Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Перпендикулярность прямой и плоскости

10 класс

2. Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
с
а
b
а b
α
c b

3. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости

а
α
а α

4. Т 9.1 Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна самой плоскости.
a
q O
p
m
Дано: а p; a q
p α; q α
α
p∩q=O
Доказать: а α
Доказательство:

5.

Доказательство:
а) частный случай
a
A
P
l
Q
q
O
α
p
m
B
L

6.

Доказательство:
а) общий случай
a1
a
m
q
p
O
α

7. Теорема 9.2 (признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая
прямая перпендикулярна этой плоскости.
a
Дано: а || а1; a α
а1
Доказать: а1 α
α
х
Доказательство:

8. Теорема 9.3 (признак параллельности двух прямых)

β
Если две прямые
перпендикулярны
плоскости, то они
параллельны.
M
с
Дано: а α; b α
α
a
b
b1
Доказать: а || b
Доказательство:

9.

Теорема 9.4
Через любую точку пространства проходит
прямая, перпендикулярная данной плоскости, и
притом только одна.
β
М
b
а
α
с
Дано: α; М α
Доказать:
1) ∃ с, с α, М с;
2) с – !
Доказательство:

10.

Задача 1.
Дано: ABC;
MB BC; MB BA;
MB = BD = a
M
Доказать: МB BD
Найти: MD
a
Решение:
В
А
a
D
C

11.

Задача 2.
Дано: ABCD параллелограмм;
AC ∩ BD = O; М (ABC);
МА = МС, MB = MD
М
Доказать: OМ (ABC)
Доказательство:
D
А
C
O
В

12.

Задача 3.
D
К
Дано: ABC – р/с;
О – центр ABC
CD (ABC); ОК || CD
АB = 16 3, OK = 12; CD = 16
Найти: AD; BD; AK; BK.
16
Решение:
12
В
C
O
А

13. Перпендикуляр и наклонные

М α
МН α
Н α
А α
В α
М
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
α
Н
А
МА и МВ – наклонные
В

14. Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна самой наклонной.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
Доказать: а АМ
Доказательство:

15.

Теорема, обратная теореме о трех
перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно ей, перпендикулярна и
ее проекции.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а АМ, М а
Доказать: а НМ
Доказательство:

16. Угол между прямой и плоскостью

(а ; α) = АОН = φ
β
А
φ
О
α
а
Н