Лекция 4 (часть первая)
Реализуемые компетенции
Цель лекции
План лекции
График стационарного ряда с сезонностью (без тренда и с аддитивной сезонностью)
Метод постоянной средней
Метод постоянной средней
Пример метода постоянной средней
Пример метода постоянной средней
Пример представления индексов сезонности
Пример представления индексов сезонности
Тип ряда для использования метода простого экспоненциального сглаживания
2 Понятие экспоненциальной средней
2 Понятие экспоненциальной средней
2 Понятие экспоненциальной средней
2 Понятие экспоненциальной средней
3 Математическое ожидание и дисперсия сглаженного ряда
3 Математическое ожидание и дисперсия сглаженного ряда
3 Математическое ожидание и дисперсия сглаженного ряда
4 Выбор значения параметра адаптации
4 Выбор значения параметра адаптации
4 Выбор значения параметра адаптации
4 Выбор значения параметра адаптации Выбор параметра сглаживания в зависимости от средней квадратической ошибки прогноза
5 Выбор начальных условий сглаживания
5 Выбор начальных условий сглаживания
5 Выбор начальных условий сглаживания
Экспоненциальное сглаживание в MS Excel
Экспоненциальное сглаживание в MS Excel
Экспоненциальное сглаживание в MS Excel
Экспоненциальное сглаживание в Gretl
Экспоненциальное сглаживание в Gretl
Экспоненциальное сглаживание в Gretl
Экспоненциальное сглаживание в Gretl
Задание на практическое занятие
Литература к лекции
1.16M
Категория: МатематикаМатематика

Сезонная декомпозиция и рекуррентное прогнозирование стационарных временных рядов. Лекция 4 (часть 1)

1. Лекция 4 (часть первая)

Сезонная декомпозиция и
рекуррентное
прогнозирование
стационарных временных
рядов

2. Реализуемые компетенции

ОПК-1 готовностью к самостоятельной работе
ОПК-2 способностью использовать современные математические методы и
современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии
программирования
ПК-1 способностью использовать стандартные пакеты прикладных программ для
решения практических задач на электронных вычислительных машинах, отлаживать,
тестировать прикладное программное обеспечение
ПК-9 способностью выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в
ходе профессиональной деятельности, готовностью использовать для их решения
соответствующий естественнонаучный аппарат
ПК-10 готовностью применять математический аппарат для решения поставленных
задач, способностью применить соответствующую процессу математическую модель и
проверить ее адекватность, провести анализ результатов моделирования, принять
решение на основе полученных результатов
ПК-11 готовностью применять знания и навыки управления информацией
ПК-12 способностью самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных наук
2

3. Цель лекции

Цель лекции - формирование теоретических
знаний о моделях стационарных одномерных
временных рядов, позволяющих прогнозировать
социально-экономические явления и процессы на
краткосрочную
перспективу,
а
также
формирование навыков реализации указанных
моделей и методов в пакетах прикладных
программ
3

4. План лекции

1. Метод
постоянной
средней
сезонной
декомпозиции стационарных временных
рядов
2. Понятие экспоненциальной средней
3. Математическое ожидание и дисперсия
сглаженного ряда
4. Выбор значения параметра адаптации
5. Выбор начальных условий сглаживания
4

5. График стационарного ряда с сезонностью (без тренда и с аддитивной сезонностью)

3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
1
4
7
10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46
5

6. Метод постоянной средней

Метод постоянной средней применяется для расчета сезонных
индексов при отсутствии тенденции во временном ряду, то есть для рядов,
уровни которых можно представить как:
t vt t
Данный метод используется только при аддитивной сезонности. На
первом этапе рассчитывается значение выборочной средней y . На втором
этапе находят отношения между уровнями временного ряда и значением
выборочной средней:
xt
yt
y
(1)
6

7. Метод постоянной средней

На третьем этапе рассчитывают показатели (индексы) сезонности как
среднее для одноименных периодов j, j=1,…,k; k=4 для квартальных данных,
k=12 для помесячных данных. Другими словами временной ряд длиной
N=m*k, где m-число лет.
Тогда сезонный индекс для j-ого сезона
m
vˆ j
x
i 0
j ik
m
,
(2)
j=1,…,k
Прогнозное значение для временного ряда:
yˆ N L у * vˆ j ,
(3)
где N+L соответствует периоду j.
7

8. Пример метода постоянной средней

Имеются данные по объему продаж газированных напитков магазина
за период с января 2009 по март 2014 года. Исследование показало
отсутствие тренда в ряду динамики и наличие сезонности, а среднегодовой
объем продаж напитков составил 400 тыс.руб. Оценки показателей
сезонности представлены в таблице.
Таблица 1 – Индексы сезонности
№ месяца, 1
j
Сезонный 0,5
индекс, vj
2
3
4
5
0,4
0,6 0,8 1,0
6
7
8
9
10
11
12
1,4
2,1
2,2
1,2
0,8
0,4
0,6
Найдем прогноз на апрель- июнь 2014 года.
8

