Электрическое поле в диэлектриках (лекция 5)

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Диполь, напряженность электрического поля,
потенциал диполя
Электрический диполь – система, состоящая из двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов, расположенных на постоянном
расстоянии (вектор, идущий от отрицательного заряда к положительному), много меньшем, чем расстояние r до точки наблюдения его электрического поля (рис. 24). Для характеристики свойств диполя вводится его
электрический (дипольный) момент p q . Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности диполя изображены
на рис. 25.
Рис. 24
Рис.25

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Напряженность электрического поля диполя на его оси
На оси диполя (прямой, проходящей от отрицательного заряда через
положительный), используя принцип суперпозиции для двух точечных
зарядов, найдем:
2
2
r r
1
q
q
q
2q
2p
2
2
Eпар
.
2
2
2
2
3
3
4 0
4 0r
4 0r
4 0
r
r
r
r
2
2
2
2
Потенциал электрического поля диполя
В точке, отстоящей на расстоянии r от центра диполя на его оси (рис. 26),
потенциал равен:
q
q
q
p
.
2
2
4 0r
4 0 r 4 0 r 4 0 r 2
2
2
4
Таким образом, напряженность электрического поля диполя обратно
пропорциональна кубу расстояния, а потенциал обратно пропорционален

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

квадрату расстояния.
Рис.26
Диполь в однородном электростатическом поле
На каждый заряд диполя в однородном электрическом поле (рис. 27) действуют равные по величине и противоположные по направлению силы
F qE, создающие момент сил M F q E pE , модуль которого равен M pE sin ad
. a. Поворот диполя прекратится при a = 0, когда
его электрический момент p установится вдоль направления
напряженности поля E .
Рис.27

4. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Работа внешних сил по повороту диполя на бесконечно малый угол da
равна изменению потенциальной энергии диполя
dA dW M d a pE sin ad a.
Тогда потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна
W pE cos a pE.
Минимальная энергия будет у диполя при ориентации по направлению
поля, максимальная – при ориентации в сторону, противоположную полю
и нулевая при перпендикулярной ориентации.
Диполь в неоднородном электростатическом поле
В неоднородном электрическом поле напряженность E E( x) не будет
постоянной, поэтому силы, действующие на каждый заряд, будут разными
по величине. Изменение напряженности поля (рис. 28) DE равно
DE
E
cos a.
x
Суммарная сила, действующая на диполь, равна

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

F2 F1 qDE q
E
cos a.
x
Диполь втягивается в область более сильного поля, если угол a - острый и
выталкивается из нее, если он тупой.
Рис.28
Диэлектрики в электрическом поле
Все тела состоят из атомов и молекул, содержащих положительно
заряженные ядра и отрицательно заряженные электроны. Заряды, входящие в состав молекул у диэлектриков жестко связаны между собой, поэтому они называются связанными. Внутри или на поверхности диэлектрика могут находиться другие заряды, не имеющие к нему отношения. Они
называются сторонними или свободными. Введем радиус-векторы
центров положительных и отрицательных зарядов атомов или молекул:

6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

q r
r
q
i i
i
i
i
и
q r
r
.
q
i i
i
i
i
Если центры положительных и отрицательных зарядов совпадают, то
такие молекулы в отсутствие внешнего поля не обладают дипольным
моментом и называются неполярными. Если же центры положительных и
отрица-тельных зарядов не совпадают, то такие молекулы в отсутствии
внешнего поля обладают дипольным моментом и называются полярными.
Дипольный момент полярных молекул равен
p q q( r r ) qi ri qi ri .
i
i
Примеры неполярных молекул: N2,O 2,H 2,CO 2,CH 4,CCl 2, примеры
полярных молекул: H 2O, CO, SO 2, H S, NH 3, нитробензол, эфиры, органические кислоты. Ионные кристаллы NaCl,KCl,KBr представляют собой
кристаллические решетки, которые под действием поля раздвигаются.
Под действием внешнего поля происходит поляризация неполярных молекул (смещение в пределах одной молекулы положительных зарядов по полю, а отрицательных против поля). В результате у неполярной молекулы

