Введение. Механика. Элементы кинематики. (лекция № 1)

1. ЛЕКЦИЯ № 1 Введение. Механика. Элементы кинематики.

143
1

2. ВОПРОСЫ Введение. 1. Механическое движение. Система отсчёта. Средняя и мгновенная скорости. 2. Ускорение. Уравнение кинематики

поступательного равнопеременного
движения (вывод).
3. Движение материальной точки по
окружности. Угловая скорость и
угловое ускорение.
143
2

3. Введение

143
3

4. Физика это наука изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи

и законы её движений.
Понятия физики и её законы лежат в
основе всего естествознания. Физика
относится к точным наукам и изучает
количественные закономерности
явлений.
143
4

5. В методах физических исследований выделяют четыре этапа: 1) Опыт – наблюдение исследуемого явления в точно контролируемых

условиях;
143
5

6. Для объяснения данных привлекаются гипотезы. 2) Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо

факта или
явления и требующее
доказательства;
143
6

7. Для проверки гипотезы ставят эксперимент. 3) Эксперимент – создание явления, которое естественно в природе не наблюдается, для

отделения от
некоторых субъективных условий
или факторов;
143
7

8. Если гипотеза прошла успешную проверку, она превращается в теорию или закон. 4) Физическая теория представляет собой систему

основных идей,
обобщающих данные и отражающих
объективные закономерности
природы.
143
8

9. Основные этапы развития физики: 1) Атомарное строение, законы статики – античность и средние века; 2) Создание классической

механики
– 17 век, Галилей, Ньютон;
3) Создание в 20 веке квантовой
теории и теории относительности
(излучение абсолютно чёрного тела
и распространение света в среде);
4) Проблемы физики на сегодняшний
день.
143
9

10. Проблемы физики: 1) элементарные частицы (кварки и глюоны); 2) астрофизика (чёрные дыры, квазары и т.д.); 3) физика ядра

(термоядерный
синтез);
4) квантовая электроника (γ-лазеры);
5) физика твёрдого тела
(сверхпроводимость).
143
10

11. Роль физики в развитии техники: 1) Развитие термодинамики дало промышленности тепловые машины; 2) Электродинамика –

электродвигатели;
3) Ядерная физика – АЭС.
143
11

12. Физика и моделирование. Физика служит для описания явлений, для предсказания результата явлений, т.е. можно сказать, что

физика, на основе
теорий и законов, строит
математические модели явлений,
протекающих в природе.
143
12

13. Даже простейший процесс, такой как прямолинейное равномерное движение, описывается с помощь математической модели: S = V * t.

Эта математическая модель (или
физическая формула) позволяет по
двум заданным величинам найти
третью величину.
143
13

14. Другой пример: задача о движении двух тел: с помощью формул движения и взаимодействия мы можем сказать где они будут находиться

в некоторый момент
времени. Здесь будет использовано
формул больше, но это тоже модель
некоторого явления или процесса.
143
14

15. Иногда математические формулы получаются настолько сложные, что их аналитически решить не возможно (например, задача о движении

трёх и более небесных
тел), тогда на помощь приходит
Электронная Вычислительная
Машина и специальные методы
расчёта. Но это тоже будет
некоторая математическая модель.
143
15

16. Также, с усложнением экспериментов компьютеру отводится задача управления, сбора и обработки данных.

143
16

17.

143
17

18. Вопрос № 1. Механическое движение. Система отсчёта. Материальная точка. Траектория. Перемещение и путь. Средняя и мгновенная

скорости.
143
18

19. Кинематика изучает законы движения тел. Материальная точка – модель тела, размерами которого можно пренебречь, по сравнению с

расстояниями в задаче.
Механическое движение –
изменение положения тела с
течением времени относительно
других тел.
143
19

20. Система отсчёта – тело отсчёта, система координат, часы. Декартова система отсчёта в Евклидовом пространстве (пространство, в

котором
выполняются аксиомы геометрии).
Положение тела задаётся через
радиус-вектор r или через
координаты (x, y, z) (численно равны
проекциям радиус-вектора).
143
20

21.

