Тензор деформаций. Тензор скоростей деформации

1. Тензор деформаций. Тензор скоростей деформации.

2. Тензор скоростей деформации

• Напряжённое состояние среды связано и
определяется деформационными
изменениями. Так, например, под
воздействием одной и той же
растягивающей силы различные материалы
получают различные удлинения.

3. Тензор скоростей деформации

P
• Связь напряжений и
деформаций для
твёрдых тел
осуществляется с
помощью закона Гука:
l1 l2 l
F
E , ,
,
S
l1
l1
• Где E – модуль упругости,
физический смысл – напряжение.

4. Тензор скоростей деформации

• Тензор напряжений (или напряжённое
состояние точки среды) зависит от скорости
течения среды.
i
xi
• Кинематическое
соотношение,
характеризующее движение жидкости - это
градиент скорости .

5. Тензор скоростей деформации

• Напряжения,
их
величина, в вязкой,
жидкой
среде
связаны
со
скоростями
течения среды.
• Причём чем сильнее изменяется величина
скорости по сечению канала, тем больше усилие
действует на среду, тем большее напряжение в
среде возникает.

6. Тензор скоростей деформации

• В общем случае течения, возможно, более
чем
одно
ненулевое
направление
градиента скорости.
• Каждый из трёх компонентов скорости
может изменяться в трёх координатных
направлениях, что даёт девять возможных
компонент градиента. Таким образом,
можно ввести тензор градиентов скорости
, который в декартовых координатах
запишется:

7. Тензор скоростей деформации

x
x
y
x
y
y
x
z
y
x
z
x
y
z
y
z
z
z

8. Тензор скоростей деформации

• Движение жидкости представляет собой
одновременное перемещение и вращение.
Такие движения можно разделить,
представить тензор градиентов
деформацией в виде двух частей:
1
2
• Где γ - тензор скоростей деформации, ω - вращательный
тензор.

9. Тензор скоростей деформации

• Тензор скоростей деформаций вводится
следующим образом:
где
тензор - транспонированный тензор, имеющий те же
компоненты, что и , но с переставленными индексами (столбцы и
строки переставлены).

10. Тензор скоростей деформации

• Уравнениями
состояния
или
реологическими уравнениями называют
уравнения
связывающие
тензор
напряжений
и
тензор
скоростей
деформаций, т.е.
2 x
x
y
x
x
y
z x
x
z
x y
y
x
y
2
y
z y
y
z
x z
z
x
y z
z
y
2
z
z

11. Тензор деформации

• Напряжения приложенные к среде (возникающие в
среде) приводят к возникновению различного рода
деформаций. Течению – для жидкой среды,
изменению объема и формы тел.
• Для определения полного деформационного
состояния в среде вводят понятие тензора
деформаций.

12. Тензор деформации

Z
А1
1
А1ᴵ
Д1
1
С1
С1ᴵ
Д1ᴵ
А
dz
Аᴵ
dx
x
Д
dy
Дᴵ
• Вырежем из тела
В
(полимера)
Вᴵ
элементарный
параллелепипед
АВСДА1В1С1Д1,
ребра которого
В y
равны dx, dy, dz
Вᴵ
совмещением
начала координат
с вершиной А.
С
Сᴵ

13. Тензор деформации

y
u
Вᴵ
v
B
v
dy Сᴵ
y
C
u
dy
Aᴵ
A
дᴵ
v
dx
u
dx
x
Д
x
В результате деформации
тела выделенный
параллелепипед
переместится в новое
положение. При этом
произойдут изменения длин
ребер и искажение углов
между ребрами.
Новое положение
параллелепипеда без
искажения ребер обозначим
А`В`С`Д`А1`В1`С1`Д1`.

