Лекция 3
План лекции
Реализуемые компетенции
1. Этапы предварительного анализа стационарных временных рядов
2. Компоненты временных рядов
Пример временного ряда с трендом и аддитивной сезонностью
Периодичность: цикличность, сезонность
Остаточная компонента (белый шум)
Виды взаимодействия компонент временного ряда
3. Описательные характеристики стационарных временных рядов
4. Выборочные автокорреляционная и частная автокорреляционная функции стационарных эргодических временных рядов
Выборочные автокорреляционная и частная автокорреляционная функции стационарных эргодических временных рядов
Оценки АКФ и ЧАКФ ряда динамики авиаперевозок пассажиров
Оценки АКФ и ЧАКФ ряда первых разностей динамики авиаперевозок пассажиров
5. Параметрические тесты проверки гипотезы об отсутствии тренда
Критерий Стьюдента проверки гипотезы об отсутствии тренда среднего
Критерий Стьюдента проверки гипотезы об отсутствии тренда среднего
Критерий Стьюдента проверки гипотезы об отсутствии тренда среднего
Критерий Фишера (отношение дисперсий)
Критерий Кокрена
Критерий Кокрена
6. Непараметрические тесты проверки гипотезы об отсутствии тренда
Тест Сиджела-Тьюки
Тест Сиджела-Тьюки
Тест Сиджела-Тьюки
Критерий Фостера-Стюарта
Критерий Фостера-Стюарта
Критерий, основанный на ранговой корреляции
Критерий серий, основанный на медиане выборки
Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий
Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий
7. Тестирование сезонности стационарных временных рядов
Критерий «пиков и ям» проверки гипотезы об отсутствии периодичности
Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа
Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа
Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа
Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа
Литература к лекции
1.23M
Категория: МатематикаМатематика

Предварительный анализ стационарных временных рядов. Лекция 3

1. Лекция 3

Предварительный анализ
стационарных временных рядов

2. План лекции

1. Этапы предварительного анализа стационарных
временных рядов
2. Компоненты временных рядов
3. Описательные характеристики стационарных
временных рядов
4. АКФ и ЧАКФ стационарных временных рядов
5. Параметрические критерии отсутствия тренда
6. Непараметрические критерии отсутствия тренда
7. Критерии проверки отсутствия сезонности
2

3. Реализуемые компетенции

ПК*-1 Способен переходить от содержательной постановки проблемы к математически
формализованному описанию, проводить исследования на основе построенной модели,
содержательно анализировать результаты; разрабатывать на их основе решения:
ПК*-1-В-2 Применяет математический инструментарий для описания социальных,
экологических, экономических процессов на макро и/или микро уровне в форме
математических моделей, их последующего исследования и выработки решений.
ПК*-5 Способен использовать знания современных языков программирования,
стандартных пакетов прикладных программ, информационно телекоммуникационной
сети "Интернет", инструментальных средств анализа данных при решении практических
задач управления информацией:
ПК*-5-В-3
Применяет
знания
стандартных
ППП,
информационно телекоммуникационных технологий, сети "Интернет" для поиска и
систематизации информации, анализа данных и моделирования, оформления
выполненных работ и представления их в виде презентаций, докладов
3

4. 1. Этапы предварительного анализа стационарных временных рядов

1.
2.
3.
4.
5.
Построение графика временного ряда
Проверка гипотезы об отсутствии тренда
Расчет описательных характеристик
Оценка АКФ и ЧАКФ
Проверка гипотезы об отсутствии
сезонности
4

5. 2. Компоненты временных рядов

Пусть рассматривается стационарный временной ряд 1, N 1 ,..., N
(ему соответствует y1, N у1 ,..., у N - апостериорный временной ряд). Далее в
зависимости от целей термин «временной ряд» будет использоваться и по
отношению к собственно случайной последовательности 1 ,..., N и к ее
реализации у1 ,..., у N .
Принято считать, что уровень временного ряда t , t 1,..., N можно
разложить на компоненты: тренд « f t », цикличность « сt », сезонность « vt »,
белый шум « t ».
5

6. Пример временного ряда с трендом и аддитивной сезонностью

300
250
200
150
100
50
0
1
4
7
10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46
t
6