143
21

22. Здесь i, j, k, – единичные ортогональные вектора, направленные вдоль осей x, y, z, соответственно. Вектор r, также может быть

представлен в виде
произведения величины | r | (модуль
вектора) и направления – er
(единичный вектор, который задаёт
направление).
143
22

23. Траектория – линия, вдоль которой движется тело. Путь – расстояние, которое проходит тело по траектории. Скалярная величина,

которая характеризуется
только величиной – модулем.
Перемещение – вектор,
направленный из начальной точки в
конечную, характеризуется модулем
и направлением.
143
23

24. Так как тело может менять положение, то положение задают в зависимости от времени: векторно r = r (t); или скалярно x = x(t); y

= y(t);
z = z(t).
143
24

25.

143
25

26. Изменение положения с течением промежутка времени Δt характеризуют скоростью. Средняя скорость (по пути и по перемещению,

соответственно)
S
r
ср
ср
t
t
143
26

27. Мгновенная скорость (по пути и по перемещению, соответственно) точка над символом обозначает производную по времени.

Мгновенная скорость (по пути и по
перемещению, соответственно)
S dS
м lim
S,
t 0
t dt
r dr
м lim
r
t 0
t dt
точка над символом обозначает
производную по времени.
143
27

28. Здесь dS, dr, dt – дифференциал, очень малое изменение величины – приращение (ещё может быть очень малая доля некоторой

величины),
dS / dt, dr / dt – производная, она
показывает изменение одной
величины в зависимости от другой.
143
28

29.

143
29

30. Вопрос № 2. Ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Уравнение кинематики поступательного равнопеременного движения

(вывод).
143
30

31. Изменение скорости характеризуют ускорением. Среднее ускорение

v
aср
ср
t
t
143
31

32. Мгновенное ускорение (по пути и по перемещению, соответственно)

d d S
aм lim
2 S,
t 0
t dt dt
2
d d r
aм lim
2 r
t 0
t
dt dt
2
143
32

33. Выделим на траектории бесконечно малый участок dS, который можно заменить дугой окружности с радиусом R. Отметим также вектора

τ – единичный вектор, направленный
по касательной к траектории, n –
единичный вектор, направленный по
радиусу R к центру окружности.
143
33

34.

143
34

35. Скорость представим в виде тогда ускорение можно записать следующим образом

d d
a
a an
dt
dt
143
35

36. Нормальное ускорение, направлено по нормали к траектории, изменяет направление движения Тангенциальное ускорение, направлено по

Нормальное ускорение, направлено
по нормали к траектории, изменяет
направление движения
2
an n
R
Тангенциальное ускорение,
направлено по касательной к
траектории, изменяет модуль
скорости
d
a
dt
143
36

37. Рассмотрим на рисунке два подобных треугольника, с катетами R, ΔS и τ, Δτ (или ʋ, Δʋ).

143
37

38.

τ
ʋ τ
Δτ Δʋ
ΔS
n
R
143
38

39. В пределе Δt → 0 Поделим на промежуток времени dt и преобразуем или

dτ dS
τ S
В пределе Δt → 0
τ
R
τ
R
Поделим на промежуток времени dt
и преобразуем
dτ dS
dτ
dS τ
τ
τ
τdt Rdt
dt
dt R
R R
или
dτ
an ; a n n
R
R
dt
2
2
143
39

40. Вычисление пути Равномерное движение Если движение задано про проекциям

Вычисление пути
Равномерное движение
a 0 const
S r r t S t
Если движение задано про
проекциям
2
2
2
r x y z
r x y z
143
40

41. Аналогично вычисляем скорость

x y z
2
x
2
y
143
2
z
41

42. Равноускоренное движение Весь путь разбивают на множество участков, на которых скорость можно считать постоянной (за малый

Равноускоренное движение
a const 0 at
Весь путь разбивают на множество
участков, на которых скорость можно
считать постоянной (за малый
промежуток времени изменением
скорости можно пренебречь)
143
42

43. Полный путь или перемещение получаем сложением этих малых участков Чем меньше промежутки времени, тем точнее расчёт.

