Похожие презентации:
Законы распределения случайных величин
1. Законы распределения случайных величин
1.2.
Законы распределения дискретных
случайных величин (биномиальный,
Пуассона).
Законы распределения непрерывных
случайных величин (равномерный,
нормальный, показательный.)
2. Биномиальный закон
Дискретная случайная величина X имеетбиномиальный закон распределения, если она
принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n
с вероятностями
Pn (m) P( X m) Cnm p m q n m ,
n!
.
где p+q=1, p>0, q>0, C
m! (n m)!
m
n
3. Биномиальный закон
Ряд распределенияxi
0
pi
n
q
…
n
C n1 pq n 1 Cn2 p 2 q n 2 … Cnm p m q n m …
pn
1
…
2
m
n
причем
p 1
i
0
13.04.2023
Ирина Юрьевна Харламова
3
4. Биномиальный закон
Параметрыn, p
Математическое ожидание
M ( X ) np
Дисперсия
D( X ) npq
Среднее квадратическое
отклонение
Мода
(наивероятнейшее число)
( X ) npq
13.04.2023
np q Mo( X ) np p
Ирина Юрьевна Харламова
4
5. многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n=5 и p
(для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8)6. Пример
Примерно 20%судебных дел – это дела
по обвинению в краже.
В порядке
прокурорского надзора
проверено 4 наудачу
отобранных дела.
Каково наивероятнейшее значение дел о краже среди
отобранных и какова вероятность этого значения?
7.
n 4,20
p
0,2,
100
РЕШЕНИЕ
q 1 0,2 0,8
np q Mo( X ) np p
4 0,2 0,8 Mo( X ) 4 0,2 0,2
0 Mo ( X ) 1
m1 0, m2 1
8.
РЕШЕНИЕm1 0, m2 1
P4 (0) 0,8 0,4096
4
P4 (1) C 0,2 0,8 0,4096
1
4
1
3
9. Закон Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет законраспределения Пуассона, если она
принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ...
(бесконечное, но счётное множество значений) с
вероятностями
m
a a
P ( Х m)
e ,
m!
е = 2,71828...
10. Закон Пуассона
Ряд распределенияxi
pi
0
e
a
1
2
a e
a 2 e a
2
a
…
m
…
…
a m e a
m!
…
причем
13.04.2023
p 1
i
0
Ирина Юрьевна Харламова
10
11. Закон Пуассона
Параметрыа
Математическое
ожидание
M( X ) a
Дисперсия
D( X ) a
Среднее
(X) a
квадратическое
отклонение
Мода
a 1 Mo ( X ) a
(наивероятнейшее
число) Ирина Юрьевна Харламова
13.04.2023
11
12. Многоугольники распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром a (для a=0,5; 1; 2; 3,5;
Многоугольники распределенияслучайной величины X, имеющей
закон распределения Пуассона с параметром a
(для a=0,5; 1; 2; 3,5; 5).
13.
Применение закона ПуассонаПри больших n, малых р
Формула
Бернулли
Pn (m) C p q
m
n
m
Формула
Пуассона
n m
a m a
P(m)
e ,
m!
a np
14. Пример
Примерно 0,1%судебных дел – это дела
по обвинению в
убийстве. Проверено
200 наудачу взятых
судебных дел.
Какова вероятность того, что среди них
дел о убийстве буде: 0, 1, 2, 3 ?
15. Решение
n = 200, p = 0,001, n·p = 0,2m
0
1
2
3
0,2 m 0,2
P(m)
e
m!
0,9999
m
P200 (m) C 200
(0,001) m (0,999) 200 m
0,9999
16. Вероятности того, что за промежуток времени длиной t наступит m событий простейшего потока
Применение закона ПуассонаВероятности того, что за промежуток времени
длиной t наступит m событий простейшего потока
mm
( at ) a t
ee ,
PPt t((mm) )
a m
! t
a t
– это среднее число a
событий
потока,
t
происходящих в единицу времени (интенсивность).
a t
a t
17. Пример
В дежурную частьорганов внутренних дел
за час в среднем
поступает 30
сообщений различного
характера.
Какова вероятность, что за минуту поступит 2
сообщения?
18. Решение
Количество сообщений, поступающих в час = 30,1
t = 1(мин) = 1/60 (час), a 30 0,5
60
2
0,5 0,5
P1м ин. (2)
e 0,07
2
19. Равномерный закон
Непрерывная случайная величина Х имеетравномерное распределение на отрезке [a, b], если
на этом отрезке плотность распределения вероятности
случайной величины постоянна, а вне его равна нулю,
т.е. если
х a,
0 при
f ( x) c при a x b,
0 при
x b.
