Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

2. Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
с
а
b
а b
α
c b

3. Свойство 1

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
a
Доказать:
b
M
Дано: а || b, a c
b c
A
c
C
α
Доказательство:

4. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а
α
а α

5. свойство2

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая
прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Дано: а || а1; a
α
Доказать: а1
Τ
х
а1
Τ
a
α
α
Доказательство:

6. свойство3

β
Если две прямые
перпендикулярны к
плоскости, то они
параллельны.
M
с
Дано: а α; b α
α
a
Доказать: а || b
b1
b
Доказательство:

7. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
a
q O
p
m
Дано: а p; a q
p α; q α
α
p∩q=O
Доказать: а α
Доказательство:

8.

Доказательство:
а) частный случай
a
A
P
l
Q
q
O
α
p
m
B
L

9.

Доказательство:
а) общий случай
a1
a
m
q
p
O
α

10.

свойство 4
Через любую точку пространства проходит
прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и
притом только одна.
β
М
b
а
α
с

11. Перпендикуляр и наклонные

М α
МН α
Н α
А α
В α
А
М
МА и МВ – наклонные
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
α
Н
В

12. Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
Доказать: а АМ
Доказательство:

13.

Теорема, обратная теореме
о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна
и к ее проекции.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а АМ, М а
Доказать: а НМ
Доказательство:

14. Угол между прямой и плоскостью

(а ; α) = АОН = φ
β
А
φ
О
α
а
Н