Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Урок 4

2. Основные вопросы темы:

Независимость событий
Совместность событий
Сложение вероятностей
Умножение вероятностей

3. Вопросы к теме

1. Дать определение достоверного и невозможного
события
Событие называется достоверным, если оно
происходит всегда. Событие называется
невозможным, если оно никогда не произойдет
2. Какое событие называется случайным?
Событие, которое может произойти или не
произойти

4. Вопросы к теме

3. Привести примеры произведения и суммы событий
Событие А – выпадение герба. Событие В –
выпадение цифры. При подбрасывании 2-х монет
они упали одной стороной (произведение
событий)
Выпадение четного числа очков при
подбрасывании игральной кости (сумма событий)
4. Чему может быть равна вероятность случайного
события?
Вероятность любого случайного события
положительна и не больше 1

5. Действия над событиями

Сумма:
А + В выполняется тогда, когда
происходит хотя бы одно из этих
событий (или А, или B, или оба вместе)
Произведение:
А ∙ В выполняется тогда, когда
происходят оба события (и А, и В).

6. Теоремы сложения вероятностей

Вероятность суммы событий
А+В
определяется следующей формулой:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В)
Если события несовместны, то формула
упрощается и принимает вид:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

7. Условная вероятность

При зависимых событиях A и B имеет
смысл
говорить
об
условной
вероятности Р(А/В) события A при
условии,
что
событие
B
уже
произошло.

8. Независимые события

При независимых событиях
условная вероятность равна
обычной вероятности
Р(А/В)= Р(А)

9. Вероятность произведения

Вероятность произведения событий
А и В выражается следующей
формулой:
Р(А · В) = Р(А/В) · Р(В) или
Р(А · В) = Р(В/А) · Р(А)

10. Условная вероятность

Р(А/В)
- условная вероятность
или
вероятность события A при
условии, что событие B уже
произошло
При независимых событиях условная
вероятность равна обычной
вероятности
Р(А/В)= Р(А) и Р(А ∙ В) = Р(А) · Р(В)

11. Задача № 1 В урне 15 шаров, из них 7 белых, остальные – черные. Какова вероятность, что случайным образом выберут черный шар?

Дано: Всего …шаров, … – белых, … – черных.
Испытание – ……………………………….
Событие А – ………………………………..
Найти: Р (А ).

12. Задача № 1 В урне 15 шаров, из них 7 белых, остальные – черные. Какова вероятность, что случайным образом выберут черный шар?

Дано: Всего 15 шаров, 7 – белых, 8 – черных.
Испытание – случайным образом взять
один шар.
Событие А – выбранный шар – черный.
Найти: Р (А ).

13. Дано: Всего 15 шаров, 7 – белых, 8 – черных. Испытание – случайным образом взять один шар. Событие А – выбранный шар – черный.

Дано: Всего 15 шаров, 7 – белых, 8 – черных.
шар.
Испытание – случайным образом взять один
Событие А – выбранный шар – черный.
Найти: Р (А ).
Решим задачу по формуле классического определения
вероятности: P(A) = m/n
Всего равновозможных исходов 15, следовательно, n
= 15,
благоприятствующих исходов 8, следовательно,
m = 8,
тогда P(A) = m/n = 8/15
Ответ: P(A) = 8/15.

14. Задачи 2-го уровня

Задача № 2
В урне 12 шаров, из них 5 белых. Какова
вероятность выбрать случайным
образом из 12 шаров три небелых?
Дано:
Всего ….. шаров, ….. – белых, ….. – небелых.
Испытание – случайным образом взять….шара из
…
Событие А – выбранные шары – небелые.
Найти: Р (А ).

15. Дано: Всего 12 шаров, 5 – белых, 7 – небелых. Испытание – случайным образом взять 3 шара из 12. Событие А – выбранные шары –

небелые.
Найти: Р (А ).
Решение:
Решим задачу по формуле классического определения
вероятности: …………..
Число равновозможных исходов найдем в соответствии с
испытанием: всего ….. шаров, берут из них …. шара. По
формуле сочетаний из 12 по 3 найдем n.
Тогда n C 3 12 11 10 220
12
3 2 1
Число благоприятствующих исходов найдем в соответствии
с заданным событием А – выбранные шары – небелые.
Небелых шаров ….., берут из них …... По формуле
сочетаний из … по … найдем m. Тогда m C 73
Вероятность события А равна: ……..Ответ: ……….

16. Задача № 3 В группе учащихся 11 девушек и 20 юношей. Для выполнения некоторой работы наудачу выбирают 4 человека. Чему равна

вероятность того, что:
1) будут выбраны только юноши; 2) выбраны только
девушки?
Дано:
Всего …. учащихся, … – девушек, … – юношей.
Испытание – случайным образом выбрать ……………
Событие А – …………………………………………...
Событие В – ……………………………………………
Найти: Р (А ), Р (В ).

