Уравнения Максвелла. Лекция 11

1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
(УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА)
Вихревое электрическое поле
Электромагнитная индукция приводит к возникновению э.д.с. индукции и
появлению в замкнутом контуре индукционного тока. В случае движения
проводника в магнитном поле на электроны начинают действовать сторонние силы, которые являются силами Лоренца, а в случае переменного
магнитного поля – силами вихревого электрического поля EB , линии
которого замкнуты и поле называется вихревым. Это поле и заставляет
электроны непрерывно перемещаться по замкнутому контуру. Поэтому
всякое изменение магнитного поля вызывает появление вихревого
электрического поля EB . E = E d d BdS B dS.
i
B
S t
dt S
Для электростатического поля Eq d 0, поэтому
B
Ed
S t dS,
где E Eq EB .
Вихревое электрическое поле используется в бетатроне (индукционном

2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

ускорителе). Тороидальная камера помещается между полюсами электромагнита специальной формы. Переменный ток частоты 100 Гц, питающий электромагнит создает переменное магнитное поле, вызывающее
переменное ускоряющее вихревое электрическое поле и удерживающее
электроны на орбите.
Токи смещения
Изменяющееся магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля. Максвелл предположил возможность обратного процесса.
При разрядке конденсатора (рис. 66) по цепи течет меняющийся ток, который прерывается в конденсаторе. Запишем
циркуляцию вектора H по контуру L : H d j dS.
L
S Рис.66
На контур L можно «натянуть» две поверхности S и S’ . Через поверхность S ток проходит, а через поверхность S’ тока нет, т.е. теорема о циркуляции не выполняется. Максвелл предположил, что изменяющееся электрическое поле вызывает в пространстве между пластинами конденсатора появление магнитного поля такого же, как если бы там был ток, равный
току в цепи, который он назвал током смещения.

3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Для электрического смещения D между пластинами конденсатора имеем
D 0 E 0
.
0
Сила тока вследствие непрерывности может быть выражена через поле в
конденсаторе
dq
d
D
I
S S .
dt
dt
t
Переменное во времени электрическое поле вызывает такое же по величине магнитное поле, как и ток проводимости с плотностью j cм D t .
Если вместе с токами смещения имеются и токи проводимости, то они,
складываясь, образуют полный ток, плотность которого равна
D
j полн j пров
.
t
Этот ток и вызывает появление магнитного поля
D
H d S j полн dS S j пров t dS.

4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Уравнения Максвелла в интегральной форме
Из принципа относительности Эйнштейна (законы всех физических
явлений, в том числе и электромагнитных записываются одинаково в инерциальных системах отсчета) следует, что рассмотрение отдельно электрического и магнитного полей относительно. Электростатическое поле неподвижных зарядов в другой инерциальной системе, где заряды движутся
меняет свой характер – появляется магнитное поле. Неподвижный проводник с током, создающий постоянное магнитное поле, в другой инерциальной системе создает вихревое электрическое поле. Все это говорит о
том, что в природе существует единое электромагнитное поле,
подчиняющееся уравнениям, открытым Максвеллом.
B
dS
t
S
Ed
BdS 0
S

5. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Первое уравнение – уравнение закона электромагнитной индукции
Фарадея, второе уравнение – отражение свойств вихревого магнитного
D
поля.
H d S j полн dS S j пров t dS
D dS dV .
S
V
Третье уравнение дает связь циркуляции вихревого магнитного поля с
существующими токами проводимости и смещения, четвертое уравнение
– теорема Гаусса для вектора электрического смещения.
Это есть система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в
интегральной форме. Ее можно записать в дифференциальном виде.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Теорема Стокса для произвольного вектора
A : Ad rot AdS,
i
j
k
где rot A
x
Ax
y
Ay
S
, а единичные векторы i , j , k определяют
z
Az

6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

направления декартовых осей координат. Теорема позволяет преобразовать первое и третье уравнения Максвелла к виду
D
B
rot
H
j
.
и
rot E
пров
t
dt
Теорему Гаусса можно переписать в виде
Ay
где
AdS
=
div
AdV
,
S
V
Ax
A
z,
x
y
z
дает возможность записать уравнения 2 и 4 в виде divB 0 и div D .
Тогда уравнения Максвелла в дифференциальной форме примут вид
div A
B
, divB 0 и
dt
dD
rot H = jпров
, div D = .
dt
rot E

7. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Электромагнитные волны
Переменное магнитное поле вызывает появление переменного электрического поля, которое в свою очередь вызывает возникновение
переменного электрического поля. Этот процесс будет периодически
повторяться во времени и в пространстве, т.е. будет представлять собой
волну. Таким образом, существование электромагнитных волн должно
вытекать из уравнений Максвелла. Рассмотрим уравнения
электромагнитного поля для однородной, изотропной нейтральной ( 0 )
непроводящей ( j пр 0 ) среды с постоянными диэлектрической и
магнитной проницаемостями, которые в этом случае имеют вид:
H
rot E 0
,
dt
divB 0,
E
rot H 0
,
t
div D =0.

8. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Применим к первому уравнению операцию rot
H
rot rot E 0 rot
rot H .
0
t
t
В правой части этого равенства заменена последовательность операций
дифференцирования и rot. Далее выражение в скобках выражаем из
третьего уравнения, тогда
2E
0
rot H 0 0 2 .
t
t
Далее двойная операция может быть преобразована к виду:
2E 2E 2E
rot rot E =grad div E E = - 2 2 2 .
x
y
z
Окончательно получим
2E 2E 2E
2E
2 2 0 0 2 .
2
x
y
z
t

9. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Аналогичное уравнение получается и для H
2H 2H 2H
2H
0 0 2 .
2
2
2
x
y
z
t
Оба уравнения являются волновыми для E и H соответственно.
Функция, представляющая решение такого уравнения описывает
распространяющуюся волну, а коэффициент при второй производной в
правой части уравнения равен фазовой скорости этой волны. Таким
образом, получены уравнения электромагнитной волны со скоростью
1
1
распространения
v
.
.
0 0
В вакууме фазовая скорость электромагнитной волны равна
1
1
8 м
v
3 10
7
с
0 0
4 10
4 9 109
и совпадает со скоростью света.