Арифметические операции над пределами. Первый замечательный предел. § 4. Предел функции в точке. 11 класс

1.

Арифметические операции над пределами.
Первый замечательный предел
11 класс (базовый уровень)
§ 4. Предел функции в точке

2.

Первый замечательный предел
Рассмотрим числовую окружность.
у
Выберем близкое к нулю значение t и отметим
точку M (t).
Длина дуги АМ равна t.
Опустим перпендикуляр МР на ось абсцисс.
М
t
sin t
О
А
Р
х
Длина этого перпендикуляра равна ординате
точки M (t) , а значит, MP sin t.
Для достаточно малых значений t длина дуги АМ примерно равна длине
sin t
1.
отрезка МР , то есть sin t t , следовательно,
t
Чем ближе к нулю значение t, тем точнее это приближенное равенство.
sin t
1
t 0
t
В курсе высшей математики доказано, что lim
sin t
1 называют первым замечательным пределом.
t 0
t
Равенство lim

3.

Вычислим:
sin t
lim
1
t 0
t
sin 2 x
1) lim
.
x 0
5x
sin 2 x
2 sin 2 x 2
sin 2 x
lim
lim
.
lim
x 0
x
0
x
0
5x
5 2x 5
2x
Положим t 2 x и заметим, что если x 0, то и t 0.
2
2
sin 2 x 2
sin t 2
1 .
lim
lim
5
5
5 x 0 2 x
5 t 0 t
2
Ответ: .
5
=1 (первый замечательный предел)

4.

x
2) lim
x 0 2sin 4 x
№4.17(е)
x
4x
1 4x 1
lim
lim
.
lim
x 0 2sin 4 x
x 0 8 sin 4 x
8 x 0 sin 4 x
sin t
lim
1
t 0
t
Положим t 4 x и заметим, что если x 0, то и t 0.
1
1
4x
1
t
1 lim
1 1 1
1
1
t 0
lim
lim
.
lim
x
0
t
0
t
0
sin t 8 1 8
sin t 8
8
sin 4 x 8
sin t 8
lim
t 0
t
t
не совсем
первый замечательный предел
1
Ответ: .
8
=1

5.

sin x sin 5 x
3) lim
x 0
6x2
№4.19(г)
sin x sin 5 x
5 sin x sin 5 x
lim
lim
2
x 0
x 0 6
6x
x 5x
5
sin x sin 5 x 5
sin x sin 5 x
lim
lim
x
0
6
x 5x
6 x 0 x
5x
5
sin x
sin 5 x
5
5
lim
lim
1 1 .
x
0
x
0
6
x
5x
6
6
=1
5
Ответ: .
6
=1
sin t
lim
1
t 0
t

6.

Ответьте на вопросы теста,
пройдя по ссылке:
https://forms.gle/UyNWGP1c8mrUdzfdA