Решение нелинейного уравнения. Тема 6

1. Тема 6 §1 Решение нелинейного уравнения

f
x 0
Требуется найти все или некоторые корни уравнения
f x 0
Исследование характера корней: расположения,
количества, кратности корней;
Отделение корней: выделение областей, в каждой из
которых находится единственный корень;
Уточнение корней: вычисление интересующих корней с
наперед заданной точностью.

2. построение таблицы f(x)

x0
x1
x2
x3
x4
+
-
+
+
+
... x
n 1
xn
-
-

3.

для многочлена
f x a0 a1 x ... am x
m
если выполнены неравенства
m
f x0 0, f x0 0, f x0 0,..., f x0 0,
то положительные корни не превосходят
действительно:
x0
m
f x0
f x0
m
x x0 ...
x x0
f x f x0
1
m!

4.

f (x)
x

5.

f x ( x) x
(x)
x1
(x)
x2
x

6. 1. Дихотомия

Метод деления пополам
Метод бисекции
x0 , x1 , x2 ,..., xт , x , xm xm 1
f x
g x
k
x x

7. 2. Метод простой итерации

x x
xn 1 xn , n 0 ,1,2 ,...
x0 , x1 , x2 ,..., xт , x
x x
Исследуем условия сходимости:
xn 1 x xn x xn x
x q 1
xn 1 x q xn x

8.

x a
a
a
a
x , x
xn 1
x
x
xn
Пример
2
метод не сходится вообще
x
a
x
2
1
1
a
1
a
1
a
x x , x x xn 1 xn
2
x
2
x
2
xn
метод сходится при любом начальном приближении
x
1
a
1 2 0
2
x

9. Условие окончания итерационного цикла

если
x 0 приближения то слева, то справа от корня
xn 1 x xn x xn x
тогда
если
xn xn 1
x 0 приближения с одной стороны от корня
xn 1 xn q xn xn 1
xn 1 xn
q
xn xn 1
an 1
xn 1 xn xn xn 1
ak
1 q
2 xn xn 1 xn 1
k n 1

10. 3. Метод Ньютона

Метод касательных
Метод линеаризации
f x f xn f x xn
f f xn
f xn
xn 1 xn
f xn

11.

f x
f x f x0 f x0 x x0
0 f x0
x1 x0
f x0
x
a
x2 x1
x0
x

12. сходимость метода Ньютона

f x
f x f x
x x
x 1 1
2
f x
f x
x 0
скорость сходимости метода Ньютона
xn 1 x xn x
x
2
x x xn x
xn x ... x
2

13.

f x
достаточное условие сходимости метода Ньютона
f x f x
x
0
2
f x
f x 0, f x 0
a
x2 x1
x0
x

14.

f x
f x f x
x
f x 2
x0
f x 0, f x 0
x1 x2
b x

15.

f x
f b 0, f b 0
a
b x
f a 0, f a 0

16. 4. Модифицированный метод Ньютона

f xn
xn 1 xn
f xn
Если
f xn
xn 1 xn
, n 0,1,...
f x0
f f1 x , f 2 x ,..., f m x
T
тогда
xn 1 xn f xn f xn
1
для уменьшения количества арифметических операций
на одном шаге итерации используется модификация
xn 1 xn f x0 f xn
1

17. 5. Метод секущих

f x
5. Метод секущих
x3
x2
x1
x0
x

18.

Уравнение прямой
x x1
f x f x1
x0 x1 f x0 f x1
0 f x1
x2 x1 x0 x1
f x0 f x1
xn xn 1
xn 1 xn f xn
f xn 1 f xn
преимущества метода секущих: простота реализации
нет производных
недостатки метода секущих: неизбежные погрешности,
возникающие при вычитании близких чисел в знаменателе
сходимость не более, чем линейная

19.

x xn 1
f xn 1 x f x xn 1
x x f x
f xn 1 f x
f xn 1 f x
xn 1 f f xn 1 f f xn 1 f xn 1 f f xn 1 x
x
2
f f xn 1
xn 1 ff f xn 1 f xn 1 f xn 1 f f xn 1 xn 1 ff f xn 1 xf
2
f f xn 1
2
f xn 1 f f x xn 1
f
x
f
x
x
x
n
1
n 1
x
2
f f xn 1
f xn 1

