Индексный метод. Лекция 3

1.

ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД
(лекция 3)
Лектор: Ниворожкина Людмила Ивановна
Предмет: Статистика

2.

Индексы средних величин (индексы переменного, постоянного состава и
структурных сдвигов)
Индексным методом можно воспользоваться для характеристики динамики
средних показателей уровней. Динамика среднего уровня (среднего показателя
находится под влиянием двух факторов: 1) изменение осредняемой величины, 2)
изменение структуры явления или удельного веса численности отдельных групп
в общем итоге (в общей численности). Например, средняя заработная плата
работников предприятия может изменяться в результате изменения ставок
заработной платы у отдельных категорий работников и в результате изменения
удельного веса работников с различным уровнем оплаты труда.
Очень важно отметить следующее: при изучении динамики среднего показателя
ставится задача показать роль каждого фактора в динамике этого показателя. т.е.
измерить степень влияния в отдельности каждого фактора. С этой целью и
строится система взаимосвязанных индексов: переменного состава, постоянного
(фиксированного) состава (в постоянной структуре) и структурных сдвигов.

3.

Индексы, исчисляемые путем сопоставления средних показателей, называются
индексами переменного состава. Индексы переменного состава находятся под
влиянием двух факторов, о которых говорилось выше.
В индексе постоянного (фиксированного) состава элиминируется, т.е.
устраняется влияние второго структурного фактора и исчисляются они, таким
образом, в постоянной структуре.
Индекс структурных сдвигов (или индекс структуры) позволяет измерить
степень (меру) влияния структурных сдвигов. Исчисляются эти индексы по
следующим формулам:
Индексы переменного состава:
x1 å x1 f 1 å x0 f 0
Ix =
=
:
(1)
x0
å f1
å f0
f
Зная, что
= w , индекс можно представить в таком виде:
å f
å x1w1
Ix =
å x0 w0

4.

Индексы постоянного (фиксированного) состава:
Ix =
å x f :å x f = å x f
å f å f åx f
1 1
0 1
1 1
1
1
0 1
(2)
èëè
Ix =
å xw
åxw
1
1
0
1
Индексы структурных сдвигов:
å x0 f 1 å x0 f 0
å x0 w1
Iw =
=
:
(3)
å f1
å f0
å x0 w0
Между разобранными индексами существует следующая взаимосвязь:
å x1w1
å x1w1 å x0 w1
I x = I x åI w ;
å x 0 w0
=
Ix
Следовательно, I w =
Ix
å
å x0 w1 å x0 w0
,

5.

Индексы постоянного (фиксированного) состава:
x f åx f
x f
å
å
I =
:
=
f
f
å
å
åx f
1 1
0 1
1 1
1
1
0 1
x
(2)
èëè
xw
å
I =
åxw
1
1
0
1
x
Индексы структурных сдвигов:
å x0 f 1 å x0 f 0
å x0 w1
Iw =
=
:
(3)
å f1
å f0
å x0 w0
Между разобранными индексами существует следующая взаимосвязь:
å x1w1
å x1w1 å x0 w1
I x = I x åI w ;
å x 0 w0
=
Ix
Следовательно, I w =
Ix
å
å x0 w1 å x0 w0
,

6.

Данные о ценах и объемах реализации товара "X" в двух регионах
2018
2019
Регион цена,
тыс.руб.
продано,
шт.
цена,
тыс.руб.
продано,
шт.
1
7
36000
8
10000
2
5
12000
6
34000

7.

Проведем анализ изменения цен на данный товар. Из таблицы видно, что цена
в каждом регионе возросла. Для сводной оценки этого роста воспользуемся
средними показателями. Так как в данном случае реализуется один и тот же
товар, вполне правомерно рассчитать его среднюю цену за 2018 и 2019 годы.
Индекс цен переменного состава представляет собой соотношение средних
значений за два рассматриваемые периода:
p q å p q 8 å10000 + 6 å34000 7 å36000 + 5 å12000
å
I =
:
=
:
= 6,45 : 6,50 = 0,992
10000 + 34000
36000 + 12000
åq åq
1 1
0 0
1
0
p

8.

