Введение в математический анализ

1. Введение в математический анализ

2. Неопределенности Способы разрешения неопределенностей

3.

Существует несколько видов неопределенностей:
0
0
1 0 0
1. Неопределенность вида 0 .
При возникновении такой неопределенности
возможны два случая:
а) выражение, стоящее под знаком предела,
представляет собой дробно-рациональную функцию;
б) выражение, стоящее под знаком предела,
содержит дробно-иррациональную функцию.
0

4.

а) выражение, стоящее под знаком предела,
представляет собой дробно-рациональную функцию
Если числитель и знаменатель такой функции
обращаются в 0, это означает, что число, к которому
стремится аргумент является корнем многочленов
числителя и знаменателя.
Поэтому числитель и знаменатель необходимо
разложить на множители и сократить на общий
множитель.
Многочлены
второй
степени
раскладывают на множители по корням x1 è x2 :
ax2 bx c a x x1 x x2

5.

x2 4
Пример: Вычислить предел: lim
.
x 2 x 2
Решение:
Для решения задачи необходимо воспользоваться
формулой разности квадратов:
a 2 b 2 a b a b .
Разложим числитель на множители:
x 2 x 2
x 4 0
lim
lim
lim x 2 4.
x 2 x 2
x 2
x 2
0 x 2
2

6.

x2 4x 5
Пример. Вычислить предел: lim 2
.
x 1 x 3 x 2
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на множители,
для этого определим корни многочленов:
b D
2
D b 4ac, x1,2
.
2a
x 2 4 x 5 0, D 36, x1 1, x2 5.
x 2 3x 2 0, D 1, x1 1, x2 2.
x 1 x 5
x2 4 x 5 0
x 5 6
lim 2
lim
lim
6.
x 1 x 3 x 2
0 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 1

7.

3x 2 2 x 5
Пример: Вычислить предел: lim 2
x 1 2 x 7 x 5
Решение:
При разложении числителя и знаменателя на
множители можно производить деление многочлена
на многочлен в столбик:
3x 2 2 x 5 x 1
2
3x 5
3x 3x
2 x2 7 x 5 x 1
2
2x 5
2x 2x
5x 5
5x 5
5x 5
5x 5
0
0
3x 2 2 x 5 0
x 1 3x 5 lim 3x 5 8 8
lim 2
lim
x 1 2 x 7 x 5
3
0 x 1 x 1 2 x 5 x 1 2 x 5 3

8.

б) выражение, стоящее под знаком предела,
содержит дробно-иррациональную функцию.
В этом случае для раскрытия неопределенности и
числитель и знаменатель дроби умножают на
сопряженное выражение к иррациональному
выражению, используя формулу разности квадратов:
a b a b a b .
2
2

9.

3 1 4x
Пример: Вычислить предел: xlim
2
x 2
Решение:
Здесь числитель дроби является иррациональным
выражением, поэтому домножим и числитель и
знаменатель дроби на выражение сопряженное к
числителю:
3 1 4x 0
(3 1 4 x )(3 1 4 x )
lim
lim
x 2
x
2
x 2
( x 2)(3 1 4 x )
0
9 (1 4 x)
8 4x
lim
lim
x 2 ( x 2)(3 1 4 x )
x 2 ( x 2)(3 1 4 x )
4(2 x)
4
4 2
lim
lim
x 2 ( x 2)(3 1 4 x )
x 2 3 1 4 x
6 3

10.

Пример. Вычислить предел: lim 2 x .
x 4
3 2x 1
Решение:
Здесь и числитель и знаменатель дроби являются
иррациональными выражениями, поэтому домножим и
числитель и знаменатель дроби на выражения сопряженные и
к числителю и к знаменателю:
2 x
(2 x )(2 x )(3 2 x 1)
0
lim
lim
x 4 3 2 x 1
0 x 4 (3 2 x 1)(3 2 x 1)(2 x )
(4 x)(3 2 x 1)
(4 x)(3 2 x 1)
lim
lim
x 4 (9 (2 x 1))(2
x ) x 4 (8 2 x)(2 x )
(4 x)(3 2 x 1)
3 2x 1 6 3
lim
lim
.
x 4
x
4
2(4 x)(2 x )
2(2 x ) 8 4

11.

2. Неопределенность вида
делить на бесконечность).
(бесконечность
В этом случае выражение, стоящее под знаком
предела, представляет собой частное многочленов.
Pn ( x)
.
Pm ( x)
Для разрешения такого вида неопределенности
необходимо разделить все слагаемые числителя и
знаменателя на переменную х в старшей степени и
рассмотреть
предел
каждого
слагаемого
в
отдельности.

12.

3 x 2 10 x 8
Пример. Вычислить предел: lim 2
.
x x 5 x 4
Решение:
3 x 2 10 x 8
2 2
2
3 x 2 10 x 8
x
lim 2
lim x 2 x
x x 5 x 4
x x 5 x 4
x2 x2 x2
10 8
3 2
x x 3.
lim
x
5 4
1 2
x
x

13.

2 x 2 3x 1
Пример. Вычислить предел: lim
.
x
5x 1
Решение:
2 x 2 3x 1
2 2
2
2
2 x 3x 1
x
x
lim
lim x
x
5x 1
x 5 x 1
x2 x2
3 1
2 2
2
x
x
lim
.
x
5 1
б. м.
2
x x

14.

