Элементы теории вероятности. Лекция 1. Случайные события

1.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТИ

2.

ЛЕКЦИЯ_1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

3.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Наука, изучающая способы решения комбинаторных задач,
называется комбинаторикой.
Комбинаторика - это раздел математики, в котором
исследуются и решаются задачи выбора элементов из
исходного множества и расположения их в некоторой
комбинации, составленной по заданным правилам

4.

Принцип умножения
Требуется совершить путешествие по маршруту Оренбург-Самара-Казань. Известно, что из Оренбурга до Самары можно
добраться поездом, самолетом или на автомобиле; из Самары
до Казани: самолетом, поездом, пароходом или на автомобиле.
Сколькими способами можно осуществить такое путешествие?
Решение
ПОЕЗД
ПОЕЗД
Оренбург
САМОЛЕТ
САМОЛЕТ
Самара
АВТОМОБИЛЬ
Из Оренбурга до Самары можно
добраться 3 способами, для каждого из
них из Самары до Казани – 4 способами.
Таким образом, такое путешествие можно
осуществить 12 способами.
ТЕПЛОХОД
АВТОМОБИЛЬ
Казань
12 способов

5.

Принцип умножения
Если требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое
действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами,…,
k-ое – n способами,
то все k действий вместе можно
выполнить
n n ... n
n n ... n
k
n1 n2 ... nk способами
1
2
k
1
2
k

6.

ПЕРЕСТАНОВКИ
Множество из n элементов называется упорядоченным, если
каждому элементу этого множества поставлено в соответствие
натуральное число (номер элемента) от 1 до n.
В противном случае, множество называется неупорядоченным
Для одного и того же множества из n элементов можно получить
различные упорядоченные множества
Различные упорядоченные множества одного и того же множества
из n элементов называются перестановками этого множества P
n
Pn - число перестановок из n элементов
Факториал
0! 1
1! 1
2! 1 2
3! 1 2 3
3! 1 2 3
4! 1 2 3 4
n! 1 2 3 ... (n 1) n

7.

ПЕРЕСТАНОВКИ
Число перестановок множества из n элементов равно
Pn n!
Определим сколькими способами n предметов можно расставить по n
местам.
1-ое место можно заполнить n способами;
2-ое место можно заполнить (n-1) способами;
……..
(n-1)-ое место можно заполнить 2 способами;
n-ое место можно заполнить 1 способом.
Таким образом, общее число способов осуществления данного действия
равно
n (n 1) ... 2 1 n!
Следствие
n различных предметов по n местам можно
расставить n! способами

8.

РАЗМЕЩЕНИЯ
Как из множества, состоящего из n элементов, выбрать
Задача: упорядоченное подмножество из m элементов?
Например, как рассадить за праздничный стол 12 гостей, если
всего 15 мест?
Упорядоченное m-элементное подмножество множества из n ( m n)
элементов называется размещением из n элементов по m
m
n
A
Anm - число размещений из n элементов по m
Следствие далее представленной теоремы
m различных предметов по n местам можно расставить
Число приглашенных гостей можно рассадить
Anm способами
12
15 способами
A

9.

РАЗМЕЩЕНИЯ
Число размещений множества из n элементов по m равно
n!
A
(n m)!
m
n

10.

СОЧЕТАНИЯ
Как из множества, состоящего из n элементов, выбрать
Задача: неупорядоченное подмножество из m элементов?
Например, в студенческой группе из 25 человек выбрать 3 для
выполнения какой-нибудь общественной работы? Порядок
выдвижения кандидатур значения не имеет.
Произвольное m-элементное подмножество множества из n
( m n)
элементов называется сочетанием из n элементов по m С n
m
С
m
n - число сочетаний из n элементов по m
m одинаковых предметов по n местам можно расставить С
m
способами
n
Решение
Количество способов выбрать 3 человека из 25 для выполнения поручения
3
С25

11.

СОЧЕТАНИЯ
Число сочетаний множества из n элементов по m равно
n!
С
m!(n m)!
m
n
m
A
n!
m
n
Сn
m! m!(n m)!

12.