9. Пример метода постоянной средней

Решение.
Длина
временного
ряда
N=5*12+3=63.
Прогноз
осуществляется на периоды 64,65,66 с номерами месяцев (j) 4,5,6.
yˆ 64 400 * v4 400 * 0,8 320 тыс.руб.
yˆ 65 400 * v5 400 *1 400 тыс.руб.
yˆ 66 400 * v6 400 *1,4 560 тыс.руб.
Домашнее задание. Записать алгоритм метода постоянной средней с
использованием сезонных показателей.
9

10. Пример представления индексов сезонности

2,5
2
1,5
1
0,5
декабрь
ноябрь
октябрь
сентябрь
август
июль
июнь
май
апрель
март
февраль
январь
0
Рисунок 1 – Графическое представление индексов сезонности в
прямоугольных координатах.
10

11. Пример представления индексов сезонности

декабрь
январь
2,5
2
февраль
1,5
ноябрь
март
1
0,5
октябрь
0
апрель
сентябрь
май
август
июнь
июль
Рисунок
2
-
Изображение
индексов
сезонности
в
полярных
координатах
11

12. Тип ряда для использования метода простого экспоненциального сглаживания

Для рядов без тренда и без сезонности:
t a0 t
а0 – константа
t – случайные отклонения - «белый шум»
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
12

13. 2 Понятие экспоненциальной средней

Сущность метода заключается в последовательном использовании
вычислительного алгоритма:
S t ( y) y t (1 )S t 1 ( y) = y t St 1 ( у)
(4)
где S t - значение экспоненциальной средней;
- параметр сглаживания (адаптации), 0< <1. На рисунке 1
продемонстрирована суть экспоненциального сглаживания при разных
;
- параметр затухания.
13

14. 2 Понятие экспоненциальной средней

yt
St ( y)
yt
St ( y) y *
y *t 1 St 1 ( y)
t-1
0 1 t
t
Рисунок 1 – Влияние выбора на адаптацию
(близость) сглаженного значения к наблюдаемому
14

15. 2 Понятие экспоненциальной средней

Распишем (4) в виде:
St ( y) y t (1 )St 1 ( y) (1а)
St -1 ( y) y t 1 (1 )St 2 ( y) (1б)
St -2 ( y) y t 2 (1 )St 3 ( y) (1в)
St ( y) yt (1 )St 1 ( y) yt yt 1 2St 2 ( y)
yt yt 1 2 yt 2 3St 3 ( y) ...
(5)
15

16. 2 Понятие экспоненциальной средней

Тогда:
t
St ( y ) i y t i
(5а)
i 0
Таким образом, величина St ( у) - представляет собой взвешенную
сумму всех членов ряда с весами i , где i возрастает по мере старения
информации, другими словами отдельных уровней ряда убывают по
мере их удаления в прошлое в соответствии с показательной
закономерностью (в зависимости от возраста наблюдений).
16

17. 3 Математическое ожидание и дисперсия сглаженного ряда

Пусть рассматривается ряд динамики вида:
t a0 t
а0 – константа
t – случайные отклонения - «белый шум», то есть
M ( t ) 0;
D( t ) const 2 ;
cov( t t ) 0, 0.
17

18. 3 Математическое ожидание и дисперсия сглаженного ряда

Применим процедуру экспоненциального сглаживания.
t
t
S t ( y ) yt i i (a0 t i ) a0
i
i 0
i 0
i
1
(1 )i геом.прогр.
i t i
(6)
t
a 0 i t i
i 0
18

19. 3 Математическое ожидание и дисперсия сглаженного ряда

M St ( y) М( a 0 i t i ) а 0
t
то есть математическое ожидание
i 0
сглаженного ряда равно математическому ожиданию исходного ряда
динамики. Найдем дисперсию сглаженного ряда:
t
D(St ( y)) M(St a 0 ) M (a0 i t i a0 ) 2
2
i 0
2 2
2 2
M( t i )
2.
2
1 1 2
1
i 0
i 0
t
t
i
2
2
2i
2
(7)
2
Таким образом, сглаженный ряд имеет то же математическое ожидание, что
и исходный ряд, но меньшую дисперсию – уменьшение дисперсии в
2
раза.
19

20. 4 Выбор значения параметра адаптации

Если стремится к 1 – это означает, что при прогнозе в основном
учитывается влияние только последних уровней временного ряда.
Если стремится к 0 – это означает, что при прогнозе учитывается
влияние прошлых уровней временного ряда.
Если =0 – отсутствие адаптации, полная фильтрация.
Если =1 – «наивная» модель, согласно которой прогноз в каждый
момент времени равен начальному уровню.
20