1
const .
где c
b a
20. Равномерное распределение
Кривая распределенияf(x)
c
0
13.04.2023
a
b
Ирина Юрьевна Харламова
x
20
21. Равномерный закон
Математическоеожидание
b a
M(X)
2
Дисперсия
(b a) 2
D( X )
12
Среднее квадратическое
отклонение
b a
(X)
2 3
Вероятность попадания
СВ Х в интервал [ , ],
([ , ] [a, b])
13.04.2023
P( X )
Ирина Юрьевна Харламова
b a
21
22. Пример
Цена деления шкалыамперметра равна 0,1 А.
Показания округляют до
ближайшего целого
деления.
Найти вероятность того, что при отсчете будет
сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
23. Решение
00,01
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,08 0,09
Ошибка превысит заданную точность, если
Х [0,02, 0,08]
0,08 0,02
P(0,02 X 0,08)
0,6
0,1
0,1
24. Нормальный закон
Непрерывная случайная величина Х имеетнормальное распределение, если плотность
вероятности f(x) имеет вид:
( x a )2
1
2 2
f ( x)
e
2
25. Нормальное распределение
Кривая распределенияf(x)
1
2
1
2 e
O
13.04.2023
a–
a
a+
Ирина Юрьевна Харламова
x
25
26. Нормальный закон
Параметрыа,
Математическое
ожидание
M( X ) a
Дисперсия
D( X )
Среднее
квадратическое
отклонение
(X )
2
Вероятность попадания
a
a
P ( X ) Ф
Ф
,
СВ Х в интервал [ , ],
Ф(х) – функция Лапласа
([ , ] [a,
b])
13.04.2023
Ирина Юрьевна Харламова
26
27. Функция Лапласа
Ф( x )Ф(–х) = – Ф(х)
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
13.04.2023
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
x
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
Ирина Юрьевна Харламова
1
e
2 0
x
x2
2
dx
Ф(х)
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
27
28. При изменении параметра а форма графика функции не изменяется, а происходит лишь смещение вдоль оси абсцисс вправо, если он
возрастает, и влево, еслиубывает.
a=1a=3
a=6
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
33
22
11
0
1
2
33
44
555
666
777
888
999
10
10
10
29.
0.40.3
a = 1, = 1
0.2
0.1
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
a = 3, = 1
0.2
0.1
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
a = 6, = 1
0.2
0.1
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30.
При изменении параметра изменяется форманормальной кривой. Если этот параметр убывает, то
кривая становится более островершинной, если
увеличивается, то кривая становится более пологой.
0.4
0.4
0.4
==
= 231
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
10
10
10 999
888
777
666
555
444
333
222
111
000 111
222
333
44
55
66
77
88
99
10
10
31.
0.40.3
= 1
0.2
0.1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
= 2
0.2
0.1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.4
0.3
= 3
0.2
0.1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
32. Доска Гальтона
33. Правило «трех сигм»
0,4если случайная
величина X имеет
нормальный закон
распределения с
параметрами а и
, то практически
достоверно, что
её значения
заключены в
интервале
(а–3 , а+3 ).
0,3
0,2
0,1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
34.
35. Показательный (экспоненциальный) закон
Непрерывная случайная величина X имеетпоказательный (экспоненциальный) закон
распределения, если её плотность вероятности f(x)
имеет вид:
при x 0
0
f ( x) x
при x 0
e
36. Показательное распределение
Кривая распределения13.04.2023
Ирина Юрьевна Харламова
36
37. Показательный закон
ПараметрМатематическое
ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое
отклонение
Вероятность попадания
СВ Х в интервал [ , ],
([ , ] [a, b])
13.04.2023
M (X )
1
1
D( X ) 2
1
(X )
P( X ) e e
Ирина Юрьевна Харламова
37
38. Пример
На шоссе установленконтрольный пункт для
проверки технического
состояния автомобилей.
Найти среднее время ожидание очередной машины
контролером Т, – если поток машин простейший и
время (в часах) между прохождениями машин через
контрольный пункт распределено по показательному
закону
5t
f (t ) 5e
39. Решение
f (t ) 5e5t
f (t ) e
t
5
M (T ) 1 / 1 / 5(часа) 12( минут)