Полный путь или перемещение
получаем сложением этих малых
участков
r t
Чем меньше промежутки времени,
тем точнее расчёт.
143
43

44. Переходим к пределу

r lim t t dt
t2
t 0
t1
2 t
at
0 at dt 0t
2 t
t
t2
1
143
2
1
44

45. Положим начальный момент времени равным нулю и добавим начальное положение r0 или S0 Это закон кинематики равноускоренного

Положим начальный момент
времени равным нулю и добавим
начальное положение r0 или S0
2
at
r r0 0t
2
2
at
S S 0 0t
2
Это закон кинематики
равноускоренного движения
143
45

46. Вычислить ускорение можно следующими способами (аналогично скорости и перемещению)

a ax a y az an aτ
a
2
ax
2
ay
143
2
az
2
an
2
aτ
46

47.

143
47

48. Вопрос № 3. Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение. Уравнения кинематики вращательного

движения.
Связь между линейными и угловыми
характеристиками движения.
143
48

49. Вращательное движение Вращательным движением абсолютно твердого тела называют движение, при котором все его точки описывают

окружности, лежащие в
параллельных плоскостях, а центры
их лежат на оси вращения.
143
49

50.

143
50

51.

143
51

52. Вращательное движение характеризуется углом поворота φ, угловой скорость вращения ω, угловым ускорением ε

d
ω lim
t 0 t
dt
ω dω
ε lim
ω
t 0 t
dt
143
52

53. Вектор ω направляют вдоль оси вращения согласно правилу правого буравчика

ω r
143
53

54.

143
54

55. Вектора ω и ε направлены одинаково, если вращение ускоренное, вектора ω и ε направлены в разные стороны, если вращение

замедленное.
143
55

56.

143
56

57. Связь величин Закон кинематики равнопеременного вращательного движения

Связь величин
aτ ε r ω r S r
Закон кинематики равнопеременного
вращательного движения
2
εt
0 ω 0t
2
143
57

58. Так же, для описания вращательного движения используют частоту (количество оборотов за 1 секунду) и период (время одного

полного
оборота)
1
ν
T
1
T
ν
143
58

59. Циклическая частота она же угловая скорость вращения – количество оборотов за 2π секунды

ω 2π ν
2π
ω
T
143
59

60. Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остаётся параллельной

самой себе.
Вращательное движение – все точки
тела движутся по окружностям,
центры которых лежат на одной и
той же прямой, называемой осью
вращения.
143
60

61.

143
61

62. ЛЕКЦИЯ № 2 Динамика

143
62

63. ВОПРОСЫ 4. Динамика. Масса, инертность, сила. Первый закон Ньютона. 5. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Закон

сохранения
импульса (вывод). Центр масс (центр
инерции). Закон движения центра
инерции.
6. Реактивное движение. Движение
тел с переменной массой. Уравнение
Мещерского. Формула Циолковского.
143
63

64. Вопрос № 4. Динамика. Границы применимости классического способа описания движения частиц. Масса, инертность, сила.

Фундаментальные силы.
Первый закон Ньютона и понятие
инерциальной системы отсчёта.
143
64

65. Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами, которые обуславливают тот или иной характер движения. Основная задача

Динамики по силе найти
закон движения или по закону
движения найти силу.
143
65

66. Состояние частиц Абсолютно свободных тел нет. Состояние частицы (и, как следствие, описание её движения) зависит от системы

отсчёта.
Например, человек в поезде
покоится относительно вагона и
движется относительно перрона.
Трудно отдать предпочтение той или
иной системе отсчёта.
143
66

67. Законы Ньютоновой механики выполняются если (границы применимости): 1) Пространство Евклидово (т.е. описывается аксиомами

евклидовой
геометрии, также, трёхмерное);
2) Пространство изотропно;
3) Гелиоцентрическая система
инерциальна (в центре системы
солнце, которое движется без
ускорения);
143
67

68. 4) Закон всемирного тяготения выполняется для всей известной для нас вселенной; 5) Изменение всех полей со скоростью света; 6)

Скорость тел много меньше
скорости света (v << c);
7) Массы тел много больше масс
элементарных частиц (M >> m).
143
68

69. Основные понятия Масса – физическая величина, мера инертности. Инертность – свойство тел сопротивляться при попытке изменить

скорость.
Сила – физическая величина, мера
взаимодействия тел.
143
69

70. В природе существуют четыре фундаментальные силы (все взаимодействия в природе сводятся к этим четырём силам): 1)

