Энергия и Момент Импульса (Energy and Angular Momentum)

1.

Общая Физика
Лекция 6
Энергия и Момент Импульса
(Energy and Angular Momentum)
Лектор:
доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.,
Ольчак Андрей Станиславович(

2. Внешние и внутренние силы. Замкнутая система.

f ik - внутренняя сила
F - внешняя сила
Если на систему не действуют
внешние силы, или ими можно
пренебречь, или их действие
скомпенсировано - такая система
называется замкнутой.
Зако́ны сохране́ния — фундаментальные физические
законы, согласно которым при определённых условиях
некоторые измеримые физические величины,
характеризующие замкнутую физическую систему, не
изменяются с течением времени.

3. Закон сохранения импульса для замкнутой системы частиц

m3
m2
m4
m1
F21
F12
m5
Замкнутая система = совокупность попарно
взаимодействующих материальных точек.
Суммарное изменение импульса а каждой
паре равно нулю => суммарный импульс
всей системы сохраняется:
Pсист = P1 + P2 + P3 + … = Σ Pi = Const
dPсист / dt = Σ Fi = Fвнеш = Mdvc /dt = Md2rc /dt2
Движение составного объекта допустимо рассматривать, не
вникая в его внутреннюю структуру и не учитывая
взаимодействие его частей!
rс = Σ miri /M – радиус-вектор центра масс системы

4.

Дадим определения: Работа. Мощность.
• Элементарная работа силы.
A Fd r
• Работа силы на участке траектории
2
от точки 1 до точки 2 A Fd r
1
• Мгновенная мощность силы
A
Fd r
P
Fv
dt
dt
• Определение работы по известной tзависимости
2
мощности от времени
A Pdt
t1
• Средняя мощность силы
t2
Pdt
A
t1
P
t2 t1 t2 t1

5. Кинетическая энергия.

Элементарную работу суммарной силы, действующей на
материальную точку, можно представить в виде:
mv 2
dv
A F d r mwd r m
d r mvd v d
dt
2
Величину T = mV2/2 называют кинетической энергией материальной
точки. Элементарная работа суммарной силы, действующей на
материальную точку, идет на приращение ее кинетической энергии. И
наоборот: за счет потери кинетической энергии тело может совершить
механическую работу A T
Энергия = мера способности тела произвести работу..

6. Консервативные и неконсервативные силы.

Работа консервативных сил (гравитация, электростатические силы,
упругость) НЕ зависит от формы траектории, а только от начального и
конечного положений частицы. Для консервативных сил можно ввести
понятие потенциальной энергии, зависящей исключительно от
координат точки в поле консервативной силы.
Работа консервативной силы равна разности
потенциальных энергий объекта в начальной и
А12 = U1 - U2
В частности, для 2-х близких точек:
dА12 = U(r) - U (r+dr) = -(dr,dU/dr) =
= -dx(дU/дх)- dy(дU/дy)- dz(дU/дz)
конечной точках траектории:
Физический смысл имеет именно разность значений потенциальной
энергии между разными точками. Абсолютное значение потенциальной
энергии можно отсчитывать от любого уровня, какой удобен

7. Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.

Работа консервативной силы не зависит от формы траектории
r2
À12 cons Fdr U r1 U r2
À12cons U
,
r1
….. и может пойти на приращение кинетической энергии точки
dAcons = dT = - dU
=> Сумма потенциальной и кинетической энергии точки,
движущейся в консервативном поле сил, остается неизменной
U + T = Const

8. НЕ консервативные силы. Сила трения

Работа не консервативных сил зависит от формы траектории.
v
Fтр
v
Fтр
2
Сила трения направлена против скорости
движения материальной точки.
Элементарная работа силы трения равна.
1
dA = (F, dr) = -Fds,
где ds - элемент пройденного пути.
Работа силы трения на пути между точками 1 и 2 (и туда и обратно)
равна.
A12 = - Fds,
.
Работа силы трения всегда отрицательна.

9.

Закон сохранения энергии
Некоторые частные случаи
1. Изолированная частица: T
= Const
2. Частица движется в потенциальном, стационарном поле
консервативных сил:
Е = T +U = Const
3.Тело движется в потенциальном, стационарном поле сил и на
нее действует сила трения – уравнение баланса энергии
Е1 (=U1+T1 ) = Е2 (=U2+T2) + А(против трения)
4. Замкнутая система взаимодействующих материальных точек, в
которой нет НЕ консервативных сил.
T U вз const

10. Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени.

