А.А. Башев ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА
Тема 8
Несинусоидальные токи
Разложение периодических функций.  Характеристики несинусоидальных величин
Пример несинусоидальной функции
Пример несинусоидальной функции
Величины, характеризующие несинусоидальные токи
Величины, характеризующие несинусоидальные токи
Величины, характеризующие несинусоидальные токи
Величины, характеризующие несинусоидальные токи
Мощность в цепях периодического несинусоидального тока
Мощность в цепях периодического несинусоидального тока
Рекомендуемая литература
Тема 8 Закончена
552.50K
Категория: ЭлектроникаЭлектроника

Электротехника и электроника. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

1. А.А. Башев ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Федеральное агентство по образованию
Нижегородский государственный технический университет
им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА
А.А. Башев
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
И ЭЛЕКТРОНИКА
Кафедра “Теоретическая и общая
электротехника”
Для студентов электротехнических
специальностей всех форм обучения

2. Тема 8

ЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОКАХ

3. Несинусоидальные токи

Периодическими
несинусоидальными токами и
напряжениями называются токи и
напряжения, изменяющиеся во
времени по периодическому
несинусоидальному закону

4. Разложение периодических функций.  Характеристики несинусоидальных величин

Разложение периодических функций.
Характеристики несинусоидальных
величин
Для анализа процессов в линейных
электрических цепях при воздействии
на них несинусоидальных токов или
напряжений последние обычно
разлагаются в ряд Фурье.

5.

Ряд Фурье в тригонометрической форме
Ряд Фурье в тригонометрической форме
a0
f (t ) (an cos( n 1t ) bn sin( n 1t ))
2 n 1
1 (2 / T )
– угловая частота первой гармоники
Электротехника и электроника
5

6.

Ряд Фурье в тригонометрической форме
Коэффициенты an и bn вычисляются по формулам
2 / 2
an f (t ) cos( n 1 t )dt
T / 2
a /
2 / 2
bn f (t ) sin (n 1 t )dt
T / 2
– постоянная составляющая, равная среднему
значению функции f(t) за период:
1 / 2
a0 f (t )dt
T / 2
Электротехника и электроника
6

7.

Случаи симметрии
Случай 1. Четная функция: f (t ) f ( t )
Разложение в ряд Фурье четной функции содержит
только косинусы:
a
f (t )
an cos(n t )
n
Коэффициенты при синусных составляющих bn 0, n 1, 2,
Электротехника и электроника
7

8.

Случаи симметрии
Случай 2. Нечетная функция: f (t ) f ( t )
Разложение в ряд Фурье нечетной функции содержит
только синусы:
f (t ) bn sin( n 1t )
n 1
Электротехника и электроника
8

9.

Случаи симметрии
Случай 3. Функция f(t) симметрична относительно оси
абсцисс при совмещении двух полупериодов во времени,
т. е.
f (t ) f (t T / 2).
Четные гармоники, а также составляющая
нулю, т. е.
a /
равны
an bn , n , , ,
Электротехника и электроника
9

10.

Случаи симметрии
Пример – последовательность прямоугольных импульсов.
Разложение в ряд Фурье такой функции содержит только
нечетные гармоники:
4U
1
1
f (t )
sin( 1 t ) sin( 3 1 t ) sin( 5 1 t ) ...
3
5
U – амплитуда прямоугольных импульсов.
Электротехника и электроника
10

11.

Комплексная форма ряда Фурье
Ряд Фурье в тригонометрической форме
a0
f (t ) (an cos( n 1t ) bn sin( n 1t ))
2 n 1
Воспользуемся равенствами:
cos n 1t
e
jn 1t
e
2
jn 1t
; sin n 1t
e
jn 1t
e
j2
jn 1t
Электротехника и электроника
11

12.

Комплексная форма ряда Фурье
Ряд Фурье примет вид:
a0 1
jn t
jn t
f t ((an jbn )e (an jbn )e )
2 2 n 1
1
Коэффициент
индекса n:
1
an – четная, а bn – нечетная функция
an a n , bn b n
Поэтому элемент -jbn можно рассматривать как слагаемое
с отрицательным индексом.
Электротехника и электроника
12

13.

Комплексная форма ряда Фурье
Изменив нижний предел суммирования на , получим
1
1 jn t
jn t
f (t ) (an jbn )e An e
2 n
2 n
1
1
A n an jbn – комплексный коэффициент ряда Фурье.
j
В показательной форме: An A
bn
An an bn , n arctg
a
n
2
2
Электротехника и электроника
13

14.