Гравитационное взаимодействие
(всемирное тяготение);
2) Электромагнитное
взаимодействие (электрическое и
магнитное поле);
143
70

71. 3) Сильное или ядерное взаимодействие (связь частиц в атомном ядре); 4) Слабое взаимодействие (процессы распада элементарных

частиц).
143
71

72. 1-й закон Ньютона (закон инерции): Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока

воздействие со стороны других тел
не заставит его изменить это
состояние.
143
72

73. Инерциальные системы отсчёта – системы отсчёта, в которых тела движутся без ускорения если на них не действуют силы со стороны

других тел или в которых
выполняется 1-й закон Ньютона.
1-й закон Ньютона нужен для
определения инерциальных систем.
143
73

74.

143
74

75. Вопрос № 5. Второй закон Ньютона как уравнение движения. Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса (вывод). Центр масс

(центр инерции). Закон
движения центра инерции.
143
75

76. Законы Ньютона получены в результате обобщения большого количества опытных фактов. Например, в результате взаимодействия

(независимо от вида
взаимодействия) два тела получают
ускорения, такие, что выполняется
равенство:
m1a1 m2a2
143
76

77. Если рассматривать через импульс тела – произведение массы тела на его скорость, то получим:

d d m dp
m
F ma
dt
dt
dt
143
77

78. Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе F – уравнение движения тела или основной закон динамики

поступательного движения.
Он же 2-й закон Ньютона:
dp
F
dt
143
78

79. 3-й закон Ньютона: Силы с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по модулю и противоположны по

направлению и направлены вдоль
линии, которая проходит через их
центр масс:
F12 F21
143
79

80. Закон сохранения импульса. Рассмотрим замкнутую систему из N тел. Запишем изменение импульса и действующие силы на тело для

каждого тела:
143
80

81.

в
dp1
F12 F13 F1 N F1 ,
d t
в
dp2
F21 F23 F2 N F2 ,
dt
в
dpN
FN 1 FN 2 FN N 1 FN .
dt
143
81

82. Просуммируем все эти уравнения

N
N
N
dpi
в
Fij Fi
i 1 dt
i j
i 1
143
82

83. Первая сумма справа равна нулю по 3-му закону Ньютона: . Втора сумма справа равна нулю так как на замкнутую или изолированную

Первая сумма справа равна
нулю
по
3-му закону Ньютона: Fij Fji .
Втора сумма справа равна нулю так
как на замкнутую или изолированную
систему не действуют никакие силы
(внешняя сила равна нулю Fв = 0).
143
83

84. Следовательно Закон сохранения импульса: В замкнутой изолированной системе полный импульс остаётся постоянным.

Следовательно
N
N
dpi
dt pi 0 pi const
i 1
i 1
i 1
N
Закон сохранения импульса:
В замкнутой изолированной системе
полный импульс остаётся
постоянным.
143
84

85. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор R которой выражается через

радиусвекторы r1, r2, … материальных точек
по формуле:
m1r1 m2 r2
R
m1 m2
143
85

86. Продифференцируем по времени, умножим на массу всей системы (M = m1 + m2 + …):

MR m1r1 m2 r2 ,
MV m1 1 m2 2 ,
p MV .
143
86

87. Отсюда, используя закон сохранения масс, получаем закон движения центра масс: Таким образом, центр масс изменяет своё движение

Отсюда, используя закон сохранения
масс, получаем закон движения
центра масс:
d dp
в
m
F
dt dt
Таким образом, центр масс изменяет
своё движение только под
действием внешней силы.
Внутренние силы на движение
центра масс не влияют.
143
87

88. Примеры: движение снаряда; как до взрыва, так и после взрыва, центр масс движется по параболе, Земля и Луна вращающиеся вокруг

общего
центра масс, который расположен от
центра Земли на расстоянии 4670
км, при радиусе Земли 6371 км.
143
88

89.