7. Периодичность: цикличность, сезонность

Под цикличностью понимают периодическое колебание, с периодом колебания,
превышающим один год.
В экономике известны циклы длиной 3-4 года (Китчина), 7-11 лет (Жюгляра), 1525 лет (Кузнеца), 45-60 (Кондратьева), пример последних представлен на
рисунке
Под сезонностью понимают периодическое колебание, с периодом колебания
равным одному году
7

8. Остаточная компонента (белый шум)

Белый шум - это стационарный (в узком смысле) нормально
распределенный ( t N (0, 2 ) ) случайный процесс:
M ( t ) 0; D( t ) const 2 ; cov( t t ) 0, 0 (уровни (элементы) белого
шума независимы между собой).
Partial A utoc orrelation Func tion
Partial A utoc orrelation Func tion
V A R1 : A RIMA (1,0,0)(1,0,0) res iduals (Interv ention analy s i
Corr.
S.E.
1
+,168
,1348
2
+,117
,1348
3
-,094
,1348
4
+,197
,1348
5
-,072
,1348
6
-,233
,1348
7
-,098
,1348
8
-,168
,1348
9
-,011
10
Lag
Corr.
S.E.
1
+,168
,1348
2
+,117
,1348
3
-,094
,1348
4
+,197
,1348
5
-,072
,1348
6
-,233
,1348
7
-,098
,1348
8
-,168
,1348
,1348
9
-,011
,1348
+,038
,1348
10
+,038
,1348
11
+,147
,1348
11
+,147
,1348
12
+,178
,1348
12
+,178
,1348
13
+,061
,1348
13
+,061
,1348
14
-,230
,1348
14
-,230
,1348
15
-,083
,1348
15
-,083
,1348
V ariable: V ar2, Dis tribution: Normal
Chi-S quare tes t = 5,58350, df = 2 (adjus ted) , p = 0,06131
30
25
N o . o f o b s e r v a ti o n s
Lag
V A R1 : A RIMA (1,0,0)(1,0,0) res iduals (Interv ention analy s i
20
15
10
5
0
-2,6667E8
0
-1,0
0,0
0,5
1,0
Conf . Limit
-1,0
-8,8889E7
0
8,8889E7
1,7778E8
Category (upper limits )
0
-0,5
-1,7778E8
-0,5
0,0
0,5
1,0
Conf . Limit
2,6667E8
3,5556E8
4,4444E8
8
5,3333E8

9. Виды взаимодействия компонент временного ряда

Априорная модель временного ряда может быть представлена в виде
суммы (теоретически суммы всех компонент) соответствующих компонент
(аддитивный тип),
t f t ct vt t
(1)
в виде произведения (мультипликативный)
t f t * ct * vt * t
(2)
или может быть смешанного типа, например:
t f t * ct * vt t .
(3)
Модель стационарного временного ряда может быть представлена как:
t vt t .
(4)
9

10. 3. Описательные характеристики стационарных временных рядов

Для стационарных эргодических временных рядов рассчитываются
основные описательные характеристики, такие как оценка среднего, оценка
дисперсии, оценка моды, медианы и др.
Оценка среднего стационарного эргодического временного ряда
определяется по формуле:
N
yt
y t 1 ,
N
(5)
где y t - уровни временного ряда;
N – длина временного ряда (объем выборки).
Оценка дисперсии стационарных эргодических временных рядов имеет
вид:
N
( y y)
S t2 t 1
2
t
N
.
(6)
10

11. 4. Выборочные автокорреляционная и частная автокорреляционная функции стационарных эргодических временных рядов

По
реализации
случайной
выборки
найдена
оценка
среднего
временного ряда y . Тогда оценка R̂ ( ) r( ) - значение выборочной
автокорреляции порядка , которая определяется формулой:
N
y t y y t y
r̂ ( ) t 1 N
,
(7)
( y t y) 2
t 1
11

12. Выборочные автокорреляционная и частная автокорреляционная функции стационарных эргодических временных рядов

Оценка
частного
коэффициента
автокорреляции
порядка
стационарного временного ряда определяется по формуле:
Rˆ1,1
rˆчастн ( )
Rˆ Rˆ
,
(8)
11 1 ,1
где Rˆ i ,i - алгебраические дополнения матрицы R̂ :
r̂ 1
1
1
r̂ 1

...
...
r̂ r̂ 1
... r̂
... r̂ 1
...
... ,
...
1
(9)
______
где r̂ ( j ) – оценка коэффициента автокорреляции j-го порядка, j 1, .
12

