Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Произведения событий

1. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Произведения событий

2. События

Все задачи курса теории вероятностей связаны с
многократным повторением испытаний и фиксацией результата
испытаний – событий.
Основным интуитивным понятием классической теории
вероятностей является случайное событие. События, которые
могут произойти в результате опыта, можно подразделить на
три вида:
• а) достоверное событие – событие, которое всегда
происходит при проведении опыта;
• б) невозможное событие – событие, которое в результате
опыта произойти не может;
• в) случайное событие – событие, которое может либо
произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной
кости достоверным событием является выпадение числа очков,
не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а
случайным – выпадение 3 очков.

3. Сумма событий

Суммой A + B событий A и B называется
событие, состоящее в появлении события А, или
события В, или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий называют событие,
которое состоит в появлении хотя бы одного из этих
событий. Например, событие А + В + С состоит в
появлении одного из следующих событий: А, В, С, А
и В, А и С, В и С, А и В и С.

4.

Пример 1: Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени.
Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго,
то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.
Пример 2: Если при броске игральной кости событием Аi назвать
выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является
суммой событий А1+А2+А3.
.
Пример 3: Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте
пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6},
где элементарное событие w i- выпадение i очков. Событие A выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6} состоит в том, что выпало либо
четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е.
произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W

5.

Пусть события A и В — несовместные,
причем вероятности этих событий известны.
Как найти вероятность того, что наступит
либо событие A, либо событие В? Ответ на
этот вопрос дает теорема сложения.

6. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема: Вероятность появления одного из
двух несовместных событий, безразлично
какого, равна сумме вероятностей этих
событий:
P (A + B) = P(A) + P(B).

7. Доказательство

Введем обозначения: n — общее число возможных
элементарных исходов испытания; m1 — число
исходов, благоприятствующих событию A; m2—
число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих
наступлению либо события А, либо события В, равно
m1 + m2. Следовательно,
Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.
Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р
(В), окончательно получим
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

8. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых.
Найти вероятность появления цветного шара.
Решение: Появление цветного шара означает появление
либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие А):
P (A) = 10/30 = 1/3.
Вероятность появления синего шара (событие В):
P (В) = 5/30 = 1/6.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета
исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема
сложения применима.
По формуле искомая вероятность:
P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2.

9. Произведение событий

Произведением двух событий А и В называют
событие АВ, состоящее в совместном появлении
(совмещении) этих событий.
Например, если А — деталь годная, В — деталь
окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют
событие, состоящее в совместном появлении всех
этих событий.
Например, если А, В, С — появление «герба»
соответственно в первом, втором и третьем
бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во
всех трех испытаниях.

10.

Произведением независимых событий A и B
называется событие C=AB, заключающееся в том,
что произошло и событие A, и событие B.
Рассмотрим два независимых события A и B.
Пусть событию А благоприятствует m исходов, из
общего числа n исходов P(A)=m/n. Событию B –
соответственно k и l исходов: P(B)=k/l. Тогда для
события C=AB по правилу произведения
благоприятных исходов будет mk, общее число – nl.