Cвойства пространства
и времени
Законы сохранения,
следующие из этих
свойств
Однородность времени
Закон сохранения энергии
Однородность
пространства
Закон сохранения
импульса
Изотропность
пространства
Закон сохранения момента
импульса
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Механика», гл.2

11.

Момент импульса.
Закон сохранения момента импульса
Момент импульса.
Закон сохранения момента импульса

12.

Момент импульса. Плечо импульса
Моментом импульса частицы относительно точки называется
векторное произведение радиус-вектора на импульс частицы:
M p M r
M O r , p r , mv
ex
M r , p x
M rp sin lp
ey
ez
y
z
px p y pz
yp z zp y e x xpz zp x e y xpy yp x e z
Длина перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую, вдоль которой направлен импульс
частицы называется плечом импульса
относительно точки О
l r sin

13.

Момент импульса. Плечо импульса
ПРИМЕРЫ
1.Частица массы m движется по прямой со скоростью v. Момент
импульса частицы может изменяться только по модулю. Модуль
момента импульса равен M = mvl, причем плечо l остается
неизменным.
Если на частицу не действуют силы – ее момент импульса не
меняется ни по величине, ни по направлению:
M = [r, p]

14.

Момент импульса. Плечо импульса
ПРИМЕРЫ
2. Частица движется по окружности радиуса r со скоростью v.
Модуль момента импульса относительно точки O равен M =
pr·sin90° = mvr. Вектор M перпендикулярен плоскости окружности,
причем направление движения частицы и вектор M образуют
правовинтовую систему. Плечо l = r = const и момент импульса
может изменяться только за счет модуля скорости.
Когда частица движется в центральном поле сил, ее момент
импульса не меняется ни по величине, ни по направлению:
M = [r, p].

15.

Момент силы. Плечо силы.
Моментом силы F относительно точки О, из которой проведен
радиус-вектор r точки приложения силы называется псевдовектор:
N [r , F ]
1. Вектор N перпендикулярен векторам r и F, и образует с ними правую тройку.
2. Модуль момента силы можно представить в виде N
= r F·sinα =l·F,
где l= r·sinα – плечо силы относительно точки O (длина перпендикуляра,
опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила)
3. Точку приложения силы (в случае твердого тела) можно сдвигать вдоль линии
действия силы: ни l ни N при этом не изменятся. Но величина и направление
зависят от выбора точки О
N

16.

Пара сил.
Пара сил = две равные по модулю противоположно направленные
силы, не действующие вдоль одной прямой. Расстояние
между
прямыми, вдоль которых действуют силы= плечо пары Суммарный
момент сил, образующих пару, равен:
N [r1 , F1 ] [r2 , F2 ]
F1 F2
N [r1 , F2 ] [r2 , F2 ] [ r2 r1 , F2 ]
N [l , F ]
l r2 r1
l = вектор, проведенный из точки приложения силы F1 в точку приложения силы F2
Момент пары сил не зависит от точки отсчета O. Вектор момента пары сил
перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы и численно равен
произведению модуля любой из сил на плечо.

17.

Производная момента импульса по времени
dM d dr dp dp
r , p , p r , v , p r ,
dt
dt
dt dt
dt
dp
p || v [v , p] 0
F
dt
dM
r, F N
dt
Производная по времени момента импульса частицы
относительно некоторой точки равна моменту силы
относительно той же точки.

18.

Момент импульса системы материальных точек
Момент импульса системы относительно точки = векторная сумма
моментов импульса всех частиц, входящих в систему:
M сист M i ri , pi
i
Для каждой частицы:
i
dM i
N i N ij
dt
j , j i
Первое слагаемое – момент внешних сил, действующих на i-ую
частицу, а второе – сумма моментов внутренних сил. Суммируя по всем
частицам, получаем:
dM сист
dM i
N i N ij
dt
dt
i
i
i j , j i

19.