13. Оценки АКФ и ЧАКФ ряда динамики авиаперевозок пассажиров

13

14. Оценки АКФ и ЧАКФ ряда первых разностей динамики авиаперевозок пассажиров

14

15. 5. Параметрические тесты проверки гипотезы об отсутствии тренда

• Отсутствие тренда сренднего: критерий
Стьюдента, критерий Фишера
(использование средней оценки дисперсии
по подпериодам), Критерий Аббе-Линника,
Кокса-Стюарта
• Отсутствие тренда дисперсии: критерий
Фишера (отношение оценок дисперсий),
критерий Кокрена, критерий Бартлетта
15

16. Критерий Стьюдента проверки гипотезы об отсутствии тренда среднего

Временной ряд y1, N длиной N разбивается на две части, не обязательно
одинаковые по количеству содержащихся в них значений, с количеством
наблюдений N1 ( t 1,2,...N1 ) и N 2 ( t N1 1,...N) соответственно.
Выдвигается нулевая гипотеза:
Н 0 : М 1,i М 2, j , i 1,..., N1, j N1 1,..., N
(постоянство
математического ожидания или отсутствие тренда среднего)
Н1 : i, j : М 1,i М 1, j
16

17. Критерий Стьюдента проверки гипотезы об отсутствии тренда среднего

Для каждой из частей определяются оценки y1 и S 12 , y 2 и S 22 - среднего и
дисперсии соответственно
а) дисперсии на участках не равны между собой. Если
нулевая
гипотеза верна, то статистика:
t( 1, N )
y( 1, N1 ) y( 2 ,N2 )
S
2
( 1, N1 )
N1
(значение статистики
tнабл t( у1,N )
S
2
( 2 , N 2 )
N (0,1)
(10)
N2
y1 y2
S12 S22 .
N1 N 2
17

18. Критерий Стьюдента проверки гипотезы об отсутствии тренда среднего

Дисперсии на участках равны между собой 12 22 2 .
Статистика находится по формуле
t( 1, N )
(t
y1 y2
S
y( 1, N1 ) y( 1, N1 )
S ( 1, N )
N1 N 2
St ( N1 N 2 2) ,
N1 N 2
(11)
N1 N 2
)
N1 N 2
18

19. Критерий Фишера (отношение дисперсий)

Предварительно производят разбиение исходного временного ряда на 2
части.
Н0 : 1 2
Н1 : 1 2
Статистика критерия Фишера определяется по следующей формуле:
F( 1, N )
max( S12( 1, N ) ; S 22( 1, N ) )
min( S12( 1, N ) ; S 22( 1, N ) )
F ( ; 1 ; 2 ) ,
(12)
где S12 и S 22 - несмещенные оценки дисперсии временного ряда на первой и
второй
частях
соответственно
с
числом
измерений
и
N1
N 2 . 1 N1 1 2 N 2 1 .
19

20. Критерий Кокрена

применяется в предположении, что объемы этих частей равны между
собой, т.е. N1 N 2 ...N n n .
Н 0 : 1 ... n
Н 1 : 1 ... n
Статистика критерия определяется по следующей формуле:
2
/( S12 S 22 ... S n2 ) ), (13)
K S 2max /( S 21 S 22 ... S 2n ) ( K набл S max
2
max ( S k2 ) j 1,2...n
где S max
j
20

21. Критерий Кокрена

Критическое значение находят выражая его через табличное значение,
найденное по распределению Фишера-Снедекора по формуле:
K крит
где
Fkp F 1 (1
Fкр
(n 1) Fкр
,
(14)
, 1 , 2 ) для заданного уровня значимости , числа степеней
n
свободы 1 n 1, 2 (n 1) 1 . Если K наб K крит , то нулевая гипотеза
отвергается, в противном случае принимается.
21

22. 6. Непараметрические тесты проверки гипотезы об отсутствии тренда

• Проверка отсутствия тренда среднего: Тест МаннаУитни, критерий Вальда-Вольфовитца, критерий
Шахнесси, Критерий серий, основанный на медиане
выборки, Критерий «восходящих» и «нисходящих»
серий, Критерий Фостера-Стюарта, критерий,
основанный на ранговой корреляции, критерий
Бартелса, Критерий Рамачандрана-Ранганатана,
критерий случайности Олмстеда, критерий инверсий,
Критерий кумулятивной суммы, знаково-ранговый
критерий Холина.
• Проверка отсутствия тренда дисперсии: критерий
Сиджела-Тьюки, Критерий Фостера-Стюарта
22

