Теорема синусов, косинус, площадь треугольника

1.

Формулы для вычисления координат точки
у
А(х;У)
OM cos ;sin
М(cos ;sin )
0
х
1
OA x; y
OA OA OM
x OA cos , y OA sin
OA OA cos ;OA sin

2.

3.

Теорема о площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон
на синус угла между ними.
y
A b cos C; b sin C
c
b
Доказать: S
h
a
C
1
ah
2
h b sin C
S
Дано: ∆ ABC
BC = a, CA = b
S – площадь
B x
1
ab sin C
2
Доказательство:
Дополнительное построение: Cxy, B Cx,
h a
S
1
ab sin C
2

4.

Найти площадь треугольника:
1
S AOB 4 6 sin 60
2
У
В
1
3
S AOB 24
2
2
S AOB 6 3
6
60°
О
4
А
Х

5.

1
S 5 6 sin 60
2
15 3
S
2
5
60º
6
1
S 5 8 sin 45
2
S 10 2
5
45º
8

6.

А
С
5
5
15º
15º
1
S AOB АС АВ sin В
2
1
S AOB 5 5 sin( 180 30 )
2
25
S AOB
4
В

7.

Найдите площадь параллелограмма:
А
В
а
α
Д
в
С
S АВСД S АДС S АВС
S АДС S АВС
1
S АДС ав sin
2
S АВСД ав sin

8.

А
В
45º
5
Д
8
С
S ДА ДС sin Д
S 5 8 sin 45
S 20 2

9.

R
S
120º
6
O
9
T
S OR OT sin O
S 6 9 sin 60
S 27 3
OR TS 6
O 180 120 60

10.

Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих
углов.
C
a
b
A
Дано: ∆ ABC
AB = c, BC = a, CA = b
c
B
a
b
c
Доказать:
sin A sin B sin C
Доказательство:
1
1
1
bc sin A
S ab sin C
S ac sin B
2
2
2
1
1
bc sin A ab sin C sin Asin C
2
2
c
a
c sin A
a sin C
sin C sin A
sin A sin C sin A sin C
S
1
1
ab sin C ac sin B
2
2
b sin C
c sin B
sin B sin C sin B sin C
(1), (2)
(1)
sin B sin C
b
c
sin B sin C
(2)
a
b
c
sin A sin B sin C

11.

Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов
N
MN
NF
MF
sin F sin M sin N
M
F
В
ВС
AB
AC
sin A
sin C sin B
А
С

12.

Запишите теорему синусов
для данного треугольника:
M
MN
NK
KM
sin K sin M sin N
K
N

13.

АВС
MNP
POH
VXR
АВ
ВС
АС
sin C sin A sin B

14.

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла
между ними.
y
Дано: ∆ ABC
AB = c, BC = a, CA = b
C b cos A; b sin A
Доказать: a 2 b 2 c 2 2bc cos A
a
b
A
Доказательство:
c
x
B (c; 0)
Дополнительное построение: Axy:
B (c; 0), C b cos A; b sin A
BC² = a² = b cos A c b sin A 0
2
2
b 2 cos 2 A 2bc cos A c 2 b 2 sin 2 A b 2 cos 2 A sin 2 A 2bc cos A c 2
1
a 2 b 2 c 2 2bc cos A

15.

Верно ли записано?
С
а2 = b2 + с2 - 2aс cosC
неверно
в2 = с2 + a2 - 2сa cosB
верно
с2 = a2 + c2 - 2ab cosA
неверно
а
b
В
А
с

16.

M
K
N
Запишите теорему косинусов для вычисления
стороны МК:
MK NM NK 2 NM NK cos N
2
2
2

17.

АВС
АВ AC BC 2 AC BC cos C
2
2
2
AC AB BC 2 AB BC cos B
2
POH
VXR
2
BC AB AC 2 AB AC cos A
2
MNP
2
2
2

18.

АВ AC BC 2 AC BC cos C
2
2
2
2 АС ВС cos C AC BC AB
2
2
AC BC AC
cos C
2 AC BC
2
2
2
2