21. 4 Выбор значения параметра адаптации

Однозначного
параметра
критерия
сглаживания
выбора
компромиссного
значения
нет.
Автор
простого
метода
экспоненциального сглаживания Р.Г. Браун предложил следующую
формулу расчета .
=2/(N+1)
(8)
где N - число уровней временного ряда, вошедших в интервал
сглаживания.
В литературе иногда рекомендуется брать в пределах от 0,1 до
0,3 по умолчанию. Однако, наилучшее значения в общем случае
должно зависеть от срока прогнозирования.
21

22. 4 Выбор значения параметра адаптации

Возраст текущего наблюдения
равен
0, возраст предыдущего
наблюдения равен 1 и т.д. Средний возраст – это сумма взвешенных
возрастов данных, использованных для подсчета сглаженной величины.
Причем возраста имеют те же веса, что и соответствующая информация.
Средний возраст информации равен:
k 0 1 2 ... i i i i 1 (признаки сходимости рядов )
2
i 1
1
1
i
i 0
1
(9)
Таким образом, чем меньше , тем больше средний возраст
информации. Для конъюнктурных прогнозов значение , как правило, надо
брать большим, а для более долгосрочных – малым.
22

23. 4 Выбор значения параметра адаптации Выбор параметра сглаживания в зависимости от средней квадратической ошибки прогноза

В качестве оптимального значения
выбирается то значение, при котором получена наименьшая средняя квадратическая ошибка прогноза
23

24. 5 Выбор начальных условий сглаживания

Прежде чем приступать к определению экспоненциальных средних,
необходимо, кроме параметра определить St -1 ( y) (при t=1 необходимо
определить S0 ( y) ), то есть возникает проблема определения начальных
условий.
S1 ( y) y1 (1 )S0 ( y)
Таким
образом,
прогнозирование
методом
простого
экспоненциального сглаживания может быть реализовано в двух возможных
вариантах:
- начальные условия известны;
- начальные условия неизвестны.
24

25. 5 Выбор начальных условий сглаживания

Начальные условия известны. Возможны два случая реализации
этого варианта:
- в качестве начального условия S0 может быть использована средняя
арифметическая, определенная по всем значениям уровней исходного
временного ряда. Использование средней арифметической возможно, если
есть данные о развитии изучаемого социально-экономического явления в
прошлом.
- в качестве начального условия возможно использование первого
уровня исходного временного ряда. При этом вес данного уровня будет
уменьшаться по мере скольжения по уровням исходного временного ряда от
уровня к уровню, а, следовательно, будет уменьшаться влияние каждого
следующего уровня на величину экспоненциальной средней.
25

26. 5 Выбор начальных условий сглаживания

Начальные условия неизвестны. Они могут быть определены по
формулам, разработанным Брауном (см. Учебник Лукашин. Адаптивные
методы краткосрочного прогнозирования).
Прогнозная модель имеет вид:
x̂ (t ) â 0, t
Средством
экспоненциальная
оценки
единственного
средняя
â 0, t S t .
параметра
Таким
модели
образом,
служит
свойства
экспоненциальной средней распространяются на прогнозную модель. В
частности если S t -1 ( y) рассматривать как прогноз на 1 шаг вперед, то
разность yt и S t -1 ( y) есть погрешность этого прогноза, а новый прогноз
получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его
ошибки.
26

27. Экспоненциальное сглаживание в MS Excel

27

28. Экспоненциальное сглаживание в MS Excel

28

29. Экспоненциальное сглаживание в MS Excel

29

30. Экспоненциальное сглаживание в Gretl

30

31. Экспоненциальное сглаживание в Gretl

31

32. Экспоненциальное сглаживание в Gretl

32

33. Экспоненциальное сглаживание в Gretl

33

34. Задание на практическое занятие

1. Опрос по лекции
2. Рассчитать во сколько раз уменьшится
дисперсия сглаженного ряда для значения
параметра адаптации 0,25; 0,5; 0,8; 0,9.
3. Найти средний возраст данных при
параметре затухания равным 0,7; 0,2; 0,9.
34

35. Литература к лекции

1. Дуброва, Т. А. Статистические методы
прогнозирования[Текст] : учебное
пособие / Т. А. Дуброва. - Москва :
ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 206 с.
2. Лукашин, Ю. П. Адаптивные методы
краткосрочного прогнозирования
временных рядов [Текст] : учеб. пособие
для вузов / Ю. П. Лукашин. - М. :
Финансы и статистика, 2003. - 416 с.
35
English     Русский Правила