Электротехника и электроника. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

1. А.А. Башев ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Федеральное агентство по образованию
Нижегородский государственный технический университет
им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА
А.А. Башев
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
И ЭЛЕКТРОНИКА
Кафедра “Теоретическая и общая
электротехника”
Для студентов электротехнических
специальностей всех форм обучения

2. Тема 8

ЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОКАХ

3. Несинусоидальные токи

Периодическими
несинусоидальными токами и
напряжениями называются токи и
напряжения, изменяющиеся во
времени по периодическому
несинусоидальному закону

4. Разложение периодических функций.  Характеристики несинусоидальных величин

Разложение периодических функций.
Характеристики несинусоидальных
величин
Для анализа процессов в линейных
электрических цепях при воздействии
на них несинусоидальных токов или
напряжений последние обычно
разлагаются в ряд Фурье.

5.

Ряд Фурье в тригонометрической форме
Ряд Фурье в тригонометрической форме
a0
f (t ) (an cos( n 1t ) bn sin( n 1t ))
2 n 1
1 (2 / T )
– угловая частота первой гармоники
Электротехника и электроника
5

6.

Ряд Фурье в тригонометрической форме
Коэффициенты an и bn вычисляются по формулам
2 / 2
an f (t ) cos( n 1 t )dt
T / 2
a /
2 / 2
bn f (t ) sin (n 1 t )dt
T / 2
– постоянная составляющая, равная среднему
значению функции f(t) за период:
1 / 2
a0 f (t )dt
T / 2
Электротехника и электроника
6

7.

Случаи симметрии
Случай 1. Четная функция: f (t ) f ( t )
Разложение в ряд Фурье четной функции содержит
только косинусы:
a
f (t )
an cos(n t )
n
Коэффициенты при синусных составляющих bn 0, n 1, 2,
Электротехника и электроника
7

8.

Случаи симметрии
Случай 2. Нечетная функция: f (t ) f ( t )
Разложение в ряд Фурье нечетной функции содержит
только синусы:
f (t ) bn sin( n 1t )
n 1
Электротехника и электроника
8

9.

Случаи симметрии
Случай 3. Функция f(t) симметрична относительно оси
абсцисс при совмещении двух полупериодов во времени,
т. е.
f (t ) f (t T / 2).
Четные гармоники, а также составляющая
нулю, т. е.
a /
равны
an bn , n , , ,
Электротехника и электроника
9

10.

Случаи симметрии
Пример – последовательность прямоугольных импульсов.
Разложение в ряд Фурье такой функции содержит только
нечетные гармоники:
4U
1
1
f (t )
sin( 1 t ) sin( 3 1 t ) sin( 5 1 t ) ...
3
5
U – амплитуда прямоугольных импульсов.
Электротехника и электроника
10

11.

Комплексная форма ряда Фурье
Ряд Фурье в тригонометрической форме
a0
f (t ) (an cos( n 1t ) bn sin( n 1t ))
2 n 1
Воспользуемся равенствами:
cos n 1t
e
jn 1t
e
2
jn 1t
; sin n 1t
e
jn 1t
e
j2
jn 1t
Электротехника и электроника
11

12.

Комплексная форма ряда Фурье
Ряд Фурье примет вид:
a0 1
jn t
jn t
f t ((an jbn )e (an jbn )e )
2 2 n 1
1
Коэффициент
индекса n:
1
an – четная, а bn – нечетная функция
an a n , bn b n
Поэтому элемент -jbn можно рассматривать как слагаемое
с отрицательным индексом.
Электротехника и электроника
12

13.

Комплексная форма ряда Фурье
Изменив нижний предел суммирования на , получим
1
1 jn t
jn t
f (t ) (an jbn )e An e
2 n
2 n
1
1
A n an jbn – комплексный коэффициент ряда Фурье.
j
В показательной форме: An A
bn
An an bn , n arctg
a
n
2
2
Электротехника и электроника
13

14.