Рассчитанное значение индекса указывает на снижение средней цены
данного товара на 0,8%, т.е. с 6,50 тыс. руб. до 6,45 тыс. руб. В то же
время, из приведенной выше таблицы видно, что цена в каждом регионе
в 2019 г. по сравнению с 2018 г. возросла. Данное несоответствие
объясняется влиянием изменения структуры реализации товаров по
регионам: в 2018 г. по более высокой цене продали товара втрое больше,
а в 2019 г. ситуация принципиально изменилась (в данном условном
примере для наглядности числа подобраны таким образом, чтобы это
различие в структуре продаж было очевидным). Иными словами, на
динамике средней цены данного товара отразились структурные сдвиги
в рассматриваемой совокупности.

9.

Оценить воздействие этого фактора можно с помощью индекса структурных
сдвигов:
Iw
p q å p q
å
=
:
=
åq
åq
0
1
1
0
0
0
7 å10000 + 5 å34000 7 å36000 + 5 å12000
=
:
=
44000
48000
= 0,839

10.

Первая формула в этом индексе позволяет ответить на вопрос, какой
была бы средняя цена в 2019 г., если бы цены в каждом регионе
сохранились на уровне предыдущего года. Вторая часть формулы
отражает фактическую среднюю цену 2018 г. В целом по полученному
значению индекса мы можем сделать вывод, что за счет структурных
сдвигов цены снизились на 16,1%.
Последним в данной системе является индекс цен фиксированного
состава,
который
не
учитывает
влияние
структуры:
p q 8 å10000 + 6 å34000
å
I =
=
= 1,183
å p q 7 å10000 + 5 å34000
1 1
p
0 1

11.

Полученное значение индекса позволяет сделать вывод о том, что если бы
структура реализации товара "Х" по регионам не изменилась, средняя цена
возросла бы на 18,3%. Однако, влияние на среднюю цену фактора
структурных изменений оказалось сильнее и в итоге цена даже несколько
снизилась. Данное взаимодействие рассматриваемых факторов отражается в
следующей взаимосвязи:
I p åI w = I p
0,183 å0,839 = 0,992
Аналогично строятся индексы структурных сдвигов, переменного и
фиксированного состава для анализа изменения себестоимости, урожайности и
других показателей

12.

Средние индексы широко используются для анализа рынка ценных бумаг.
Наиболее известными среди них являются индексы Доу Джонса (Dow Jones
Industrial Average Index) и Стэндард энд Пурс (.Standards and Poor’s 500 Stock
Index).
Индекс Доу Джонс определяется как среднеарифметический индекс значений
курсов акций, котирующихся на Нью-Йоркской фондовой бирже. Один
сводный и три групповых индекса рассчитываются каждые полчаса, и
ежедневно публикуется их значение на момент закрытия биржи. Групповые
индексы определяются по ценам акций 30 промышленных, 20 транспортных и
15 компаний сферы услуг. Общий индекс рассчитывается по всем 65
компаниям. Их перечень был составлен в 1928 году. В качестве базисного был
выбран 1920 год. Первоначальная методика исчисления индекса была
разработана основателем и редактором крупнейшей в США газеты «Уолл-Стрит
Джорнал» ЧарлзомДоу.
Индекс Стэндард анд Пурс – рассчитывается по курсам акций 500 крупнейших
компаний Нью-Йоркской фондовой биржи как средневзвешенный показатель,
учитывающий общее число выпущенных компанией акций. В число компаний,
акции которых включены в индекс, входят 400 промышленных корпораций, 40
– финансовых, 20 транспортных и 40 – сферы услуг.

13.