РАЗБИЕНИЯ
Разбиение множества из n элементов на r попарно
Задача: непересекающихся подмножеств. Например, студенческую
группу из 25 человек нужно разбить на 3 подгруппы по 5, 8, 12
человек соответственно для выполнения хозяйственных работ
на субботнике.
Представление (разложение) множества из n элементов в виде суммы
(объединения) r попарно непересекающихся неупорядоченных
подмножеств, состоящих из m1 , m2 ,....., mr элементов соответственно,
называется разбиением множества из n элементов на r подмножеств по
m1 , m2 ,....., mr элементов соответственно 1 2
r
(m m ... m n)
Pn m1 , m2 ,..., mr - число разбиений из n элементов по m1 , m2 ,....., mr
Решение
Группу из 25 человек на подгруппы из 5, 8, 12 человек можно разбить
P25 5,8,12 способами

13.

РАЗБИЕНИЯ
Число разбиений множества из n элементов на r попарно
непересекающихся подмножеств по
m , m ,....., m элементов равно
1
2
r
n!
Pn m1 , m2 ,..., mr
m1! m2 ! .... mr !

14.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ЯВЛЕНИЯ
Теория вероятностей есть
математическая наука,
изучающая закономерности
в случайных явлениях.

15.

Случайное явление – это
явление, которое при
неоднократном
воспроизведении одного и того
же опыта протекает каждый раз
несколько по-иному.

16.

Под «событием» в теории
вероятностей понимается
всякое явление, которое в
результате опыта или
испытания может произойти
или не произойти.

17.

ПРИМЕРЫ ОПЫТОВ
• сдача экзамена,
• наблюдение за дорожно-транспортными
происшествиями,
• выстрел из винтовки,
• бросание игрального кубика,
• химический эксперимент,
• и т.п.

18.

СОБЫТИЕ
ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик.
Определим события:
А {выпало четное число очков};
В {выпало число очков, кратное 3};
С {выпало более 4 очков}.

19.

Типы событий
СОБЫТИЕ
СЛУЧАЙНОЕ
НЕВОЗМОЖНОЕ
ДОСТОВЕРНОЕ

20.

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
СЛУЧАЙНЫМ называют событие, которое
может произойти или не произойти в
результате некоторого испытания (опыта).
Обозначают заглавными буквами латинского
алфавита: А, В, С, Д,…

21.

ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ
Достоверным называется событие,
которое обязательно произойдет, если
будет осуществлена определенная
совокупность условий.
Обозначают U.

22.

НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ
Невозможным называется событие,
которое заведомо не произойдет, если
будет осуществлена совокупность
условий.
Обозначают V.

23.

Для каждого из событий определите,
каким оно является – невозможным,
достоверным или случайным:
Из промежутка [1;5] наугад
выбрали число.
Из промежутка (-2; -1) наугад
выбрали число.
1. выбранное число
оказалось
положительным;
2. выбранное число
оказалось
отрицательным;
3. выбранное число
оказалось целым;
4. выбранное число
оказалось не целым.
1. оказалось, что выбранное
число > -3;
2. оказалось, что это число 1,5;
3. выбранное число
оказалось целым;
4. выбранное число
оказалось не целым.

24.

Противоположное событие.
Событие Ā называют противоположным событию А, если
событие Ā происходит тогда и только тогда, когда не
происходит событие А.
Например, если событие А – выпадение
четного числа при бросании игральной
кости, то Ā - выпадение нечетного числа;
если событие А – попадание по мишени
при одном выстреле, то Ā - промах и т.д.

25.

Примеры противоположных
событий:
1. «Ясный день» – «дождливый день»;
2. «Выпал орел» – «выпала решка» ,
противоположные события при одном
бросании монеты;
3. «Хотя бы на одной из двух брошенных
игральных костей появилось число 6» –
«число 6 не появилось ни на одной из двух
брошенных игральных костей»

26.

Назовите событие,
противоположное данному:
1. В результате броска игральной кости выпало
число, равное 2;
2. В результате броска игральной кости выпало
число, большее 4-х;
3. В результате броска игральной кости выпало
число, не большее 3-х;
4. Из колоды карт изъята карта бубновой масти;
5. В расписании уроков на понедельник первым
уроком поставлена физика;
6. При сдаче экзамена студент получил оценку
«отлично».

27.

СОБЫТИЯ
СОВМЕСТНЫЕ
НЕСОВМЕСТНЫЕ

28.

Два события А и В называют
совместными, если они могут произойти
одновременно,
при
одном
исходе
испытания, и несовместными, если они не
могут произойти одновременно ни при
одном исходе испытания.

29.

