Кинематика

1.

Общая Физика НИЯУ МИФИ
Механика
Лекция 02
Кинематика
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ.
Андрей Станиславович ОЛЬЧАК

2.

Кинематика
Кинематика: Описание движения (но НЕ объяснение!)
Материальная точка
Координаты (x, y, z)
С.О.= С.К. + часы
r = (x, y, z)
ПеремещениеΔr
Пройденное расстояние S
Скорость v
Ускорение a или w

3.

Some mathematics!
Операции с векторами (1)
a
Параллельные вектора = равные!.
a
a

4.

Some mathematics!
Операции с векторами (2)
αy>900
Y
ax = |a|cos(αx) >0
ay = |a|cos(αy) < 0;
ay < 0
αx<900
a
X
ax > 0

5.

Some mathematics!
Операции с векторами (3)
b = ka
=> k = |b| / |a|
b
a
b = ka
=> k = - |b| / |a|
b
a

6.

Some mathematics!
Операции с векторами (4)
c=a+b
b
а
с
с
b = c - a = c + (- a)
-а
b

7.

Some mathematics!
Операции с векторами (5)
a = {ax, ay, az}; b = {bx, by, bz};
а
α
b
Скалярное произведение:
(a, b) = ax bx + ay by + az bz = |a||b|cos(α)
Абсолютное значение (модуль):
|a|2
= (a, а) = ax + ay
2
2+
2
az =>
a ax2 a y2 az2

8.

Система координат. Система отсчета
Y
z(t)
y(t)
t
r(t) – радиус -вектор
чч:мм:сс
Z
0
x(t)
X

9.

Система координат. Система отсчета
Orts (ex, ey, ez)
Y
r x2 y2 z2
z(t)
r (t)= {x(t), y(t), z(t)}.
y(t)
чч:мм:сс
Z
r(t) – радиус - вектор
ey
e
z
0e
x
x(t)
X

10.

Relocation (Δr)
Y
Δr = r(t+Δt) - r(t)
r(t+Δt)
Δr
S
Путь S > | Δ r|
чч:мм:сс
r(t)
Z
0
x(t)
X

11.

Среднаяя скорость
Δr / Δt = <V>
Δr = Δr1 + Δr2
S / Δt = <|V|>
Средний модуль скорости
Y
r(t+Δt)
Δr
S
чч:мм:сс
r(t)
Z
0
x(t)
X

12.

Мгновенная скорость
Δr / Δt = V
V - средняя скорость, но если
Δt->0 – это мгновенная скорость
Y
r (t t ) r (t )
r dr
lim
t 0
t
0
t
t dt
v (t ) lim
r(t+Δt)
Δr
S
r(t)
чч:мм:сс
Z
X
0

13.

Мгновенная скорость
V(t) = dr(t)/dt - скорость - это производная от функции r(t) по времени
Скорость, как вектор, раскладывается на координатные компоненты:
Y
z(t+Δt)
z(t)
y(t+Δt)
y(t)
чч:мм:сс
Z
z
Vx = dX(t)/dt
Vy = dY(t)/dt
Vz = dZ(t)/dt
Δr
r(t+Δt)
S
r(t)
ey
e
V(t) = dr(t)/dt = Vxex + Vyey + Vzez , где
Vx,Vy,Vz - численные значения
координатных компонент мгновенной
скорости, равные производным от
соответствующих координат по
времени:
0e
x
x(t) x(t+Δt)
X

14.

Мгновенная скорость
V(t) = dr(t)/dt
Y
V(t)
Δx = x(t0)-x(t) =
Δr
r(t)
S
чч:мм:сс
Z
t
r(t0)
X
0
= Vx(t)dt
t0
х(t0) x(t) X то же и для y(t), z(t)

15.

Скорость и перемещение
Vх
:
Δx = x(t0)-x(t) =
0
t
=
t
Vx(t)dt
t0
t0
The same for y(t), z(t)
Δx = x(t0)-x(t) численно равна площади под графиком Vх(t) между t0 и t .
Площадь под осью OX учитывается со знаком «минус»
t

16.

Пройденный путь
dS = |V(t)|dt
|V|
t
0
t
S=
t0
|V(t)|dt
t0
Δx = x(t0)-x(t) численно равна площади под графиком Vх(t) между t0 и t .
Площадь под осью OX учитывается со знаком «плюс»
v v x 2 v y 2 v z 2 x 2 ( t ) y 2 (t ) z 2 (t )
t
t

17.

Ускорение
V(t)
V(t)
w = ΔV / Δt
V(t+Δt)
V(t+Δt)
V(t+Δt) - V(t) = ΔV
Мгновенное ускорение:
v dv
w lim
t 0 t
dt
W(t) = dV(t)/dt = d2r(t)/dt2

18.

Ускорение
y
V(t)
W(t) = Wxex + Wyey + Wzez
V(t+Δt)
Wx = dVx(t)/dt = d2X(t)/dt2
Wy = dVy(t)/dt = d2Y(t)/dt2
Wz = dVz(t)/dt = d2Z(t)/dt2
x
ey
ex
W =
Wx2 + Wy2 + Wz2

19.

Нормальное и тангенциальное ускорения
:
Wt(t)
Wt = d|V(t)|/dt
V(t)
ΔV
W(t)
Wn = V2/R
Wn(t)
Wt = (W,V)/V =
W V cos(α) / V = Wcos(α)
V(t+Δt)
W = (dV/dt)2 +(V2/R)2

20.

Нормальное и тангенциальное ускорения
Wt(t)
V(t)
Wn(t)
W(t)
Wn = V2/R
R
W = (dV/dt)2 +(V2/R)2

21.

y
Нормальное и тангенциальное ускорения
V0
Wn(t)
Wt(t)
V(t)
W(t) = g
x
V = V0 + gt
V = V02 + (gt)2
Wt = dV/dt = d(
Wn =
V02 + (gt)2 )/dt = g2t/ V02 + (gt)2
g2 - Wt 2 = V0g/ V02 + (gt)2
R = V2/ Wn = (V02 + (gt)2 )3/2/ V0g

22.

Вращение и полярные координаты
Угловая скорость:
ω = dφ/dt [rad / s] = [s-1 ]
V = dr/dt = Rdφ/dt = Rω = ωrsin(α)
V = [ω,r] = ωrsin(α) = Rω

23.

Some mathematics!
Векторное произведение
с = [a, b]
c перпендикулярен и a , и b
с = absin(α),
cx = aybz - azby
cy = azbx - axbz
cz = axby - aybx
с
b
a
α
c
b
a
Правило левой руки.
c=
i j k
ax ay az
bx by bz
= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) +
+ k(axby - aybx)

24.

Вращение и полярные координаты
Угловое ускорение:
β = dω/dt [rad/s2] = [s-2 ]
Wt = βR
Wt = [β, r]
W = Wt2 + Wn2 = (βrsin(α))2 + (V2/R)2 = R β2 + ω4

25.

Общая Физика НИЯУ МИФИ
Механика
Продолжение следует…..