Ряды индексов с постоянной и переменной базой сравнения (цепные и
базисные)
При изучении динамики общественных явлений за более или менее длительное
время исчисляют не один, а ряд индексов, так называемая система индексов.
Выбор базы сравнения и весов индексов - это два важнейших методологических
вопроса построения систем индексов в тех случаях, когда сравниваемых
периодов три и более.
По базе сравнения различают цепные и базисные индексы.
Система базисных индексов – это ряд последовательно вычисленных индексов
одного и того же явления с постоянной базой сравнения, то есть в знаменателе
всех индексов находится индексируемая величина базисного периода.
Система цепных индексов – это ряд индексов одного и того же явления,
вычисленных с меняющейся от индекса к индексу базой сравнения.
Выбор системы индексов (базисные или цепные) проводится в зависимости от
целей анализа. Базисные индексы дают более наглядную характеристику общей
тенденции развития исследуемого явления, а цепные - четче отражают
последовательность изменения уровней во времени.

14.

Системы цепных и базисных индексов
индивидуальных и общих инднксов.
Cхема построения базисных индексов
Исходные уровни: q1
q2 q3
q4
q2
базисные индексы: i q =
;
q1
q3
iq =
;
q1
могут
быть
построены
для
q4
iq =
;
q1
Схема построения цепных индексов
Исходные уровни: q1 ® q2 ® q3 ® q4
q2
q3
q4
Цепные индексы: i p =
; ip =
; ip =
;
q1
q2
q3
Между цепными и базисными индексами имеется взаимосвязь, которая
заключается в следующем: произведение всех цепных индексов равно общему
базисному индексу:
q2 q3 q4 q4
. . =
;
q1 q 2 q 3 q1
Отсюда следует: отношение каждого последующего базисного индекса к
предыдущему базисному дает промежуточный цепной индекс

15.

q4 q3 q4
:
=
;
q1 q1 q3
q3 q2 q3
:
=
;
q1 q1 q 2
Взаимосвязь цепных индексов в индивидуальных проявляется всегда, а в
сводных (общих) индексах только при условии постоянства весов (или
соизмерителей).
Возьмем ряд цепных индексов с постоянными весами (р1):
q p
å
;
I =
åqp
2
1
1
1
q
qp
å
;
I =
åq p
3
1
2
1
q
q p
å
I =
åq p
4
1
3
1
q
Если перемножить эти индексы, то получим общий базисный индекс:
å q 2 p 1 å q 3 p 1 å q 4 p1 å q 4 p 1
.
.
=
;
å q1 p1 å q 2 p1 å q 3 p1 å q1 p1
Этому требованию не отвечают индексы с переменными весами:
å q4 p3
å q 2 p1
å q3 p 2
Iq =
;
Iq =
;
Iq =
å q1 p1
å q2 p2
å q3 p 3

16.

Ряды индексов с постоянными и переменными весами
Два и более индексов с одинаковыми по содержанию и во времени весами
образуют ряд индексов с постоянным весами или соизмерителями:
q p
qp
qp
å
å
å
I =
;I =
; I =
åqp
åq p
åq p
2
1
1
1
q
3
1
2
1
q
4
1
3
1
q
Два и более индексов с одинаковыми по содержанию, но различными во
времени весами или соизмерителями называются рядом индексов с переменными
весами или соизмерителями:
q p
å
I =
;
åqp
2
1
1
1
q
qp
qp
å
å
I =
;I =
åq p
åq p
3
2
2
2
q
4
3
3
3
q
В статистической практике ежегодные индексы объема промышленной
продукции вычисляются как индексы с постоянными соизмерителями или
весами, т.к. продукция оценивается в сопоставимых ценах. Ежегодные индексы
физического объема продукции в торговле вычисляются как индексы с
переменными весами или соизмерителями.

17.

Индексный метод анализа факторов динамики
Многие статистические показатели, характеризующие различные стороны
общественных явлений, находятся между собой в определенной связи (часто в
виде произведения). Связь между экономическими показателями находит свое
отражение и во взаимосвязи характеризующих их индексов.
В общем случае, если z = yx, то Iz = IyIx, а если z = y/x, то и Iz = Iy / Ix.
Поэтому многие, связанные между собой экономические показатели, образуют
индексные системы.
Система взаимосвязанных индексов дает возможность применять индексный
метод для изучения взаимосвязи общественных явлений, проведения
факторного анализа с целью определения роли отдельных факторов (не
зависимых друг от друга) на изменение сложного явления
В отечественной статистике практике принята следующая
практика
факторного анализа. Если результативный показатель можно представить как
произведение объемного и качественного показателя, то, определяя влияние
объемного фактора на изменение результативного показателя, качественный
фактор фиксируют на уровне базисного периода. Если же определяется влияние
качественного показателя, то объемный фактор фиксируется на уровне
отчетного периода.