143
89

90. 6. Реактивное движение. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

143
90

91. До сих пор рассматривали движение с постоянной массой. Рассмотрим движение с переменной массой – движение ракеты, которая

движется
за счёт отталкивания от газов,
образовавшихся при сжигании
топлива.
143
91

92. Такое движение принято называть реактивным. Но в широком смысле всякое движение есть реактивное движение, поскольку для

придания
импульса телу необходимо другое
тело. Между телами происходит
взаимодействие и они могут
двигаться. Без взаимодействия
заставить двигаться тело (или
остановиться) невозможно.
143
92

93. Рассмотрим движение тела с переменной массой – движение ракеты. Пусть m(t) – масса ракеты в момент времени t, ʋ(t) – скорость

ракеты в
тот же момент, ʋ(t)m(t) – импульс
ракеты.
143
93

94. За время dt масса и скорость получат приращения dm и dʋ (dm < 0, dʋ > 0). Новый импульс ракеты (m + dm) * (ʋ + dʋ), импульс

За время dt масса и скорость
получат приращения dm и dʋ
(dm < 0, dʋ > 0).
Новый импульс ракеты
(m + dm) * (ʋ + dʋ),
импульс движения газов
dmгаз * ʋгаз.
143
94

95. Изменение импульса за время dt равно приращению Fdt – импульса силы: (m+dm)*(ʋ+dʋ)+dmгаз*ʋгаз – mʋ = Fdt. С учётом того, что

(dm*dʋ)→0
mʋ+ʋdm+ mdʋ+dmгаз*ʋгаз – mʋ = Fdt
143
95

96. Далее, изменение массы ракеты со знаком «–»: – dm = + dmгаз; Меняем скорость истечения газа относительно неподвижной системы

отсчёта (относительно Земли) на
скорость газа
относительно ракеты ʋотн:
ʋгаз – ʋ = ʋотн:
– ʋотнdm+ mdʋ = Fdt.
143
96

97. Выполняем следующие преобразования: mdʋ = Fdt + ʋотнdm. Делим на дифференциал времени dt и получаем уравнение Мещерского:

143
97

98. Запишем уравнение Мещерского – уравнение движения точки с переменной массой

d dm в
m
отн
F
dt
dt
143
98

99. Здесь m – масса ракеты, ʋ – скорость ракеты, ʋотн – скорость истечения газов относительно ракеты, dm/dt – скорость сжигания

топлива, Fв – внешняя сила, ʋотн
dm/dt – реактивная сила.
143
99

100. Рассмотрим движение ракеты в случае невесомости (Fв = 0). Начальная скорость ракеты равна нулю, направление газов и ракеты

противоположное (ʋ ↑↓ ʋотн):
d
dm
dm
m
отн
d отн
dt
dt
m
143
100

101. Решение уравнения Мещерского с этими начальными условиями даёт решение – формулу Циолковского

dm
d отн
отн ln m C
m
143
101

102. Константу C определяем из начальных условий: ʋ = 0 – начальная скорость; m0 – начальная масса. C = ʋотнlnm0.

143
102

103. Таким образом, получаем формулу Циолковского:

m0
exp
.
m
отн
m0
отн ln ,
m
143
103

104.

143
104

105. ЛЕКЦИЯ № 3 Законы сохранения

143
105

106. ВОПРОСЫ 7. Динамика вращательного движения. Момент импульса частицы. Момент силы. Плечо силы. Уравнение моментов. Закон

сохранения момента
импульса.
143
106

107. 8. Кинетическая энергия. Работа постоянной и переменной силы. 9. Потенциальная энергия. Условие потенциальности. 10. Закон

сохранения механической
энергии изолированной системы.
Законы Кеплера.
143
107

108. Вопрос № 7. Динамика вращательного движения. Момент импульса частицы. Момент силы. Плечо силы. Уравнение моментов. Закон

сохранения момента
импульса.
143
108

109. Вектором момента силы относительно полюса (точки О) называют векторное произведение радиус-вектора и вектора силы Величина ℓ =

Вектором момента силы
относительно полюса (точки О)
называют векторное произведение
радиус-вектора и вектора силы
M r F
M rF sin α F *
Величина ℓ = r * sinα называется
плечом силы.
143
109

110.

143
110

111. Проекция вектора момента силы на произвольную ось, проходящую через полюс, равна проекции на эту ось векторного произведения

радиус-вектора и вектора силы
относительно полюса О, лежащего
на этой оси:
Mz r F
143
z
111

112.