Совместные и несовместные
события.
Два события А и В называют совместными, если
они могут произойти одновременно, при одном
исходе эксперимента, и несовместными, если
они не могут произойти одновременно ни при
одном исходе эксперимента.
Например.
А – «идет дождь», В – «на небе нет ни облачка» –
несовместные.
Коля и Саша играют в шашки. А – «Коля
проиграл», В – «Саша выиграл», С – «Витя
наблюдал за игрой» – совместные.

30.

Укажите совместность – несовместность
случайных событий:
1) Катя со Славой играли в шахматы.
А – «Катя выиграла», В – «Слава проиграл»;
2) Катя со Славой играли в шахматы.
А – «Катя проиграла», В – «Слава проиграл»;
3) Бросили игральный кубик.
А – «выпала шестерка», В – «выпала пятерка»;
4) Бросили игральный кубик.
А – «выпала шестерка», В – «выпало четное число очков»;
5) Взяли кость домино.
А – «одно число 2», В – «сумма обоих чисел 9»;
6) Взяли кость домино.
А – «оба числа больше трех», В – «сумма чисел = 8»;
7) А – «квадратное уравнение имеет два корня», В – «дискриминант
больше нуля»;
8) А – «квадратное уравнение не имеет корней», В – «дискриминант
равен нулю».

31.

Алгебраические операции над
событиями
• Суммой двух событий А и В называется событие
А или В (А + В, А В), состоящее в том, что
произошло хотя бы одно из событий либо А, либо
В, либо и то, и другое.
• Произведением событий А и В называется
событие А и В (А · В, А В), которое происходит
тогда и только тогда, когда происходит и событие
А, и событие В.
• Разностью событий А и В называется событие,
состоящее в том, что событие А происходит, а
событие В не происходит (А-В, А\B).

32.

СУММА СОБЫТИЙ (ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ)
ОБОЗНАЧЕНИЕ
С=А+B или С А В
Событие А+В происходит тогда и только тогда, когда происходит или событие А или
событие В или и А и В одновременно

33.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ (ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ)
ОБОЗНАЧЕНИЕ
С=АB или С А В
Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда одновременно происходят события А и
В. Если события А и В несовместны, то
.
А В

34.

РАЗНОСТЬ СОБЫТИЙ
ОБОЗНАЧЕНИЕ
С=А-B или С А \ В
Событие А-В происходит тогда и только тогда, когда событие А происходит, а В не
происходит

35.

СЛЕДСТВИЕ СОБЫТИЯ

36.

Комбинации событий.
Суммой (объединением) событий А и В называется
событие, которое состоит в том, что происходит хотя
бы одно из данных событий. Сумму событий А и В
обозначают А + В или А
В.
Если события совместны, то сумма А+В означает,
что наступает, либо событие А, либо событие В,
либо оба события А и В.
Если события несовместны, то событие А+В
заключается в том, что должно наступить либо
событие А, либо событие В. Тогда «+» заменяется
словом «или».

37.

Сумма событий. Пример.
Если испытание состоит в определении
числа на верхней грани игрального кубика
после одного броска, при этом событие А –
выпало четное число, событие В – выпало
число, кратное трем, то событие А+В
состоит в том, что на верхней грани кубика
появится либо четное, либо кратное трем
число, т.е. событие А+В означает, что
появится одно из чисел 2,3,4,6.

38.

Комбинации событий.
Произведением (пересечением) событий А
и В называется событие, которое состоит в
том, что происходят оба этих события.
Произведение событий А И В обозначают
АВ или А В.

39.

Произведение событий. Пример.
Если событие А – выпадение четного числа,
а событие В – выпадение числа, кратного
трем в результате одного бросания
игрального кубика, то событие АВ –
выпадение четного числа, кратного трем.
Такое число одно – это 6.

40.

Комбинации событий. Задача.
Из колоды карт наугад вынимают одну и
рассматривают два события. А – вынута
карта пиковой масти, В – вынут король.
Описать события А + В и АВ.
Решение.
Событие А+В – вынут карта пиковой масти
или вынут король.
Событие АВ – из колоды вынут король
пиковой масти.

41.

Равносильные события.
События А и В называют равными или
равносильными и пишут А = В, если
событие А происходит тогда и только тогда,
когда происходит событие В.
Например, если в испытании с одним
бросанием игрального кубика событие А –
выпало число 6, событие В – выпало
наибольшее из возможных чисел, то
А
= В.