Производная сложной функции

1.

Эпиграф
Кто хочет ограничиться настоящим
без знания прошлого,
тот никогда его не поймет».
«
Готфрид Вильгельм Лейбниц

2.

1) c (c const )
2) ( x )
n
3) ( x )
4) x
5) (u v)
6)(u v)
u
7)( )
v
1) u v uv
2 )u v
u v uv
3)
v2
4) 0
5) 1
n 1
6) nx
1
7)
2 x

3.

Найдите производную функции:
3 х 20 х 54 3 х 20 x 54
3 x 20 x 0 3 5 x 20 3 x
5
/
3
5 /
5 /
3 /
3 /
/
4
2
15 x 4 60 x 2
)
х 5 х 20 x х 5 x 20 x
5 x 5 x 20 x 5 x 5 3 x 20 1
5
/
3
4
3 /
5 x 4 15 x 2 20
5 /
/
3 /
4
/
2

4.

Найдите производную функции:
х 8 х 20 х 11 х 8 x 20 х 11
3 x 8 x 20 x 0 3 x 8 2 x 20 1
3
/
2
2
2/
3/
/
2
..
3 x 16 x 20
2
2/
/
/

5.

Найдите производную функции:
х2 9
у
х
.
12)

6.

1) f ( x) 3x x x 7
4
2
2) f ( x) 5 x 2 x 8 x
6
3
3) f ( x) x 2 x
3
4) f ( x) x x 4 x
4
5) f ( x) (2 x 3)
5

7.

Тема урока:
Производная
сложной функции

8.

•Сформировать понятие сложной функции.
•Изучить алгоритм вычисления производной
сложной функции.
•Научится выполнять простейшие задания на
применение правила дифференцирования
сложной функции.

9.

Сложная функция – функция от
функции.
h(x)=f(g(x))
f(x)- внешняя функция
g(x)-внутренняя функция
Примеры:
h( x) (5 x 4)
3
1
h( x )
2x 4
h( x ) 4 x 3

10.

11.

12. Алгоритм вычисления сложной функции h(x) = f(g(x)).

1) Определить внешнюю функцию f(g)
2) Найти производную внешней функции f'(g)
3) Определить внутреннюю функцию g(x).
4) Найти производную внутренней функции g'(x)
5) найти произведение производной внешней
на производную внутренней функции
f’(g(x))·g’(x)

13.

Рассмотрим функции
f t sin t
g x x 2 x 5
2
y sin x 2 2 x 5
y f g x
Внешняя
функция
Внутренняя
функция

14.

Примеры:
1) y 2 x 1
6
f t6
Внешняя функция
t 2x 1
Внутренняя функция
1
2) y
sin 2 x
1
2
sin x
2
sin x
y sin x
Внешняя функция
f t 2
2
Внутренняя функция
t sin x

15.

Определить внутреннюю и внешнюю функцию для данной сложной
функции:
2) y sin 2 x
- Внешняя функция
- Внутренняя функция

16.

• Задайте формулами элементарные функции f и g, из
которых составлена сложная функция h(x)=f(g(x))
5
1) f ( x) x , g ( x) 3 5 x.
2) h( x) (2 x 1)
2) f ( x) x , g ( x) 2 x 1.
1) h( x) (3 5 x)
7
3)h( x) x 4 x
1
4)h( x) 3
x 2
4
5)h( x) (7 x)
2
5
7
3) f ( x) x , g ( x) x 2 4 x.
1
3
4) f ( x) , g ( x) x 2.
x
4
5) f ( x) x , g ( x) 7 x.

17.

2) y ctg 2 x
3
y f t

18. Определите правильный ответ

1) f ( x) (4 x 8)
2) f ( x) (3 x)
6
4
3) f ( x) x 1
2
4) f ( x ) 5 x
1
5) f ( x)
5
(6 x 1)
5
1) f ( x ) 24( 4 x 8)
3
2) f ( x ) 9(3 x )
1
3) f ( x )
2 x2 1
1
4) f ( x )
2 5 x
30
5) f ( x )
6
(6 x 1)

19.

Найти производные функций:
1) y 8 1 4 x
1) y 1 4 x
3
1
2
)
y
2
2) y
3
x
2
3x 2
3
)
y
3
sin
3
x
3) y cos 3x
4
4) y ctg 4 x 3 4) y 2
2
sin 4 x 3

20.

y 0
Решить уравнение
1) y cos 2 x x 1
y cos 2 x x 1 cos 2 x x 1
2 sin 2x 1

21.

2 sin 2x 1 0
2 sin 2x 1
2 sin 2x 1
1
sin 2 x
2
2 x 1
k
x 1
k
12
6
k ,
k
2
,k Z

22.

2) y sin 4 x 2 x 3
y 0
y sin 4 x 2 x 3 sin 4 x 2 x 3
4 cos 4x 2
4 cos 4x 2 0
1
cos 4 x
2
4x
x
12
3
2 n
n
2
,n Z

23.

x x
3) y sin
2 4
y 0
x x
x x
y sin sin
2 4
2 4
1
x 1
cos
2
2 4

24.

1
x 1
cos 0
2
2 4
1
x
1
cos
2
2
4
x
1
cos
2
2
x
2
2 n
2
3
4
x
4 n, n Z
3

25.

Тест
f ( x) ( x 9)
f ( x) ( x 4)
2
7
3
f ( x) 8 3x
f ( x) x 4
1
f ( x)
( x 3) 5
f ( x)
1
(3x 5) 4
1
f ( x) (2 x ) 3
4
1
2
3
4
5
6
7
А
Б
С
f ( x) 63( x 9) 6 f ( x) 7( x 9) 6 f ( x) 7( x 9)8
А
Б
С
f ( x) 6 x( x 2 4) 2 f ( x) 6 x( x 2 4) 4 f ( x) 6( x 2 4) 2
А
f ( x)
А
f ( x)
3
8 3x
1
x 4
А 5
f ( x)
( x 3) 6
А 12
f ( x)
(3x 5) 5
А
Б
С 3
1
f ( x)
f ( x)
2 8 3x
2 8 3x
Б 1
f ( x)
2 x 4
С
f ( x)
4
x 4
Б
С
5
5
f ( x)
f ( x)
6
( x 3)
( x 3) 4
Б
12
f ( x)
(3x 5) 5
Б
С 3
f ( x)
(3x 5) 5
С
1
1 2
3
1 2 f ( x) 3(2 x ) 4
f ( x) 6(2 x )
f ( x) (2 x )
4
4
4
4