Временные ряды и их применение для анализа и прогнозирования

1. Временные ряды и их применение для анализа и прогнозирования

Кабдуллин Азат
Кабдуллин Максат

2. Ряд значений одной и той же переменной, полученных в последовательные моменты (периоды) времени

Временной ряд
Ряд значений одной и той же
переменной, полученных в
последовательные моменты
(периоды) времени

3. График инфляции

4.

5. Продажи мороженого в зависимости от месяца года

6. Объем проданного мороженого

7.

?
Объем продаж за
предыдущие 3 месяца
3000
Март
2 345 тыс.р
2500
Апрель
1 867 тыс. р
2000
2 480 тыс. р
1500
Май
?
?
?
1000
500
Какой объем продаж
следует ожидать в июне ?
0
март
апрель
май
июнь

8. Прогнозирование

Внешние факторы
Внутренние факторы
Процесс
Воздействие множества внешних и внутренних факторов
приводит к изменениям характеристик процесса, которые
можно рассматривать как случайные.
Задача прогнозирования – по имеющимся данным
оценить состояние процесса в будущем.

9. Прогнозируемые показатели

Объем продаж;
Параметры управления запасами;
Объем выпуска продукции;
Объем закупок;
Изменение числа клиентов;
И т.д.

10. Временной ряд -

Временной ряд последовательность упорядоченных во
времени числовых показателей,
характеризующих уровень состояния и
изменения изучаемого явления
Представление временных рядов
Графики
Таблицы
Временной
интервал
Значение
1
12
2
18
3
14
4
16
Значение
20
15
10
1
2
3
4
Время

11. Виды временных рядов

• Стационарные
• Нестационарные
Содержащие тренд
Содержащие сезонную составляющую
Содержащие циклическую составляющую
Стационарный временной ряд
Нестационарный временной
ряд

12. Временной ряд с трендом

Отражает устойчивые средние изменения показателя

13. Временной ряд с сезонной компонентой

Отражает колебания показателя с определенным
периодом

14. Временной ряд с циклической компонентой

Отражает непериодические колебания показателя с
большой амплитудой

15. Прогнозирование для стационарных процессов

На практике для стационарности ряда достаточно
выполнения трех условий:
E[yt] не зависит от t,
При N>30 прогноз оправдается с
вероятностью 0,75. (Для и нормального
D[yt] постоянная,
распределения - с вероятностью 0,95)
Cov[yt,ys] - функция t-s.
E[yt] 2 D(yt )
0,25
0,2
E[yt]
0,15
Прогноз
оправдается с
вероятностью 0
Прогноз
оправдается с
вероятностью
0,89 (0,997)
0,1
0,05
E[yt] 3 D(yt )
0
0
5
10
E[yt]
15
20
25

16. Прогнозирование тенденции изменения показателей

30
25
y = 0,5842x + 13,387
20
Y 15
10
=y(x)-Y
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Х
Тенденцию (тренд) определяет линия, проходящая
максимально близко к точкам временного ряда

17. Типовые функции трендов

• Линейная
• Степенная
• Показательная
y(x) a*x b
y(x) a*x
b
y(x) a*b
x
• Экспоненциальная
• Гиперболическая
• Логарифмическая
y(x) a*ebx
y(x) a b/x
y
(x
)
a
b
*
lg(
x
)

18. Различные виды тренда

Какую линию следует использовать?

19. Критерии оценки прогноза Абсолютные величины

n
i
Средняя ошибка
МЕ
=0
Среднее
абсолютное отклонение
Значение
i 1
n
n
i
MAD
i 1
n
20
n
Среднеквадратичная
ошибка
15
+
i
-
MSE
10
2
i 1
n
n
2
Стандартное отклонение ошибок
1
2
3
i
SDE
Время
i 1
n-1

20.

При использовании
среднеквадратичного
отклонения
функция является гладкой
и допускает аналитическое
исследование
При использовании
абсолютного значения
отклонения первая
производная имеет область
неопределенности , а вторая
равна бесконечности
30
6
25
5
20
4
n
i
Среднеквадратичная ошибка
15
MSE
i 1
n
3
10
n
2
5
2
i
Стандартное отклонение ошибок
1
0
-5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
SDE
0
-10
-1
-15
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
i 1
1
n-1
2
3
4
5

21. Критерии оценки прогноза Абсолютные величины

n
Средняя ошибка
i
МЕ
i 1
n
n
Среднее абсолютное отклонение
i
MAD
i 1
n
n
Среднеквадратичная ошибка
i
MSE
2
i 1
n
n
2
Стандартное отклонение ошибок
Максимальное абсолютное отклонение
i
SDE
i 1
n-1
MAXD
max(|
|)

22. Критерии оценки прогноза Относительные величины

Процентная ошибка
Среднее процентной ошибки
Y
t
y
(
t)
PE
t
100
Y
t
n
PE
i
MPE
i 1
n
Абсолютное среднее процентной ошибки
n
PE
i
MAPE
i 1
n
Максимальная процентная ошибка
MAXPE
max(
PE
i)

23. Резкие колебания показателей

25
Клиенты
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Недели
Построение прогноза с использованием линии тренда
эффективно только при наличии устойчивого и плавного
изменения показателя.
Если временной ряд содержит скачкообразные изменения
показателя, среднее и тренд не обеспечивают получение
достоверного прогноза.
10