17.

11 – девушек, 20 - юношей, выбирают 4 человека
Решение:
Решим задачу по формуле классического определения
вероятности: …….......
Число равновозможных исходов
найдем в соответствии с испытанием: всего ………...
выбирают из них …
По формуле сочетаний из … по …
найдем n.
Тогда n = ……………
Число благоприятствующих исходов найдем в
соответствии с заданными событиями.

18.

11 – девушек, 20 - юношей, выбирают 4 человека
Решение:
Событие А – ………..
Всего ……… выбирают из них ….
По формуле сочетаний из …. по ….. найдем m.
Тогда m = ……….
Вероятность события А равна:
P(A) = m/n = …………………
Событие В – ……Число равновозможных исходов ……
Число благоприятствующих исходов ………………….
Вероятность события В равна: P(B) = m/n = ……….....
Ответ: P(A) =……, P(B) =……..

19. Задачи 3-го уровня

Задача № 4
В урне 12 черных шаров и 8 белых. Случайным
образом вынимают 5 шаров. Какова вероятность
того, что среди выбранных шаров окажется ровно
три белых? Сколько примерно раз будут извлечены
три белых шара из 5-ти отобранных, если опыт
повторить 200 раз?
Дано: Всего ….. шаров, …. – белых, ….. – черных.
Испытание – случайным образом ……………………
Событие А – …………………………………………
Число испытаний ……………………………………
Найти: Р (А ), NA - ………………………………………………

20.

Решение:
Решим задачу по формуле классического определения вероятности:
………….. . Число равновозможных исходов найдем в соответствии с
испытанием: всего ……… шаров, берут из них ………... По формуле
сочетаний из … по … найдем n. Тогда n = ………………………………
Число благоприятствующих исходов найдем в соответствии с
заданным событием А –…………….., то есть A 3б.и 2ч
Тогда m = m1 ∙ m2, где m1 – число способов взять 3 белых шара из 8, а
m2 – число способов взять 2 черных шара из 12 .
Белых шаров ….. берут из них …. По формуле сочетаний из … по …
найдем m1. Тогда m1 = ………………….
Черных шаров …, берут из них …. По формуле сочетаний из … по …
найдем m2. Тогда m2 = ………… Итого m = m1 ∙ m2 = …………………...
Вероятность события А равна: P(A) = m/n = …………………………….
b) При большом числе испытаний вероятность события можно
принять за частоту P(A) ≈ f A.
Число испытаний равно N = ……., fA = ………..
Из формулы частоты …….. получим:…………..Тогда NA = …………
Ответ: P(A) = ……., NA = ……...

21. Задача № 5 Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 призовых билета, причем каждый может выиграть только один

призовой билет. Какова вероятность того, что среди
обладателей призового билета окажется поровну юношей и
девушек?
Сколько примерно раз призерами будут ровно 2 девушки,
если опыт повторить 50 раз?
Дано:
Всего … студентов, … – девушек,… – юношей.
Испытание – случайным образом …………………..
Событие А – ………..…………………………………
Число испытаний …………………………………….
Найти: Р (А ), Р (B ), Р (C ), NС - ………….…………

22.

Решение:
Решим задачу по формуле классического определения
вероятности: ……………. Число равновозможных исходов
найдем в соответствии с испытанием: всего …………..,
выбирают из них …………….. По формуле ……………… из ….
по … найдем n. Тогда n = ……………
Число благоприятствующих исходов найдем в соответствии с
заданными событиями.
Событие А – ……………, то есть A _____
Тогда m = m1 ∙ m2, где m1 – число способов ………….,
а m2 – число способов………… .
По формуле сочетаний из … по … найдем m1.
Тогда m1 = ……………. По формуле сочетаний из … по …
найдем m2. Тогда m2 = ……………...
Итого m = m1 ∙ m2 = ………………………………

23.

Решение:
Вероятность события А равна:
P(A) = ….
b) При большом числе ……………………………………………….
Число испытаний равно N = …….., fа = ……….
Из формулы частоты ……………… получим: ………….
Тогда Nа = ……….
Ответ: P(А) = ……, Nа = ……….

24. Задачи 1-го уровня

Задача № 1
Электрические лампочки производятся на одной
автоматической линии. В среднем одна лампочка из двухсот
оказывается бракованной. Лампочки изготовляются
независимо друг от друга.
Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад
лампочек: 1) окажутся исправными обе; 2) исправной будет
только первая лампочка; 3) обе будут бракованными?
Дано: Испытание –…………………………………………………….
Событие А – …………………………………………………….
Событие B – …………………………………………………….
Событие C – …………………………………………………….
В среднем одна лампочка из двухсот оказывается бракованной.
Найти: Р (А ), Р (B ), Р (C ).

