Постановка и решение практических задач в терминах теории оптимизации

1. Пояснения к лабораторной работе №1

Постановка и решение
практических задач
в терминах теории оптимизации
(на примере задачи планирования
выращивания сельскохозяйственных
культур на орошаемых землях)

2.

Общие сведения
Сельскохозяйственное предприятие выращивает 3 вида культур:
Пшеницу озимую;
Максимально возможная площадь под каждой
Кукурузу;
культурой задана (200 га), перераспределение
площадей между культурами не допускается.
Многолетние травы.
Культуры выращиваются на орошаемых землях; трассы каналов,
их пропускные способности заданы
(т.е. лимитированы техническими возможностями оросительной системы).
В хозяйстве сложилась технология возделывания культур,
не позволяющая достичь потенциальной (наивысшей) урожайности.
Причина – недостаточная водообеспеченность и невысокий уровень агротехники.
Имеется предложение от агрофирмы по внедрению метода
ПРОГРАММИРОВАНИЯ УРОЖАЯ – т.е. технологии,
позволяющей получить урожайность каждой культуры на уровне
физиологического максимума, достижимого в условиях региона.

3.

Сомнения в целесообразности предложения
(высказываются директором сельскохозяйственного предприятия)
Если на части площадей внедрить программирование урожая,
то эти площади придется обеспечить водой по полной норме.
Но, поскольку ресурсы воды ограничены, на «обычных»
полях водообеспеченность ухудшится, и урожаи там
снизятся по сравнению с достигнутым уровнем.
Предприятие заинтересовано в максимальном доходе от хозяйства
в целом.
Не случится ли, что выигрыш на площадях с программированием урожая
будет меньше, чем потери на обычных полях?
Агрофирма, склоняющая предприятие к внедрению программирования урожая,
приводит оценки выигрыша (дополнительного дохода), но директор сомневается
в обоснованности оценки.
Требуется:
ПРОВЕСТИ ЭКСПЕРТИЗУ ПРЕДЛОЖЕНИЯ АГРОФИРМЫ

4.

Схема экспертизы:
(основана на использовании оптимизационной модели)
Поставим задачу: найти:
1. плановые значения урожайностей на участках с обычной технологией
и на участках с программированием урожайности Yi(об) и Yi(пр);
индекс культуры, I = 1,2,3.
2. площади участков с обычной технологией и участков
с программированием урожая для каждой культуры Si(об) и Si(пр);
Для того, чтобы объективно оценить предложение агрофирмы, решим эту задачу
из условия ОБЕСПЕЧЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ДОХОДА от всех полей.
При решении требуется учесть ОГРАНИЧЕНИЯ, указанные Заказчиком
(директором сельскохозяйственного предприятия):
1. Пропускная способность каналов на полях ограничена.
2. Общий водозабор в хозяйство в целом ограничен.
3. При всех условиях съем общего урожая по каждой культуре НЕ ДОЛЖЕН
быть меньше, чем до внедрения новой технологии.

5.

«Оптимизационная» экспертиза – абсолютно
ОБЪЕКТИВНА.
Единственный «судья» - критерий.
Такое свойство оптимизационных задач
обеспечивает их практическую полезность.
Пожалуйста, запомните это
(пригодится на работе)

6.

Схема оросительной системы
(пояснения к ограничениям по пропускной способности)
Волга
Кукуруза
Многолетние травы
Пшеница
Водозабор на каждое поле
(ограничен пропускной
способностью каналов)
Участки с
программированием
урожаев
Общий водозабор
(ограничен
производительностью
насосной станции)

7.

Схема оросительной системы
(пояснения к ограничениям по пропускной способности)
S1(об) - ?
Кукуруза
S1(пр) - ?
Y1(пр) - ?
Y1(об) - ?
S2(об) - ?
S2(пр) - ?
Многолетние травы
Y2(пр) - ?
(об)
Y2
-?
S3(об) - ?
Пшеница
Y3(об) - ?
Водозабор на каждое поле
(ограничен пропускной
способностью каналов)
S3(пр) - ?
Y3(пр) - ?
Участки с
программированием
урожаев
Общий водозабор
(ограничен
производительностью
насосной станции)

8.

Урожайность (в долях
максимальной)
Урожайность,
максимально
достижимая от водопотребления
Зависимость
урожайности
в данной зоне (при условии полной обеспеченности
водой, удобрениями, агротехникой…)
Озимая пшеница
Урожайность при
переполиве (угнетение
Урожайность
при
корневой системы)
1,2
недополиве (засушивание)
1
0,8
0,6
Принимаем за ЕДИНИЦУ
0,4
0,2
Пороговое водопотребление
59
4
79
2
99
0
11
88
13
86
15
84
17
82
19
80
21
78
23
76
25
74
27
72
19
8
39
6
0
0
Участок отсутствия
всходов из-за острого
недостатка влаги
Водопотребление м3/га

9.

Кукуруза
Водопотребление м3/га
2100 м3/га
2816
2640
2464
2288
2112
1936
1760
1584
1408
1232
1056
880
704
528
352
176
0
0
5784
5258
4732
Водопотребление м3/га
4500 м3/га
0,2
Пшеница
4206
3681 9387
8046
3155 8717
0,4
7376
Водопотре бле ние м3/га
7500 м3/га
2629
2103 6705
1577 6035
0
5364
0,2
1052 4694
0
0,6
Травы
0,4
526 4023
0
0,8
0,6
3353
1 0,2
0,8
0 2682
1,2 0,4
1
Озимая
пшеница
2012
0,6
1341
0,8
максимальной)
1,2
1
Урожайность (в долях
671
Урожайность (в долях
максимальной)
Урожайность (в долях
максимальной)
Зависимость урожайности
оттравы
водопотребления для разных культур
Многолетние
Кукуруза
различны (максимумы урожайности достигаются
1,2
при различном водопотреблении)

10.