Комплексный частотный спектр
Совокупность комплексных коэффициентов A n
гармоник называют комплексным частотным спектром
функции f (t )
Амплитуды гармоник An образуют амплитудный спектр.
Начальные фазы n образуют фазовый спектр.
Электротехника и электроника
14

15.

Комплексный частотный спектр
Комплексная амплитуда n-й гармоники
/ 2
2
A n an jbn f (t ) cos( n 1 t ) j sin( n 1 t ) dt
T / 2
Используя равенства
e jn t e jn t
e jn t e jn t
cos n 1t
; sin n 1t
2
j2
1
1
1
1
получим, что комплексный коэффициент ряда Фурье
/ 2
2
A n f (t )e jn t dt
T / 2
1
Электротехника и электроника
15

16. Пример несинусоидальной функции

17. Пример несинусоидальной функции

Сигнал, состоящий из трех гармоник.

18. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

Максимальное значение – I max
Действующее значение
1T 2
I
i dt
T0
Среднее по модулю значение
1T
I cp i dt
T0
Среднее за период значение
T
1
I 0 idt
(постоянная составляющая)
T0

19. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

I max
êà
Коэффициент амплитуды
I
I
кф
Коэффициент формы
I cp
Коэффициент искажений
I1
ки
I
2
I
k
Коэффициент гармоник к k 2
г
I1

20. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

Действующим значением периодической
несинусоидальной переменной называется
среднеквадратичное за период значение
величины:
T
1 2
I
i dt
T0

21. Величины, характеризующие несинусоидальные токи

На практике действующее значение
переменной определяется на основе
информации о действующих значениях
конечного ряда гармонических.
1
2
I 2 I 02 I km
2 k 1
I
2
Ik
k 0

22. Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Допустим, ток и напряжение являются
периодическими несинусоидальными
функциями:
u(t ) U km sin( k t k )
k 0
i(t ) I km sin( k t k )
k 0
1T
1T
P u (t ) i (t )dt U km sin k t k I km sin k t k dt
k 0
T0
T 0 k 0

23. Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Среднее за период значение
произведения синусоидальных функций
различной частоты равно нулю, тогда
U km I km
P U0 I0
cos( k k ) U 0 I 0 U k I k cos k
2
k 1
k 1
k k k
Где
Реактивная
Q Qk U k I k sin k
k 1
k 1
мощность

24.

Мощность в цепях периодического
несинусоидального тока
Полная мощность
S UI
2
U
k
k 0
2
2
2
2
2
2
I
P
Q
T
P
Q
k
k 0
где Т – мощность искажений,
определяемая произведениями
действующих значений разнопорядковых
гармонических тока и напряжения.

25. Рекомендуемая литература

1. Алтунин Б.Ю., Панкова Н.Г. Теоретические основы электротехники:
Комплекс учебно - методических материалов: Часть 1 / Б.Ю. Алтунин,
Н.Г. Панкова; НГТУ им. Р.Е. Алексеева. Н.Новгород, 2007.-130 с.
2. Алтунин Б.Ю., Кралин А.А. Электротехника и электроника: комплекс
учебно-методических материалов: Ч.1/ Б.Ю. Алтунин, А.А. Кралин;
НГТУ
им. Р.Е. Алексеева. Н.Новгород, 2007.-98 с.
3. Алтунин Б.Ю., Кралин А.А. Электротехника и электроника: комплекс
учебно-методических материалов: Ч.2/ Б.Ю. Алтунин, А.А. Кралин;
НГТУ
им. Р.Е. Алексеева. Н.Новгород, 2008.-98 с
4. Касаткин, А.С. Электротехника /А.С. Касаткин, М.В. Немцов.-М.:
Энергоатомиздат, 2000.
5. Справочное пособие по основам электротехники и электроники
/под. ред. А.В. Нетушила.-М.: Энергоатомиздат, 1995.
6. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники.-3-е изд., перераб. И доп.-М.:
Радио и связь, 1990.-512 с.: ил.
7. Новожилов, О. П. Электротехника и электроника: учебник / О. П.
Новожилов. – М.: Гардарики, 2008. – 653 с.
25
Электротехника и электроника

26. Тема 8 Закончена

Благодарю за внимание