Z
F
MZ
M
r
143
112

113. Рассмотрим вопрос следующим способом. Разложим вектор силы F на три составляющие: Fτ, F‖, FR. Fτ – сила перпендикулярная оси Z

и
плоскости рисунка;
F‖ – сила параллельная оси Z,
лежащая в плоскости рисунка;
FR – сила перпендикулярная оси Z,
лежащая в плоскости рисунк
143
113

114.

Z
F‖
F
R
Fτ
MZ
Mτ
FR
r
143
114

115. Поскольку F‖, FR лежат в плоскости рисунка, то M‖, MR | плоскости рисунка, следовательно, (M‖)z, (MR)z = 0. Fτ | плоскости

рисунка,
следовательно, проекция Mτ на ось
Z, не равна нулю ((Mτ)z = 0).
То есть, MZ = (Mτ)z = R· Fτ.
143
115

116. Если на точку действует несколько сил, то можно говорить о равнодействующей силе – векторной сумме сил, действующих на тело

N
F F1 F2 FN Fi
i 1
143
116

117. Вектор момента результирующей силы относительно полюса О равен геометрической сумме векторов моментов составляющих сил

относительно того же полюса.
N
M M1 M 2 M N M i
i 1
143
117

118. Вектором момента импульса материальной точки относительно полюса О называют векторное произведение радиус-вектора и вектора

импульса относительно
этого же полюса
L r p r mv
L r p rp sin α
143
118

119. Проекция момента импульса твердого тела на произвольную ось, проходящую через полюс О, равна проекции на эту ось векторного

произведения радиус-вектора и
вектора импульса тела относительно
того же полюса О, лежащего на этой
оси, т. е.
Lz r p z
143
119

120. Запишем момент импульса и продифференцируем его

L r p
L r p r F M
143
120

121. Получили новое выражение, которое называется уравнением моментов или основное уравнение динамики вращательного движения

L M
143
121

122. Из основного уравнения динамики вращательного движения Можно получить закон сохранения момента импульса (аналогично закону

Из основного уравнения динамики
вращательного движения
L M
Можно получить закон сохранения
момента импульса (аналогично
закону сохранения импульса).
В замкнутой системе (M = 0)
суммарный момент импульса
остаётся
постоянным.
L const
143
122

123. Пространство однородно, следовательно, параллельный перенос системы из одного места в другое не изменяет свойств системы –

закон сохранения импульса
нарушаться не будет.
143
123

124. Пространство изотропно, следовательно, поворот замкнутой системы как целого не отражается на её механических свойствах – закон

сохранения момента импульса
нарушаться не будет.
143
124

125.

143
125

126. Вопрос № 8. Кинетическая энергия. Работа постоянной и переменной силы. Мощность. 1-я и 2-я космические скорости.

143
126

127. Запишем уравнение движения частицы и домножим на перемещение (dS = v dt):

m Fвнеш
d
dt Fвнеш dS
m
dt
2
2
m
m d md d
Fвнеш dS
2 2
143
127

128. Если система замкнута, то Fвнеш = 0 T – кинетическая энергия

Если система замкнута, то Fвнеш = 0
m
const T
2
2
T – кинетическая энергия
2
m
p
T
2
2m
143
2
128

129. Если на частицу действует постоянная сила F, кинетическая энергия не остаётся постоянной. В этом случае кинетическая энергия за

время dt изменяется
на
величину
dA FdS
dA – работа, совершаемая силой F
на пути dS (dS = ʋ*dt). Работа равна
изменению кинетической энергии:
A T2 T1 T
143
129

130. Пример: Вычислим работу, которую совершают внешние силы при сжатии пружины (работа переменной силы): здесь F = kx – внешняя

Пример: Вычислим работу, которую
совершают внешние силы при
сжатии пружины (работа переменной
силы):
kx
A FdS kxdx
2
1
0
2
x
2 x
0
2
kx
2
здесь F = kx – внешняя сила, равная
силе упругости но противоположно
направленная, k – коэффициент
упругости, x – сжатие пружины.
143
130