20.

f xn 1 f x x xn 1
x
f xn 1
но с другой стороны, по формуле Тейлора
f
2
f xn 1 f x f x xn 1 x
xn 1 x
2
числитель равен
f
2
f xn 1 f x xn 1 x
xn 1 x
2
следовательно
f x xn 1
x
2 f xn 1
2

21. 6. Метод хорд

f x
6. Метод хорд
x0
x1
x2
x
b
x

22.

x a f x f a
Уравнение хорды
b a f b f a
0 f a
x1 a b a
f b f a
если неподвижный правый конец отрезка: в
b xn
xn 1 xn f xn
f b f xn
x0 a, n 1,2,...
получаем ограниченную сверху монотонно возрастающую
последовательность приближений
a x0 x1 x2 ... x b

23.

f x
x2
a
x
x1
x0
x

24.

если неподвижный левый конец отрезка: а
xn a
xn 1 xn f xn
f xn f a
x0 b, n 1,2,...
получаем ограниченную снизу монотонно убывающую
последовательность приближений
a x ... x2 x1 x0 b
возможны варианты:
1.
f x 0, f x 0
2.
f x 0, f x 0
неподвижный конец отрезка
для метода хорд:
для которого знак функции
совпадает со знаком
ее второй производной
3.
f x 0, f x 0
f x f x 0
4.
f x 0, f x 0

25. Другие методы решения нелинейного уравнения

Метод Шредера:
f xn f xn
xn 1 xn
2
f xn f xn f xn
Классификация методов решения
1.
Метод простой итерации, послед. приближений
2.
Метод секущих
k
3.
Метод Ньютона
k 2
4.
Метод Галлея
k 3
5.
Метод Чебышева
k n N
k 1
5 1
1.61....
2
Найти самостоятельно

26.

Метод Чебышёва построения итерационных процессов высшего порядка
Предположим, что существует функция g(u), обратная к f(u). При этом u=
g[f(u)], U = g(0).
Пусть, кроме того, f(u) непрерывна и имеет необходимое число непрерывных
производных,
Обратная функция имеет такое же количество непрерывных производных, как
и f(u).
Разложим функцию g(f[u]) = g(h) в ряд Тейлора в окрестности корня - точки w =
f(u)
Тогда, учитывая, что u = g[f(u)], w = f(u), h = f(v), получим
Можно показать, что итерационный метод
имеет порядок сходимости n + 1. Для вычисления производных обратной
функции u = g[f(u)] воспользуемся правилом дифференцирования сложной
функции:

27.

метод секущих – установление факта о сверхлинейной
сходимости метода
Вержбицкий В.М. Численные методы
(линейная алгебра и нелинейные
уравнения). – М.: ОНИКС 21 век, 2005.
метод Галлея , методы Чебышева, метод Шредера и другие
энциклопедия математических формул и
математических достижений в мире
автор Вольфрам (Wolfram)
Mathworld
CКМ «Математика»

28. Продолжение рассмотрения метода Ньютона

≈ 300 лет назад Токакадзу ║ с Ньютоном открыл метод
f xn
xn 1 xn
, n 0,1,...
f x0
1.
если х – число, f - функция
2.
если х – функция, f - оператор
3.
если х – последовательность, f - оператор
4.
если х – матрица, f - преобразование

29.

поиск методом Ньютона корней многочлена
f z z 3 1
ω1 = 1, ω2 = -1/2 + i√3/2 и ω3 = -1/2 - i√3/2
(0,0)
(1,0)

30.

фрактал - бассейн Ньютона

31.

32.

33.

итерационный процесс в комплексной плоскости
z n 1 z c
2
n
Im с 2
Im z
0
z0 0
Re z
(Mandelbrot) Фрактальная геометрия природы. 1977.
2
Re с

34.

фрактал – множество Мандельброта – это геометрия
итерационного процесса