14. Тензор деформации

• Спроецируем первоначальное положение
грани АВСД и новое положение этой грани
на плоскость хАу. Обозначим линейные
перемещения т. А в направлении осей х и у
через u и v. Линейное перемещение т. С в
направлении оси х равно: u u dx
x
• В направлении оси у равно: v v dy
y

15. Тензор деформации

• При этом ребро АД, которое до деформации имело
u
длину dx получит приращение равное x dx , а ребро
АВ, которое до деформации имело длину dy
увеличится на v dy .
y
• Относительной линейной деформацией в точке по
данному направлению называется отношение
изменения длины бесконечно малого линейного
элемента к его первоначальной длине.

16. Тензор деформации

Относительная линейная деформация в направлении х:
u
dx
u
x x
dx
x
v
Для направления y: y y
Аналогично, если рассмотреть другую проекцию
граней: z w
z
Где w линейное приращение т. А в направлении оси z.

17. Тензор деформации

y
B
u
dy
y
Cᴵ
Bᴵ
C
dy
Дᴵ
v
dx
x
А
dx
Д
• Рассмотрим отдельно
угловую деформацию.
Пусть грань АВСД в
результате угловой
деформации
переместится в
положение А`В`С`Д`.
x

18. Тензор деформации

• При этом т. Д перемещается в направлении у в т.
v
Д`, перемещение при этом
dx .
x
• т. В – в направлении х в т. В`, перемещение при
этом равно: u dy
y
• Угловой деформацией называется величина
искажения прямого угла, т.е.
γ =π/2- BᴵАДᴵ= ВАВᴵ+ ДАДᴵ
xy

19. Тензор деформации

• Т.к. углы малы, то их величины можно
заменить тангенсами этих углов, т.е.
принимаем, что:
u
BAB I
dy
BB
u
y
AB
dy
y
I
v
dx
ДАДᴵ=ДДᴵ/АД= x v
dx
x

20. Тензор деформации

• Угловая деформация на плоскости Аху будет равна:
xy
u v
y x
• Аналогично получаем деформацию для плоскостей
хАz и уАz:
w u
xz
x z
v w
yz
z y

21. Тензор деформации

• В итоге получаем шесть независимых
компонент линейных и угловых
деформаций.
• Тензор деформации выводим следующим
образом:
x 1/ 2 xy 1/ 2 xz
D 1/ 2 yx y 1/ 2 yz
1/ 2 zx 1/ 2 zy z
x xy xz
yx y yz
zy
z
zx

22. Тензор деформации

• Тензор симметричен, т.е.
xy yx , xz zx , yz zy
• В случае упругой деформации существуют
следующие зависимости тензоров
напряжений и деформаций.

23. Простой сдвиг

α
tg
G
• Деформация происходит под действием
тангенциальной силы. Происходит
изменение формы, но не объема.

24. Всестороннее сжатие

• Если каждая сторона
куба подвергается
действию нормального
напряжения, то
сжимающим
напряжением является
давление.

25. Всестороннее сжатие

• Происходит изменение
объема при сохранении
формы.
1
( X Y Z )
3
X Y Z
K
• Где К – модуль
всестороннего сжатия,
• - объемная деформация.

26. Простое растяжение

• Происходит изменение и формы и объема
образца. Под действием нормального
напряжения происходит одновременно
продольная и поперечная деформации.
L0
∆L

27. Простое растяжение

• По закону Гука:
Е прод Е
l
l0
• Где Е – модуль Юнга, модуль упругости.
• Коэффициент Пуассона:
| попер |
| прод |
• Характеризует соотношение продольной и
поперечной деформаций.

28. Простое растяжение

• Уравнение связывающее константы:
Е
1
2G
• При
0,5 (чисто упругое тело).
Е 3G

29. Тензор деформации

• Если деформация строго пропорциональна
напряжению, то модуль Е есть коэффициент
пропорциональности и имеет для
заданного материала определенное
значение. В общем случае
пропорциональность напряжения и
деформации отсутствует.

30. Тензор деформации

• Поэтому модуль Е
определяется как tgα, где
α угол между касательной
к кривой и осью
деформации.
• Формально определить
модуль Е для данного
образца при любой
деформации можно как:
d
E
d