Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Автор:
Елена Юрьевна Семенова

2. Содержание

Перпендикулярные прямые в пространстве
Лемма
Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых
к плоскости
Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых
к плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема о существовании и единственности прямой,
перпендикулярной к данной плоскости
Перпендикуляр и наклонные
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Угол между прямой и плоскостью

3. Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
с
а
b
а b
α
c b

4. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
a
Доказать: b c
b
M
Дано: а || b, a c
A
c
C
α
Доказательство:

5. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

а
α
а α

6. Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая
прямая перпендикулярна к этой плоскости.
a
Дано: а || а1; a α
а1
Доказать: а1 α
α
х
Доказательство:

7. Теорема 2

β
Если две прямые
перпендикулярны к
плоскости, то они
параллельны.
M
с
Дано: а α; b α
α
a
b
b1
Доказать: а || b
Доказательство:

8. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
a
q O
p
m
Дано: а p; a q
p α; q α
α
p∩q=O
Доказать: а α
Доказательство:

9.

Доказательство:
а) частный случай
a
A
P
l
Q
q
O
α
p
m
B
L

10.

Доказательство:
а) общий случай
a1
a
m
q
p
O
α

11.

Теорема 4
Через любую точку пространства проходит
прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и
притом только одна.
β
М
b
а
α
с
Дано: α; М α
Доказать:
1) ∃ с, с α, М с;
2) с – !
Доказательство:

12.

Задача
Дано: ABC;
MB BC; MB BA;
MB = BD = a
M
Доказать: МB BD
Найти: MD
a
Решение:
В
А
a
D
C

13.

Задача 128
Дано: ABCD параллелограмм;
AC ∩ BD = O; М (ABC);
МА = МС, MB = MD
М
Доказать: OМ (ABC)
Доказательство:
D
А
C
O
В

14.

Задача 122
D
К
Дано: ABC – р/с;
О – центр ABC
CD (ABC); ОК || CD
АB = 16 3, OK = 12; CD = 16
Найти: AD; BD; AK; BK.
16
Решение:
12
В
C
O
А

15. Перпендикуляр и наклонные

М α
МН α
Н α
А α
В α
М
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
α
Н
А
МА и МВ – наклонные
В

16. Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
Доказать: а АМ
Доказательство:

17.

Теорема, обратная теореме о трех
перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна
и к ее проекции.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а АМ, М а
Доказать: а НМ
Доказательство:

18. Угол между прямой и плоскостью

(а ; α) = АОН = φ
β
А
φ
О
α
а
Н