131. Мощность – работа совершаемая в единицу времени

dA
P
F
dt
143
131

132. Запишем закон всемирного тяготения и потенциальную энергию гравитационного взаимодействия здесь G = 6,6720*10-11 Н*м2/кг2

Запишем закон всемирного
тяготения и потенциальную энергию
гравитационного взаимодействия
m1m2
m1m2
F G 2 , W G
,
R
R
здесь G = 6,6720*10-11 Н*м2/кг2
гравитационная постоянная, m1, m2 –
масса тел, R – расстояние между
центрами масс тел.
143
132

133. 1-я космическая скорость – скорость, с которой тело движется над поверхностью земли не падая Скорость тела, которое вращается

1-я космическая скорость – скорость,
с которой тело движется над
поверхностью земли не падая
2
M Землиm
M Земли
m G
, G
gR
2
R
R
R
Скорость тела, которое вращается
вокруг Земли на некоторой высоте h
M Çåìëè
v G
R h
143
133

134. Если тело получит достаточное количество энергии (кинетической), то эта энергия будет потрачена на преодоление потенциального

барьера и тело покинет Землю
навсегда. То есть, телу сообщили
2-ю космическую скорость
m
M Землиm
M Земли
G
, 2G
2
R
R
2
143
134

135.

143
135

136. Вопрос № 9. Консервативные силы. Потенциальная энергия. Связь силы и потенциальной энергии (условие потенциальности).

143
136

137. Взаимодействие между телами осуществляется посредством физических полей. Каждое тело создаёт вокруг себя особое состояние,

называемое силовым
полем.
143
137

138. Центральное поле – сила, действующая на любую точку в пространстве направлена к центру. Однородное поле: F = const.

Стационарное поле – поле не
меняется со временем.
Нестационарное поле – поле
меняется со временем.
143
138

139. Консервативные силы: 1) Это силы, работа которых не зависит от пути, по которому тело переходит из одного положения в другое;

2) Это силы, работа которых на
любом замкнутом пути равна нулю.
143
139

140. Потенциальная энергия Если работа зависит только от начального и конечного положений, то каждой точке поля можно сопоставить

некоторую функцию
U(x, y, z). Величину U назовём
потенциальной энергией.
143
140

141. Через эту функцию можно определить работу по перемещению частицы из 1-го положения во 2-е: A12 = U1 – U2, работа также приводит

к изменению
кинетической энергии:
A = T2 – T1 = U1 – U2 =>
T2 + U2 = T1 + U1 = E –
полная механическая энергия.
Кинетическая энергия увеличивается
за счёт убыли потенциальной.
143
141

142. Зная вид U(x, y, z) можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля угол α – угол между вектором силы и вектором

Зная вид U(x, y, z) можно найти силу,
действующую на частицу в каждой
точке поля
dA FdS FdS cos α
угол α – угол между вектором силы и
вектором перемещения.
В проекции на ось X:
dAx Fx dx dU x
143
142

143. Если полагать, что изменений силы вдоль других осей нет или рассматривать одномерную задачу только вдоль одной оси X (dy, dz =

0;
y, z = const), то можно говорить о
частной производной:
dU
U
Fx
dx
x
143
143

144. Если учитывать все компоненты, то получим:

F Fx i Fy j Fz k
U U U
i
j
k
x
y
z
U grad U
143
144

145. Здесь grad – это оператор набла или градиент – вектор, направленный в сторону максимального роста поля. Оператор набла –

математический
оператор – компоненты которого
являются частными производными
по координатам
i
j k
y
z
x
143
145

146. Условие потенциальности Поля, которые можно описывать функцией П(x, y, z, t), называются потенциальными, градиент этой функции

определяет силу в каждой
точке поля:
F = gradП,
П – потенциал.
143
146

147. В случае стационарного поля, его силы будут консервативными П(x, y, z) = – U(x, y, z).

143
147

148.