Комплексный частотный спектр
Совокупность комплексных коэффициентов A n
гармоник называют комплексным частотным спектром
функции f (t )
Амплитуды гармоник An образуют амплитудный спектр.
Начальные фазы n образуют фазовый спектр.
Электротехника и электроника
14

15.

Комплексный частотный спектр
Комплексная амплитуда n-й гармоники
/ 2
2
A n an jbn f (t ) cos( n 1 t ) j sin( n 1 t ) dt
T / 2
Используя равенства
e jn t e jn t
e jn t e jn t
cos n 1t
; sin n 1t
2
j2
1
1
1
1
получим, что комплексный коэффициент ряда Фурье
/ 2
2
A n f (t )e jn t dt
T / 2
1
Электротехника и электроника
15

16. Пример несинусоидальной функции

17. Пример несинусоидальной функции

Сигнал, состоящий из трех гармоник.

18. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

Максимальное значение – I max
Действующее значение
1T 2
I
i dt
T0
Среднее по модулю значение
1T
I cp i dt
T0
Среднее за период значение
T
1
I 0 idt
(постоянная составляющая)
T0

19. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

I max
êà
Коэффициент амплитуды
I
I
кф
Коэффициент формы
I cp
Коэффициент искажений
I1
ки
I
2
I
k
Коэффициент гармоник к k 2
г
I1

20. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

Действующим значением периодической
несинусоидальной переменной называется
среднеквадратичное за период значение
величины:
T
1 2
I
i dt
T0

21. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

На практике действующее значение
переменной определяется на основе
информации о действующих значениях
конечного ряда гармонических.
1
2
I 2 I 02 I km
2 k 1
I
2
Ik
k 0

22. Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Допустим, ток и напряжение являются
периодическими несинусоидальными
функциями:
u(t ) U km sin( k t k )
k 0
i(t ) I km sin( k t k )
k 0
1T
1T
P u (t ) i (t )dt U km sin k t k I km sin k t k dt
k 0
T0
T 0 k 0

23. Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Среднее за период значение
произведения синусоидальных функций
различной частоты равно нулю, тогда
U km I km
P U0 I0
cos( k k ) U 0 I 0 U k I k cos k
2
k 1
k 1
k k k
Где
Реактивная
Q Qk U k I k sin k
k 1
k 1
мощность

24.

Мощность в цепях периодического
несинусоидального тока
Полная мощность
S UI
2
U
k
k 0
2
2
2
2
2
2
I
P
Q
T
P
Q
k
k 0
где Т – мощность искажений,
определяемая произведениями
действующих значений разнопорядковых
гармонических тока и напряжения.

25. Рекомендуемая литература

1. Алтунин Б.Ю., Панкова Н.Г. Теоретические основы электротехники:
Комплекс учебно - методических материалов: Часть 1 / Б.Ю. Алтунин,
Н.Г. Панкова; НГТУ им. Р.Е. Алексеева. Н.Новгород, 2007.-130 с.
2. Алтунин Б.Ю., Кралин А.А. Электротехника и электроника: комплекс
учебно-методических материалов: Ч.1/ Б.Ю. Алтунин, А.А. Кралин;
НГТУ
им. Р.Е. Алексеева. Н.Новгород, 2007.-98 с.
3. Алтунин Б.Ю., Кралин А.А. Электротехника и электроника: комплекс
учебно-методических материалов: Ч.2/ Б.Ю. Алтунин, А.А. Кралин;
НГТУ
им. Р.Е. Алексеева. Н.Новгород, 2008.-98 с
4. Касаткин, А.С. Электротехника /А.С. Касаткин, М.В. Немцов.-М.:
Энергоатомиздат, 2000.
5. Справочное пособие по основам электротехники и электроники
/под. ред. А.В. Нетушила.-М.: Энергоатомиздат, 1995.
6. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники.-3-е изд., перераб. И доп.-М.:
Радио и связь, 1990.-512 с.: ил.
7. Новожилов, О. П. Электротехника и электроника: учебник / О. П.
Новожилов. – М.: Гардарики, 2008. – 653 с.
25
Электротехника и электроника

26. Тема 8 Закончена

Благодарю за внимание
English     Русский Правила