;
C ikik=C ikki=С44 получаются присоединением к вертикальной оси симметрии n-го порядка перпендикулярной ей оси С2 , что приводит к появлению еще (n-1) горизонтальных осей С2 , так что углы между ними равны π/n.D2 =VD1 Порядок группы - 2n: n поворотов вокруг Cn и n вращений вокруг осей С2 Группы Dn: Тензор упругих модулей для группы D2 3.
ромбическая или ортогональная(D2h ) - o;2/321321πβ=≠a Задача: Определить число и вид независимых компонентов тензора упругих модулей для группы D2 Элементы группы: E, C2,z, U2,x, U2,y Преобразования координат: :(,,)(,,) Exyzxyz→2, :(,,)(,,)z Cxyzxyz →−−2, :(,,)(,,)x Uxyzxyz →−−2, :(,,)(,,)y Uxyzxyz →−− При любом преобразовании (кроме Е) одна из координат не меняет знак, две другие - меняют.
ijklijklCC →− т.е.
всегда можно найти преобразование, когда любой из индексов меняет знак.
Если хоть один из индексов встречается нечетное количество раз Не равны нулю компоненты с четным количеством индексов 112233,, xxxxyyyyzzzz CCCCCC=== 121323,, xxyyxxzzyyzz CCCCCC=== 665544,, xyxyxzxzyzyz CCCCCC=== Задача: Определить модуль Юнга и коэффициент Пуассона для кристалла c симметрией D2 вдоль направления одной из осей поворота (z) Закон Гука в главных осях: ikiklmlmC σε= Модуль Юнга Е:1 zzzzE εσ= 132333 zzzzlmlmzzxxxxzzyyyyzzzzzzxxyyzz CCCCCCC σεεεεεεε ==++=++ 1112130 xxxxlmlmxxxxxxxxyyyyxxzzzzxxyyzz CCCCCCC σεεεεεεε ===++=++ 1222230 yyyylmlmyyxxxxyyyyyyyyzzzzxxyyzz CCCCCCC σεεεεεεε ===++=++ 111213 122223 1323330xxyy zzzzCCCε εσ ÷÷÷= ÷÷÷ Можно разрешить систему и выразитьzzyyxx σεε−= Коэффициент Пуассона :σ();
iizzf εσ=() iikkf εε= 13221223 11221212 xxzzxzz CCCC εεσε− =−=−− 23111223 11221212 yyzzyzz CCCC εεσε− =−=−− Коэффициент Пуассона для симметрии D2 анизотропен 331122121223121323111312231322 11221212 ()()() zzzzzz CCCCCCCCCCCCCCC CCCCE σεε −+−+−==−= Модуль Юнга имеет тот же смысл, что и для изотропного тела Три практических правила определения структуры произвольного тензора, описывающего свойства системы с определенной группой симметрии: 1.
Если в группе симметрии есть элемент, соответствующий преобразованию координат, при котором некоторая компонента тензора меняет знак, то эта компонента равна нулю.
,..,,.., ininCC →− ,..,0inC= 3.
Если в группе симметрии есть элемент, соответствующий преобразованию координат, при котором некоторая компонента тензора переходит в другую, то эти компоненты равны друг другу.
(как правило, задача сводится к некоторой комбинаторике четного и нечетного числа разных индексов) (задача сводится к интуитивному выбору или нахождению перебором соответствующих элементов группы) ,..,',..,' ininCC→ ,..,',..,' ininCC= 2.
(обобщение 1) Если в группе симметрии есть элемент, соответствующий преобразованию координат, при котором некоторая компонента тензора меняет значение, то эта компонента равна нулю.
,..,,.., ininCCC →≠ ,..,0inC= 1.
Как меняются компоненты тензора при преобразовании системы координат, соответствующим элементу группы симметрии направлений кристалла? 2.
Как меняются компоненты тензора второго ранга при преобразовании системы координат, соответствующим операции инверсии относительно нуля? 4.
Сколько различных ненулевых компонент имеет тензор 2-го ранга, описывающий некоторое свойство кубического кристалла (группа Oh)? 3.
Какие преобразования координат соответствуют точечным преобразованиям группы Oh при определенном выборе системы координат (оси направлены вдоль ребер, а центр совпадает с центром инверсии)? 5.
Определение тензора деформаций для случая малых деформаций Контрольные вопросы 7.
Как относительное изменение объема тела выражается через компоненты тензора деформации 6.
Какую физическую величину определяют главные значения тензора деформаций? (для случая малых деформаций) 8.
Определение тензора напряжений 9.
Какой вид имеет тензор напряжений для деформации всестороннего сжатия изотропного твердого тела? 10.
Как меняется объем тела при деформации чистого сдвига? 11.
Сколько независимых констант нужно использовать для описания упругих свойств изотропного твердого тела? 14.
Что такое коэффициент Пуассона? 12.
Что такое однородная деформация? Примеры? 13.
Что такое модуль Юнга? 15.
В чем заключается явление пьезоэлектричества? 16.
Чему равны компоненты тензора пьезоэлектричества для кристалла, в группе симметрии которого есть операция инверсии? 18.
Сколько независимых констант нужно использовать для описания упругих свойств произвольного кристалла 17.
Какими свойствами симметрии обладает тензор упругости произвольного кристалла? 19.
Сколько независимых констант нужно использовать для описания упругих свойств кристалла с симметрией Оh? 20.
Можно ли определить коэффициент Пуассона для кристалла c симметрией D2 вдоль направления одной из осей поворота (z)? Почему? ЗАДАЧИ старые нерешенные 5.
Проанализировать наличие эквивалентных плоскостей и осей в группах Сnv, Dn,Td( два элемента симметрии эквивалентны, если в группе существует преобразование, переводящее их друг в друга) Лекция 2: 3.
Сколько существует различных двумерных решеток Браве? Перечислить.
Обосновать.
Лекция 3: 4.
Вычислить относительную долю пространства, заполненного сферами, в следующих структурах: а) простая кубическая структура;
б) ОЦК структура;
в) ГЦК структура: ЗАДАЧИ новые 1.* Доказать правило перемножения значков для тензоров второго ранга 4.
Может ли быть пьезоэлектричество в кристалле GaAs? Если да, то как надо деформировать кристалл, чтобы его обнаружить? 5.
Определить коэффициент Пуассона (σ) для кубического кристалла вдоль направления [001] 2.
Определить число и вид независимых компонент тензора упругих модулей для группы Cs(C1h) 3.
Определить отличные от нуля независимые компоненты пьезоэлектрического тензора для классов D2 и T.
Учитывать