3x 2 5
Пример. Вычислить предел: lim 3
.
x x x 4
Решение:
3x 2 5
3
2
3
3x 5
x
lim 3
lim 3 x
x x x 4
x x x 4
x3 x3 x3
б.м.
lim
0.
x
1 4
1 2 3
x
x

15.

3х 2 2 х 7
Пример: Вычислить предел: lim
.
x
2x 1
Решение:
3х 2 2 х 7
2 2
2
2
3х 2 х 7
х
х
lim
lim х
x
2x 1
2x 1
x
x x
2 7
3 2
3
х
х
lim
.
x
1
2
2
x

16.

3. Неопределенность вида .
Для разрешения неопределенности такого вида,
необходимо умножить и разделить на выражение
сопряженное иррациональному выражению.

17.

Пример. Вычислить предел: lim(2 х 4 x 2 3 x ).
x
Решение:
lim(2 х 4 x 2 3 x )
x
lim
(2 х 4 x 2 3x )(2 х 4 x 2 3x )
(2 х 4 x 3x )
x
2
4 x 2 (4 x 2 3 х)
lim
lim
2
2
x
x
2 х 4 x 3x
2 х 4 x 3x
3x
3 x
3 x
3
lim
lim
.
2
x
x 4 x
4
2х 4x

18. I замечательный предел

19.

Первый
замечательный
предел
разрешает
неопределенность вида 0 и имеет вид:
0
sin x
x
lim
1
lim
1
x 0
x 0 sin x
x
Первый замечательный предел используют в тех
случаях, когда выражение, стоящее под знаком
предела содержит тригонометрические функции.
Частные случаи первого замечательного предела:
sin kx
lim
1
x 0
kx
kx
lim
1
x 0 sin kx

20.

tg x
.
Пример. Вычислить предел: lim
x 0 x
Решение:
tg x 0
sin x
sin x
1
lim
lim
lim
lim
1.
x 0 x
0 x 0 x cos x x 0 x x 0 cos x

21.

Пример. Вычислить предел: limsin 3 x ctg 5 x.
x 0
Решение:
cos5 x
limsin 3x ctg 5 x 0 limsin 3 x
x 0
x 0
sin 5 x
3x sin 3x cos5 x 5 x
3x cos5 x 3
lim
lim
.
x 0
x 0
3x sin 5 x 5 x
5x
5

22.

1
cos6
x
Пример: Вычислить предел: lim
.
x 0 x sin x
Решение:
1 cos6 x 0
2sin 2 3 x
lim
lim
x 0 x sin x
0 x 0 x sin x
2sin 3x sin 3x x 3x 3x
18 x 2
lim
lim 2 18.
x 0
x 0 x
3x 3x x sin x x

23.

arctg 4 x
.
Пример. Вычислить предел: lim
x 0
3x
Решение:
y arctg 4 x
4 x tgy
arctg 4 x 0
y
lim
lim
1
x 0
y 0
1
3x
0 x tgy
3 tgy
4
4
x 0 y 0
4
y cos y 4
4
lim
limcos y .
3 y 0 sin y
3 y 0
3

24. II замечательный предел

25.

Второй
замечательный
предел
разрешает
неопределенность вида 1 и имеет вид:
x
1
lim 1 e
x
x
1
x
lim 1 x e
x 0
где e 2,7
Показательная функция с основанием е имеет
x
y
e
вид:
и называется экспонентой.
Логарифм с основанием е имеет вид:log e x ln x и
называется натуральным.
Если e y x , то y ln x.

26.

3x
1
Пример. Вычислить предел: lim 1 .
x
x
Решение:
х 3
1
1
lim 1 1 lim 1 e3 .
x
x
x х
3x

27.

3
Пример. Вычислить предел: lim 1
x
2
x
1
Решение:
3
lim 1
x
2
x
1
3 x
e
9 3 x
x 2 x 1
e
3 х
2 x 1
3
1
lim 1
x
2x 1
3
3x
x 2 x
lim
3
2
e .
.
3 х
1
lim 1
x
2х 1
3
lim
3
1 lim 1
x
2
х
1
3 x
3
(3 х )
2 х 1

28.

2x 3
Пример. Вычислить предел: lim
x 2 x 5
2 x 1
.
Решение:
2 x 1
2 x 1
(2 x 5) 5 3
2x 3
lim
1 lim
x 2 x 5
x
2x 5
2 x 5
8
2 x 1
8
1
2x 5
lim
lim
1
x
x
2
x
5
2
x
5
2
x
5
8
e
16 x 8
x 2 x 5
lim
e
16 x
x 2 x
lim
8
e .
8
(2 x 1)
2 x 5

29.

Пример. Вычислить предел: lim(5 2 x)
3x
2 x
x 2
.
Решение:
lim(5 2 x)
x 2
3x
2 x
y x 2
1 x y 2
x 2 y 0
lim(5 2( y 2))
3( y 2)
2 ( y 2)
y 0
1
2 y
lim (1 ( 2 y ))
y 0
lim(5 2 y 4)
3 y 6
y
y 0
2 y 3 y 6
1 y
e
lim (6 y 12)
y 0
e12 .

30.

2x 3
Пример. Вычислить предел: lim
x 4 x 3
Решение:
2x 3
lim
x 4 x 3
3 x 1
2x
lim
x 4 x
3 x 1
1
lim
x 2
3 x 1
.
3 x 1
В дальнейшем решении возможны два случая:
1
lim
x 2
1
lim
x 2
3 x 1
3 x 1
1
lim
x 2
1
lim
x 2
б .б .
б .б .
2 б .б . б.б. .
1
1
б .б .
0.
2
б.б.