25. Дано: Испытание – выбирают наугад две лампочки Событие А – окажутся исправными обе Событие B – исправной будет только первая

∙
.
Дано: Испытание – выбирают наугад две лампочки
Событие А – окажутся исправными обе
Событие B – исправной будет только первая
лампочка
Событие C – обе лампочки будут бракованными
В среднем одна лампочка из двухсот оказывается
бракованной.
Найти: Р (А ), Р (B ), Р (C ).

26.

∙
.
Решение.
События А, В и С – сложные. Запишем пространство исходов этих
событий. A = { ии }, B = { иб }, C = { бб }.
Выразим их через элементарные события Ai и Аi .
Введем события: А1 – первая лампочка исправна, А2 – вторая
лампочка …………………..., А1 - первая лампочка бракованная,
А2 - ………………………………………………...
Тогда событие А = А1∙А2, событие В = А1∙ А2 , событие С = А1 ∙ А2
События Ai и Аi - независимые, следовательно, по теореме
умножения независимых событий, вероятность произведения
событий равна ………………………………………………………….

27.

По условию в среднем одна лампочка из двухсот оказывается
1
бракованной, тогда P ( A i )
- вероятность того, что лампочка
200
окажется бракованной,
а P ( Ai )
199
- вероятность того, что лампочка будет исправна.
200
Найдем вероятности событий А, В и С:
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 199/200 ∙ 199/200 = 0,99
P( B) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 199/200 ∙ 1/200 = 0,005
P(C ) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
1/200 ∙ 1/200 = 0,000025
Ответ: P(A) = 0.99, P(B) = 0.005, P(C) = 0.000025

28. Задача № 2 Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго — 0,81, для

третьего — 0,92. Найти
вероятность р того, что:
а) в цель попадут все три стрелка,
б) в цель попадет только третий стрелок.
Дано:
испытание – ……………………………………………………
Событие А – ……………………………………………………..
Событие B – ……………………………………………………..
p1 = 0.75 – вероятность попадания в цель для первого
стрелка,
p2 = 0,81 – вероятность попадания …………………………..,
p3 = ……. – вероятность ………………………………………..
Найти: Р (А ), Р (B ).

29. Задача № 2 Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго — 0,81, для

третьего — 0,92. Найти вероятность р того, что:
а) в цель попадут все три стрелка,
б) в цель попадет только третий стрелок.
Дано:
испытание – три стрелка стреляют по цели
Событие А – в цель попадут все три стрелка,
Событие B – в цель попадет только третий стрелок.
p1 = 0.75 – вероятность попадания в цель для первого
стрелка,
p2 = 0,81 – вероятность попадания для второго стрелка
p3 = 0,92 – вероятность попадания для третьего стрелка
Найти: Р (А ), Р (B ).

30.

Решение:
События А и В – сложные. Запишем пространство исходов
этих событий: A = { ППП }, B = { ННП }.
Выразим их через элементарные события Ai и Аi .
Введем события:
А1 – первый стрелок попал в цель, А2 – второй стрелок попал в
цель, А3 – третий стрелок попал в цель,
А1 - первый стрелок промахнулся, А2 - второй стрелок
промахнулся,
_ _
А3 - третий стрелок промахнулся.
Тогда событие А = А1 ∙ А2 ∙ А3, событие В = А1 ∙ А2 ∙А3
События Ai и Аi - независимые , следовательно, по теореме
умножения независимых событий , вероятность произведения
событий равна произведению вероятностей этих событий.

31.

По условию известны вероятности событий A1 , A2 , A3 .
p1 = P(А1) = 0.75, p2 = P(А2) = 0,81, p3 = P(А3) = 0,92,
Известно, что сумма вероятностей противоположных событий
равна единице.
Тогда P( А1 ) = 1 – P (А1 )= 1 – 0.75 = 0,25,
P( А2 ) = 1 – P (А2 )= 1 – 0,81 = 0,19,
P( А3 ) = 1 – P (А3 )= 1 – 0,92 = 0,08.
Найдем вероятности событий А и В:
P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0,75 ∙ 0,81∙ 0,92 = 0,56
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0,25 ∙ 0,19 ∙ 0,92 = 0,04
Ответ: P (A) 0,56, P (B ) 0,04.

32. Задача 2-го уровня

Задача № 3
Вероятность своевременного выполнения студентом
контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна
соответственно 0,6; 0,5 и 0,8. Найти вероятность
своевременного выполнения контрольной работы
студентом хотя бы по двум дисциплинам.
Дано: испытание – …………………………………………………….
Событие А – …………………………………………………….
p1 = … – вероятность …………………………………………………..,
p2 = ….– вероятность ……………………………………………………,
p3 = …. – вероятность ……………………………………………………..
Найти: Р (А ).

33. Дома

Решить задачу № 3
Конспект темы