23. Тест Сиджела-Тьюки

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тренда среднего в ряду
динамики:
Н 0 : М 1,i М 2, j , i 1,..., N1, j N1 1,..., N
Н1 : i, j : М 1,i М 1, j
Алгоритм проверки по критерию Сиджела – Тьюки:
1.
Исходный временной ряд уt, t=1, 2, …, N центрируется.
2.
Временной ряд длиной N делится на две части (желательно
равные), так что на первой из них располагаются элементы первой
центрированной совокупности у1, а на второй – элементы совокупности – у2.
23

24. Тест Сиджела-Тьюки

3. Элементы из двух центрированных совокупностей у1 и у2
объединяются
в
одной
таблице
с
запоминанием
«своей
совокупности» согласно следующему правилу ранжирования. Ранг 1
приписывается наименьшему отрицательному значению, которое
располагается
на
первом
месте
вверху
таблицы.
Ранг
2
приписывается наибольшему положительному значению, которое
располагается на последнем месте в низу таблицы. Ранг 3
присваивается значению, следующему за наименьшим, которое
располагается на втором месте в верху таблицы. Ранг 4 – значению,
следующему за наибольшим, которое располагается в таблице на
втором месте снизу. Ранг 5 приписывается третьему по порядку
наименьшему значению. Оно располагается в таблице на третьем
месте сверху. Ранг 6 третьему по порядку наибольшему значению,
которое располагается на третьем месте таблицы снизу и т.д.
24

25. Тест Сиджела-Тьюки

4. Строится статистика z:
z ( 1, N )
где
N1+N2

R1

сумма
количество
R1
рангов
элементов
N1 ( N1 N 2 1) 1
2
2 N (0,1) ,
N1 ( N1 N 2 1)
12
элементов
первой
в
и
первой
(15)
совокупности
второй
у 1,
совокупности
соответственно.
25

26. Критерий Фостера-Стюарта

Критерий одновременно проверяет отсутствие тренда среднего и
дисперсии. Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими.
При этом определяются вспомогательные характеристики:
1, у у t 1 , у t 2 ,..., у1
mt t
0,иначе
и
1, у уt 1 , уt 2 ,..., у1
lt t
0,иначе
Вычисляется величина разности d t mt lt , t 2, N и величина
N
N
t 2
t 2
st mt lt , t 2, N . Далее рассчитываются величины d d t и S S t .
26

27. Критерий Фостера-Стюарта

Показатель S применяется для обнаружения тенденции в дисперсиях,
d- для обнаружения тенденции в средней. Для проверки нулевой гипотезы
используют статистику:
t
D
f
(16)
или
t=
S 1, N f 2
L
S f2
),
St ( N 1) ( t набл
L
(17)
где L 2 ln N 3,4253 , f 2 ln N 0,8456 .
Формулы для f и L применимы при N>50
27

28. Критерий, основанный на ранговой корреляции

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии тренда:
Н0: 0
Н1 0
Рассчитывается коэффициент ранговой корреляции Спирмэна:
6Q
,
3
N N
(18)
Q ( X t t) 2 .
(19)
ˆ 1
где X t - ранг y t ,
N
t 1
Для проверки гипотезы используется статистика:
t ( 1,n )
x , ( 1,n )
2
1 x , ( 1,n )
N 2 St ( N 2) ,
(20)
28

29. Критерий серий, основанный на медиане выборки

______
H0: M( t )=const, t 1, N
H1: M( t ) const
Этапы реализации данного метода:
1.
Серии «+» и «-» формируются при сравнении значений
исходного ряда с медианным значением.
2.
Определяется
длина наибольшей серии k max N и число
серий V N .
3.
Рассматриваются неравенства:
k max N 3,3 lg( N 1)
.
V
N
0
,
5
N
1
1
,
96
N
1
(21)
Если хотя бы одно из неравенств нарушено, то гипотеза об отсутствии
тренда отвергается.
29

30. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий

______
H0: M( t )=const, t 1, N
H1: M( t ) const
Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий реализуется в виде
следующей последовательности шагов:
- Определяется последовательность знаков исходя из следующих
условий:
" " , уt уt 1 0
i
" " , уt уt 1 0
(22)
- подсчитывается N - число серий в совокупности i ,
где под серией понимается подряд идущие «+» или «-»
- определяется продолжительность самой длинной серии max ( N ) :
30

31. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий

проверка гипотез основана на том, что при условии случайности ряда
протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а
общее число серий не должно быть слишком маленьким.
1
16 N 29
]
( N ) [ (2 N 1) 1,96
,
3
90
( N ) ( N )
0
max
(23)
где 0 ( N ) находится по таблице:
N
<26
26-153
153-170
0 (N )
5
6
7
Если не выполняется одно из условий системы (23), следовательно, Н0
отвергается, то есть существует трендовая составляющая.
31

32. 7. Тестирование сезонности стационарных временных рядов

• Построение графика (лишь предположение)
• Анализ выборочных АКФ и ЧАКФ
позволяют сделать лишь предположение о
наличии сезонности
• Применение специальных критериев
32

33. Критерий «пиков и ям» проверки гипотезы об отсутствии периодичности

Н0: отсутствие сезонности
Н1: наличие сезонности
Условимся говорить, что в точке к временной ряд имеет пик, если
одновременно уk-1<уk, уk+1<уk и имеет яму, если значение уk меньше обеих
соседних. Будем говорить, что в точке к – экстремальная точка ряда, если в
этой точке пик или яма. Если в ряду попадается несколько равных значений,
причем все они больше (или, соответственно, меньше) их окружающих, то все
эти точки воспринимаются как одна экстремальная точка
Число экстремальных точек, обозначается через e .
Для проверки нулевой гипотезы строится t- статистика:
t ( 1,N )
3e - 2N 4
10 N (0,1) .
16 N 29
(24)
33

34. Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа

Пусть, например, рассматривается аддитивная модель временного ряда
t f t vt t ,
(25)
где t=1,2,…,N.
Период сезонной составляющей известен и равен m. Тогда исходный
временной ряд можно представить в виде матрицы Y с элементами:
y ij fˆij vˆij zij ,
(26)
где i=1,2,…,n; j=1,2,…,m,
n*m=N, то есть n – число полных фаз сезонной волны.
34

35. Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа

Запишем эту матрицу:
Год
Месяц/квартал
j=1 j=2 j=3 … j=m-1 j=m
i=1
y11
y12
y13 …
y 1m-1
y1m
i=2
y 21
y 22
y 23 …
y 2m-1
y 2m



… …

..
i=n
y n1
y n2
y n3 …
y nm-1
y nm
Для выяснения влияния фактора сезонности на уровни временного ряда
применим однофакторный дисперсионный анализ
35

36. Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа

Н 0 : v1 ... vm (нет влияния сезонности)
Н 1 : i, j : vi v j (есть влияние сезонности)
Критерий Краскала-Уоллиса
Для реализации критерия необходимо от ряда y t перейти к ряду рангов
R t которые записываются в таблицу аналогичной размерности:
Год
Сезон
j=1
j=2
… j=m
i=1
R 11
R 12

R 1m
i=2
R 21 R 22

R 2m



….
..
i=n
R n1 R n2

R nm
36

37. Сведение задачи проверки наличия периодичности к задаче дисперсионного анализа

Рассчитываются средние ранги по каждому столбцу (сезону):
1 n
R * j R ij .
n i 1
(27)
Если влияния сезонного фактора нет, то средние ранги будут мало
отличаться от среднего ранга по всему временному ряду:
R
N 1
.
2
(28)
Строится статистика:
m
12
2
n j R* j R 2 (m 1) .
W( 1, N )
N ( N 1) j 1
(29)
37

38. Литература к лекции

1.
2.
3.
4.
Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика.
Для инженеров и научных работников. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.
Струнов В.И.. О применении критерия Аббе для анализа
независимости рядов измерений, характеризующихся
отличными от нормального законами распределения //
Измерительная техника. 2006. № 8. – С. 13-17.
Тихомиров, Н.П. Эконометрика [Текст] : учеб. для
вузов / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина; Рос. Эконом.
Акад. им. Г.В. Плеханова. -М. : Экзамен, 2003. - 512 с.
Химмельблау, Д. Анализ процессов статистическими
методами. / Д. Химмельблау. – М.: Мир, 1973. – 957
38
English     Русский Правила