Закон сохранения момента импульса
Закон изменения полного момента импульса системы:
dM сист
dM i
N i N ij
dt
dt
i
i
i j , j i
Двойная сумма в правой части уравнения обращается в нуль, т.к. содержит
парные слагаемые вида:
ri , Fij rj , F ji ri rj , Fij
dM сист
Ni
dt
i
Fij F ji
Скорость изменения момента импульса
системы равна суммарному моменту
внешних сил, днйствующих на систему:
[ri r j , Fij ] 0

20.

Закон сохранения момента импульса
dM сист
Ni
dt
i
Уравнение моментов: производная по времени полного
момента импульса системы равна результирующему моменту
внешних сил.
Пример: падение подпиленного столба
В точке опоры O действует неизвестная и, к тому же,
меняющаяся со временем сила реакции N . Но момент
этой силы относительно точки опоры равен нулю, и в
уравнение моментов войдет только момент известной
силы тяжести:
dM 0
mg l
dt
При отсутствии внешних
сил
dM / dt 0
Для замкнутой
системы M постоянен

21.

Закон сохранения момента импульса
dM сист
Ni
dt
i
При отсутствии внешних
сил
dM / dt 0
Для замкнутой системы
M постоянен
Закон сохранения момента импульса: момент импульса
замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Момент импульса остается постоянным и для незамкнутой
системы при условии, что суммарный момент внешних сил
равен нулю.

22.

Движение в центральном поле сил
В центральном поле силы, действующие на частицу в любой точке
направлены на центр поля, а модуль силы зависит только от
расстояния до этого центра.
r
F f r er f r
r
r
NO r , F r , f r 0 Момент импульса частицы относительно
r
центра (т. 0) будет сохраняться
M O r, mv const
Момент
перпендикулярен
образованной r и p
к
плоскости,
M = const => плоскость движения фиксирована
При движении частицы в центральном поле сил ее радиус-вектор
остается все время в одной плоскости. В этой же плоскости лежит все
время вектор p. Траектория частицы представляет собой плоскую
кривую.

23.

Движение в центральном поле сил.
ПРИМЕР
Силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния от центра
f r 2 , const
r
dr
U 2 C, U 0 C 0
r
r
mr 2 mr 2 2
2 2
E
M
mr
z
2
2
r
mr 2 M z const
mr mr 2
2
2
2
2 E const
r
r t , t

24.

Движение в центральном поле сил.
ПРИМЕР
Силы, обратно пропорциональные квадрату расстояния от центра
f r 2 , const
r
mr 2 M z const
2
mr mr
2 E const
r
2
2
2
r t , t
Траектория частицы = коническое сечение, т.е. либо эллипс, либо
параболу, либо гиперболу.
α > 0 (отталкивание): Гипербола. При Mz= 0 вырождается в прямую
α < 0 (притяжение): Эллипс при E < 0, гипербола при E > 0, парабола
при E = 0

25.

Космические скорости
Первой космической скоростью называется скорость, которую надо
сообщить телу, чтобы оно стало спутником планеты. С этой скоростью
оно будет двигаться по круговой орбите радиуса r.
vI2
Mm
m G 2
r
r
M
vI G
r

26.

Космические скорости
Второй космической скоростью
называется минимальная
скорость, которую следует сообщить спутнику, чтобы он двигался
по параболической траектории, т.е. ушел из сферы притяжения
планеты. Ее можно найти из условия:
2
II
M
mv
mM
E
G
0 vII 2G vI 2
r
2
r

27. Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени.

Основные свойства
пространства
и времени
Законы сохранения,
вытекающие из этих
свойств
Однородность времени
Закон сохранения энергии
Однородность
пространства
Закон сохранения
импульса
Изотропность
пространства
Закон сохранения момента
импульса
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Механика», гл.2

28.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!
Продолжение следует.

29.

Закон сохранения момента импульса
dM сист
Ni
dt
i
Уравнение моментов: производная по времени полного
момента импульса системы равна результирующему моменту
внешних сил.
Пример: падение подпиленного столба
В точке опоры O действует неизвестная и, к тому же,
меняющаяся со временем сила реакции N . Но момент
этой силы относительно точки опоры равен нулю, и в
уравнение моментов войдет только момент известной
силы тяжести:
dM 0
mg l
dt
При отсутствии внешних
сил
dM / dt 0
Для замкнутой
системы M постоянен

30.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
M
vI G
r