18.

Рассмотрим построение взаимосвязанных индексов на примере индексов цен,
физического объема продукции (если речь идет об отпускных ценах
промышленности) или физического объема товарооборота (если речь идет о
розничных ценах) и индекса стоимости (товарооборота в фактических ценах).
Индексы физического объема и цен являются факторными по отношению к
индексу стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах):
å p1q1 å p1q1 å q1 p0
I pq = I p åI q
å p0 q0
=
å
å p0 q1 å q0 p0
или
Таким образом произведение индекса цен на индекс физического объема
продукции дает индекс стоимости продукции (товароооборота в фактических
ценах), то есть индексы образуют индексную систему из трех индексов.

19.

Если, например, по определенной группе товаров цена единицы товара в отчетном
периоде по сравнению с базисным возросла в среднем на 20% (Ip,= 1,20), а
физический объем товарооборота в фиксированных ценах снизился на 5% (Iq =
0,95), то можно определить изменение объема товарооборота в фактических
ценах:
Ipq = Ip . Iq = 1,20 . 0,95 = 1,14 или 114%.
Таким образом, при снижении физического объема товарооборота на 5%,
товарооборот в фактических ценах в отчетном периоде по сравнению с базисным
вырос на 14% вследствие роста цен на единицу товара в среднем на 20%.
Аналогично можно найти взаимосвязь между индексами затрат на производство
продукции, себестоимости и физического объема продукции:
Izq = Iz . Iq
Индекс изменения общего фонда оплаты труда в связи с изменением общей
численности работающих Т и заработной платы f:
IF = IT . If

20.

К числу взаимосвязанных индексов относятся и индексы переменного состава,
индексы постоянного состава и индексы структурных сдвигов. В этой системе
динамика среднего показателя (индекса переменного состава) выступает как
произведение двух индексов: индекса среднего показателя в неизменной
структуре (индекс постоянного состава) и индекса влияния изменения структуры
явлений на динамику среднего показателя (индекс структурных сдвигов):
å х1 f1 å x0 f 0 å х1 f 1 å x0 f 1 å x0 f 0
I x = I x åI стр.
å f1
:
å f0
=
å x0 f 1
å
å f1
:
å f0

21.

Индексная система позволяет определить влияние отдельных факторов на
формирование уровня результативного показателя, по двум известным значениям
индексов найти значение третьего – неизвестное. Например, известно, что затраты
на производство всей продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным
выросли на 15% ( Izq = 1,15) и одновременно уровень себестоимости единицы
продукции снизился на 4% (Iz = 0,96), то можно определить, что физический
объем продукции вырос на 20%:
I zq
1,15
I zq = I z åI q ; I q =
=
= 1,20
I z 0,96
или 120%.

22.

Обозначим факторные признаки a, b, c, тогда система взаимосвязанных
индексов будет иметь следующий вид:
I общ. =
å a1b1c1
å a0b0 c0
=
å a1b0 c0
å a1b1c0
å
å a1b1c1
å
å a0 b0 c0 å a1b0 c0 å a1b1c0
Аналогично строится система взаимосвязанных индексов при
четырехфакторной связи и т.д.
Аналогично строится система взаимосвязанных индексов при большем
количестве факторов - четырех и т.д.

23.

Обозначим факторные признаки a, b, c, тогда система взаимосвязанных
индексов будет иметь следующий вид:
I общ. =
å a1b1c1
å a0b0 c0
=
å a1b0 c0
å a1b1c0
å
å a1b1c1
å
å a0 b0 c0 å a1b0 c0 å a1b1c0
Аналогично строится система взаимосвязанных индексов при
четырехфакторной связи и т.д.
Аналогично строится система взаимосвязанных индексов при большем
количестве факторов - четырех и т.д.