Свойства диэлектриков. Тема 2.4

1.

2.4. Свойства диэлектриков
Формулы
Диполь есть система двух точечных электрических зарядов равных по
размеру и противоположных по знаку, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния r от центра диполя до точек наблюдения.
Вектор l, проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду, называется плечом диполя.
Произведение заряда |Q| диполя на его плечо l называется электрическим
моментом диполя:
p = |Q|l.
Напряженность поля диполя
E
p
1 3 cos2 α ,
3
4πε 0εr
здесь р – электрический момент диполя; r – модуль радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует;
α – угол между радиусом-вектором r и плечом l диполя (рис. 9).
Напряженность поля диполя в точке, лежащей на оси диполя (α = 0),
A
2p
E
4πε 0εr 3
r
и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу
диполя, восставленном из его середины (α =
π/2),
p
Q
E
p
.
4πε 0εr 3
α
l
Рис. 4.1
Потенциал поля диполя
φ
p
cos α .
4πε 0εr 2
Потенциал поля диполя в точке, лежащей на оси диполя (α = 0),
Q

2.

φ
p
4πε 0εr 2
и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восставленном из его
середины (α = π/2), φ = 0.
Потенциальная энергия диполя в электростатическом поле
Π = pE = – pEcosα,
здесь α – угол между направлениями векторов р и Е.
Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е
M pE , или M = pEsinα.
В неоднородном электрическом поле кроме механического момента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего
симметрией относительно оси х, сила выражается соотношением
Fx p
E
cos α
x
E
– частная производная напряженности поля, характеризующая сте x
пень неоднородности поля в направлении оси х.
При ( α π 2 ) сила Fх положительна. Это значит, что под действием ее диполь втягивается в область сильного поля.
Поляризованность (при однородной поляризации)
здесь
1 N
P
pi ,
V i 1
здесь pi – электрический момент отдельной (i – й) молекулы (или атома); N –
число молекул, содержащихся в объеме ΔV.
Связь поляризованности с напряженностью Е среднего макроскопического поля в диэлектрике
Р = æε0E,
здесь æ – диэлектрическая восприимчивость; ε0 – электрическая постоянная.
Связь диэлектрической проницаемости ε с диэлектрической восприимчивостью
2

3.

ε=1+æ
Напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике связана с напряженностью Е0 внешнего поля соотношениями
Е = Е0/ε и Е = Е0 – P/ε0.
Напряженность Елок локального поля для неполярных жидкостей и кристаллов кубической сингонии выражается формулами
Елок Е
ε 2
1Р
Е0 .
и Елок
3ε
3 ε0
Индуцированный электрический момент молекулы
р αε 0 Елок ,
здесь α – поляризуемость молекулы (αе + αа, здесь αе – электронная пoляpизyeмость; αа – атомная пoляpизyeмость).
Примеры решения задач
1. Диполь с электрическим моментом р = 2 нКл·м находится в однородном
электрическом поле напряженностью Е = 30 кВ/м. Вектор р составляет угол α0
= 60° с направлением силовых линий поля. Определить произведенную внешними силами работу А поворота диполя на угол β = 30°.
Дано:
р = 2 нКл·м;
Е = 30 кВ/м;
α0 = 60°;
β = 30°;
A–?
Решение:
Из исходного положения (рис.4.2.а) диполь можно повернуть на
угол β = 30° = π/6 двумя способами: или по часовой стрелке до
угла α1 = α0 – β = π/3 – π/6 = π/6 (рис. 4.2.б), или против часовой
стрелки до угла α2 = α0+β = π/3+π/6 = π/2 (рис. 4.2.в).
В первом случае диполь будет
повертываться под действием сил
поля. Следовательно, работа
внешних сил при этом отрицательна. Во втором случае поворот
может быть произведен только
под действием внешних сил, и,
следовательно, работа внешних
сил при этом положительна.
а)
Q
p
в)
б)
β
α0
p
α1
Q
Рис. 4.2
3
β
p
α2

4.

Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислять двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с
помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии
диполя в электрическом поле.
1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол α:
dA = Mdα = pE sinα dα,
а полная работа при повороте на угол от α0 до α
α
α
α0
α0
A pE sin αdα pE sin αdα .
Произведя интегрирование, получим
A pE (cos α cos α 0 ) pE (cos α 0 cos α) .
(4.1)
Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке
А1 рЕ(cos α0 cos α1) 21,9 мкДж,
против часовой стрелки –
А2 рЕ(cos α0 cos α2 ) 30 мкДж.
2-й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энергии
ΔП соотношением A = ΔП = П2 – П1, здесь П1 и П2 – потенциальные энергии
системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой П = – рЕ
cos α,то
A pE(cos α 0 cos α) ,
(4.2)
что совпадает с формулой (4.1), полученной первым способом.
Ответ: A1 = – 21,9 мкДж, A2 = 30 мкДж.
2. В атоме иода, находящемся на расстоянии r = 1 нм от α-частицы, индуцирован электрический момент р = 1,5·10-32 Кл·м. Определите поляризуемость α
атома иода.
Дано:
r = 1 нм;
Решение:
Поляризуемость вычисляем по формуле
4

5.

р = 1,5·10-32 Кл·м;
α–?
α
p
,
ε 0 Елок
(4.3)
здесь p – индуцированный электрический момент атома; Eлок – напряженность
локального поля, в котором этот атом находится.
Это поле создано α-частицей. Напряженность этого поля определяется выражением (напомним, что α-частица состоит из двух протонов и двух нейтронов)
Eлок E
2e
.
4 πε 0 r 2
(4.4)
Подставляем выражение Eлок из формулы (4.4) в формулу (4.3) и находим
2πr 2 p 2π 1 10 18 1,5 10 32
α
5,89 10 31 м3.
19
e
1,6 10
Ответ: α = 5,89·10-31 м3.
3. Металлический шар радиусом R = 5см окружен равномерно слоем фарфора
толщиной d = 2см. Определите поверхностные плотности σ՛1 и σ՛2 связанных зарядов соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд Q шара равен 10нКл.
Дано:
Решение:
R = 5см; Найдем поверхностную плотность связанных зарядов через вектор
d = 2см; поляризации, между которыми существует простая связь:
ε = 5;
σ՛ = P.
(4.5)
σ՛1, σ՛2 – ?
Вектор поляризации связан с вектором напряженности следующим выражением
Р = æε0E = (ε – 1)ε0E.
(4.6)
Вектор напряженности вычислим по формуле для поля заряженного шара
E
1 Q
.
4πε 0ε r 2
Объединяя формулы (4.5) – (4.7) получаем
5
(4.7)

6.

ε 1 Q
.
ε 4πr 2
Проведем вычисления с учетом того, что заряд шара положительный, следовательно, на внутренней поверхности фарфорового слоя связанный заряд будет
отрицательный, а на внешней поверхности – отрицательный.
5 1 10 10 9
1
255 10 9 Кл/м 2 .
2
5 4π 0,05
5 1
10 10 9
1
130 10 9 Кл/м 2 .
2
5 4π 0,05 0,02
Ответ: σ՛1 = – 255 нКл/м2, σ՛2 = 130 нКл/м2.
4. В однородное электростатическое поле напряженностью E0 = 700 В/м, созданным заряженным конденсатором, перпендикулярно полю поместили стеклянную пластинку (ε = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью S = 200 см2. Определите: 1) поверхностную σ՛ плотность связанных зарядов на стекле; 2) поверхностную σ плотность сторонних зарядов на пластине конденсатора; 3) энергию
электростатического поля W, сосредоточенную в пластине.
Дано:
Решение:
E0 = 700 В/м; Найдем поверхностную плотность связанных зарядов по формуd = 1,5 мм;
ле
2
S = 200 см ;
ε = 7;
σ՛ = Р = (ε – 1)ε0E = (ε – 1)ε0E0/ε,
σ՛ = (7 – 1)∙8,85∙10-12∙700/7 = 5,31 нКл/м2,
σ՛, σ, W – ?
здесь P – вектор поляризации; E – напряженность поля в стекле; E0 – напряженность поля в вакууме или в воздухе (для воздуха ε = 1,00025 ≈ 1).
Поверхностная плотность сторонних зарядов на пластине конденсатора
σ = D = ε0εE = ε0E0 = Рε/(ε – 1) = σ՛ε/(ε – 1),
σ = 5,31 нКл/м2∙7/(7 – 1) = 6,195 нКл/м2.
здесь D – вектор электростатической индукции (электрического смещения).
Энергия электростатического поля W, сосредоточенная в пластине
ε 0εЕ 2
ε 0 Е02
8,85 10 12 7002
W
Sd
Sd
200 10 4 1,5 10 3 9,29 10 12 Дж.
2
2ε
2 7
6

7.

Ответ: σ՛ = 5,31 нКл/м2, σ = 6,195 нКл/м2, W = 9,29 пДж.
7