143
148

149. Вопрос № 10. Закон сохранения механической энергии изолированной системы и однородность времени. Обобщённый закон сохранения

энергии.
Финитное и инфинитное движение.
Законы Кеплера.
143
149

150. Закон сохранения энергии в механике Полная механическая энергия замкнутой изолированной системы складывается из кинетической

энергии частиц и потенциальной
энергии взаимодействия частиц:
N
N
i
i j
E Ti U ij const,
Uij – энергия взаимодействия частиц.
143
150

151. Кинетическая энергия поступательного движения Кинетическая энергия вращательного движения

Кинетическая энергия
поступательного движения
m
2
2
Кинетическая энергия
вращательного движения
Iω
2
2
143
151

152. Потенциальная энергия деформированной пружины Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух тел

Потенциальная энергия
деформированной пружины
kx
2
2
Потенциальная энергия
гравитационного
взаимодействия двух тел
m1m2
G
R
143
152

153. Если в системе есть силы приводящие к потери механической энергии (диссипативные), то полная механическая энергия уменьшается.

Общефизический закон сохранения
энергии: энергия никогда не
создаётся и не уничтожается, она
может только переходить из одной
формы в другую.
143
153

154. В основе сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени. Следовательно, изменение

одного момента времени на другой
не изменяет свойств механической
системы. Закон сохранения энергии
выполняется в любой момент
времени.
143
154

155. Движение частицы в потенциальном поле: Если полная энергия частицы меньше значения потенциального барьера, то частица может

проникать только в ограниченную
область пространства – такое
движение называют финитным. Если
частица может преодолеть
потенциальный барьер, то движение
будет инфинитным
(неограниченным).
143
155

156.

143
156

157. Законы Кеплера 1) Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого расположено Солнце. 2) Радиус-вектор планеты

в равные
промежутки времени описывает
равные площади.
143
157

158.

143
158

159. 3) Квадраты периодов обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг

Солнца.
2
T1
2
T2
143
3
R1
3
R2
159

160. На основе законов Кеплера Ньютон открыл закон всемирного тяготения здесь G = 6,6720*10-11 Н*м2/кг2 гравитационная постоянная,

На основе законов Кеплера Ньютон
открыл закон всемирного тяготения
m1m2
F G 2
R
здесь G = 6,6720*10-11 Н*м2/кг2
гравитационная постоянная, m1, m2 –
масса тел, R – расстояние между
центрами масс тел.
143
160

161. Абсолютно упругий удар – удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии, тела после удара

продолжают
двигаться раздельно.
Абсолютно неупругий удар – удар,
после которого тела движутся
совместно с одинаковой скоростью,
либо покоятся.
200
161

162. Закон сохранения импульса выполняется в обоих случаях. Закон сохранения энергии выполняется в случае абсолютно упругого удара.

В случае абсолютно неупругого
удара закон сохранения
механической энергии не
выполняется. Механическая энергия
полностью или частично переходит в
немеханические виды энергии.
200
162

163. Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух шаров массами m1 и m2. Удар будем считать центральным – скорости шаров направлены

вдоль
линии, которая проходит через их
центры масс. Закон сохранения
импульса будет выглядеть так
m1V10 m2V20 m1 m2 V
V10, V20, V – скорость шаров до и
после удара.
200
163

164. m1 V10 V20 m2, V

200
164

165. Рассмотрим абсолютно упругий центральный удар. В этом случае необходимо записать закон сохранения энергии и закон сохранения

механической
энергии
m1V10 m2V20 m1V1 m2V2
2
2
2
2
m1V10 m2V20 m1V1 m2V2
2
2
2
2
200
165

166. m1 V10 V20 m2, V1 V2

200
166

167. Решив совместно эти уравнения получим выражения для скорости шаров после удара

m1V10 m2V20
V1 V10 2
,
m
m
1
2
m1V10 m2V20
V2 V20 2
.
m1 m2
200
167

168. Отметим, что если масса одно шара много больше второго, то его скорость изменяться практически не будет, скорость второго

изменится
значительно (первое уравнение для
случая m1 << m2, второе для случая
m1 >> m2)
V1 V10 2V20 ,
V2 V20 2V10 .
200
168

169. Если при столкновении шаров один из них покоится и их массы равны, то ударяющий после удара будет покоиться, а другой продолжит

движение со скоростью первого
шара.
200
169

170. Если при столкновении шаров один из них покоится и их массы равны, а удар не центральный, то после удара шары будут двигаться

так, что
угол межу их векторами будет равен
90°.
200
170

171.

200
171

172.

143
172