Однако форма зависимостей
УРОЖАЙНОСТЬ = F(ВОДОПОТРЕБЛЕНИЕ) для всех культур
ОДНОТИПНА, поэтому можно эти зависимости нормировать и
описать единой формулой:
У
n
m
a (k k0 ) b (k k0 )
У max
Аргумент – водопотребление
k
W
W max_ur
в долях от соответствующей максимальной урожайности.
Ордината – урожайность в долях максимально возможной.
w0
k0
wmax
- Пороговое водопотребление
Y
Y max
a, b, m, n – параметры, известны для каждой зоны
земледелия

11.

Поставим задачу оптимального планирования:
для каждой культуры найти площадь под возделывание
и урожайность, обеспечивающие суммарный
максимальный доход. Цены продукции заданы.
Казалось бы, желательна урожайность на уровне максимально возможной,
а площадь – только под культуру, имеющую наивысшую цену.
Задача выхода на максимально возможный урожай
получила название «ПРОГРАММИРОВАНИЕ УРОЖАЯ»
Традиционно считается, что лимитирующий фактор –
Вода, поступающая из оросительной системы
(по техническим причинам ее нельзя подать больше,
чем позволяет пропускная способность каналов.
Остальные компоненты (удобрения, прополки, культивация…)
рассчитываются по норме для плана водопотребления, ограничения
на них несущественны (компоненты можно купить в нужном количестве)

12.

Существо опасений ухудшить доход предприятия
в результате внедрения технологии программирования урожайности
Урожайность (в долях
максимальной)
Кукуруза
Пусть ДО внедрения программирования
урожайность
Y(об) кукурузы была такой:
1,2
1
Y(об)0,8
0,6
Рабочая точка характеристики
«Водопотребление – урожайность»:
0,4
0,2
W(об)
0
52
5,
10 8
51
,
15 6
77
,
21 4
03
,2
26
2
31 9
54
,
36 8
80
,
42 6
06
,
47 4
32
,2
52
58
57
83
,8
0
Этой урожайности соответствовало
водопотребление
Водопотребление
м3/га W(об)

13.

Существо опасений ухудшить доход предприятия
Урожайность (в долях
максимальной)
в
внедрения технологии программирования урожайности
Нарезультате
участках с программированием
Пусть рабочая точка характеристики
предполагается получить урожайность
«Водопотребление – урожайность»
Y(пр)
до внедрения программирования была
Кукуруза
такой:
1,2
Y(пр)
1
(об)
Y
0,8
W
0,6
W(об)
W(пр)
0
52
5,
10 8
51
,
15 6
77
,
21 4
03
,2
26
2
31 9
54
,
36 8
80
,
42 6
06
,
47 4
32
,2
52
58
57
83
,8
0,4 что потребуется
Мы видим,
увеличить
0,2водопотребление на
W м3/га
0
В результате внедрения программирования на участках,
где оно внедрено, рабочаяВодопотребление
точка переместится
м3/га в максимум:

14.

Урожайность (в долях
максимальной)
В результате рабочая точка для участков
Поэтому урожайность на участках с обычной технологией переместится
в область
более низкой урожайности:
с обычной технологией уменьшится
на Y(об)
Если бы отсутствовал дефицит воды, то урожайность Y(об)
осталась бы на прежнем уровне, и хозяйство получило бы
прибавку урожайности Y(пр):Кукуруза
??
1,2
1
Y(об)
0,8
0,6
Y(пр)
Y(об)
>
Y(пр)
W
0,4
0
52
5,
10 8
51
,
15 6
77
,
21 4
03
,2
26
2
31 9
54
,
36 8
80
,
42 6
06
,
47 4
32
,2
52
58
57
83
,8
W
0,2
Опасение:
как бы
не получилось,
W(пр) что
0
W(об)
выигрыш
Y(пр) на участках
с
программированием урожая будет
Но общая
водоподача
ограничена. В результате
на на
поляучастках с
меньше
проигрыша
Y(об)
Водопотребление м3/га
с обычной технологией будет подано воды на W меньше:
обычной технологией!

15.

Основания для опасений основаны на НЕЛИНЕЙНОСТИ
характеристики Урожайность = F(водопотребление):
1
0,8
0,6
0,4
0,2
52
5,
10 8
51
,
15 6
77
,
21 4
03
,2
26
2
31 9
54
,
36 8
80
,
42 6
06
,
47 4
32
,2
52
58
57
83
,8
0
0
Урожайность (в долях
максимальной)
Приращение урожайности
(производная) в
Кукуруза
начальной части кривой больше, чем в конечной.
Сравним1,2эти производные графически:
Различия в темпах увеличения
урожайности в начальной и конечной
Водопотребление м3/га
части зависимости

16.

Если площади, отведенные под технологию
с программированием урожая и под обычную технологию,
одинаковы, то тогда при дефиците воды общий проигрыш
неизбежен.
Поэтому и ставится задача определения площади и плановой
урожайности на участках обоих типов, чтобы обеспечить
максимальный доход от растениеводства в целом по хозяйству.
Хотя Заказчика интересует урожайность и площадь,
Программеру удобнее искать независимые переменные –
водопотребление wi(об) ,wi(пр) и площади Si(об) и Si(пр)
под каждой i-й культурой, а урожайность вычислять по формуле
(будут ограничения – равенства класса «модель объекта»).