7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

образуется дипольный момент, ориентированный по направлению поля.
Полярные молекулы, расположенные в отсутствии внешнего поля
хаотично, под действием внешнего поля ориентируются по полю как
жесткие диполи (неполярные – как упругие диполи).
И у полярных и у неполярных диэлектриков под действием внешнего поля
на одной поверхности образуется отрицательный заряд, а на другой
положительный заряд. Внутри своего объема диэлектрик остается
незаряженным.
Поляризация диэлектриков
Электрически нейтральный диэлектрик при включении внешнего поля
поляризуется. Этот процесс характеризуется дипольным моментом единицы объема диэлектрика. Введем вектор поляризованности
p
i
P DV ,i .
DV
Его размерность К л м2 . Для однородных диэлектриков (кроме сегнетоэлектриков) вектор поляризованности связан с вектором напряженности элек

8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

трического поля (при не очень больших E ) следующим образом:P 0 Eæ E,
где æ- диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.
Возьмем плоскопараллельную пластину однородного изотропного диэлектрика, помещенную во внешнее электрическое поле под углом a .
Выделим в пластине цилиндрический объем с осью параллельной внешне-
Рис. 29
му полю (рис. 29). Его объем равен DV DS cosa и обладает электрическим моментом PDV PDS cosa.
С другой стороны, этот объем есть диполь с зарядами на поверхности
пластины, равными q ' ' DS и q ' ' DS. Его электрический момент
равен p q ' ' DS . Приравнивая это значение электрического момента
к выражению, полученному с помощью вектора поляризованности, будем
иметь PDS cosa ' DS , откуда ' P cos a Pn , где Pn - нормальная
составляющая вектора поляризации. В процессе поляризации электричес-

9. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

ки нейтральный диэлектрик заряжается по поверхности зарядом
q ' ' dS Pn dS,
а внутри диэлектрика образуется охватываемый этой поверхностью заряд
противоположного знака
q ' охв Pn dS PdS.
Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике.
Микроскопическое электрическое поле в диэлектрике сильно меняется в
пределах межмолекулярных расстояний. Действие сил этого
поля на макроскопические тела определяется усредненным значением
микроскопического поля, не учитывающим эти изменения.
Макроскопическое поле E в диэлектрике складывается из поля E0
сторонних (свободных) зарядов и поля E ' связанных зарядов
.
E E0 E '.

10. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

На них начинаются или заканчиваются линии напряженности электрического поля E '.
Запишем теорему Гаусса для макроскопического поля в диэлектрике с
напряженностью E для некоторой замкнутой поверхности S :
EdS
1
( qi q ' охвi ) ,
0 i
i
где qi - сумма свободных зарядов, создающих поле E0 , а q ' охвi i
i
сумма связанных зарядов, создающих поле E ' внутри объема диэлектрика, ограниченного выбранной замкнутой поверхностью S . Последняя
сумма равна q ' охвi q ' охв PdS , тогда теорема Гаусса для
i
диэлектрика примет
вид
S ( 0 E P) dS i qi .
.
Удобно ввести величину электрического смещения или индукции:
D 0 E P 0 E 0æ E = 0 (1+ æ) E 0 E,
которая является непрерывной при переходе через границу двух диэлектриков. Окончательно получим D dS qi. Поток вектора смещения
i
S
через замкнутую поверхность равен
сумме
зарядов внутри объема,
ограниченного этой поверхностью.
S

11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Примеры решения задач
Задача 24. Диполь с электрическим моментом 20 нКл∙м свободно
установился в однородном электрическом поле с напряженностью 100
кВ/м. Найдите работу, необходимую для поворота диполя на 1800 .
Решение. На диполь в однородном электрическом поле действует
момент сил M, модуль которого равен M pE sin a . Момент сил равен
нулю, когда a=0 и a=1800. В первом случае диполь будет находиться в
положении устойчивого равновесия (свободно установился в электрическом поле), во втором – в положении неустойчивого равновесия. Начальная
энергия диполя в электрическом поле равна W1 pE cos 0 pE, а
конечная W2 pE cos180 pE.
Работа A12 W2 W1 2pE 4 мДж.
Задача 25. Величина поляризованности в диэлектрике составляет
35,4 нКл/м2, а напряженность электрического поля в нем равна 1 кВ/м.
Найдите диэлектрическую проницаемость этого диэлектрика.
Решение. Поляризованность диэлектрике равна P 0æE .
Диэлектрическая проницаемость 1 æ = 1 + P 0 E 5.