Законы распределения непрерывной случайной величины. Урок № 25

1. Законы распределения непрерывной случайной величины Урок № 25

Равномерный закон распределения
Показательное распределение
Нормальное распределение

2. Законы распределения непрерывной случайной величины

Наиболее широкое распространение для
решения теоретических и прикладных задач,
в частности в теории связи, в теории
надежности, получили следующие
теоретические законы распределения
непрерывных случайных величин:
равномерный закон;
экспоненциальный (показательный) закон;
нормальный закон.

3. Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет
равномерный закон распределения на отрезке
[ a; b ], если её плотность вероятности постоянна
на этом отрезке и равна нулю вне этого отрезка.
Параметры равномерного распределения
это концы отрезка [ a; b ].

4. пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины

Шкала измерительного прибора проградуирована в
некоторых единицах.
Ошибку при округлении отсчета до ближайшего
целого деления можно рассматривать как
случайную величину X, которая может принимать, с
постоянной плотностью вероятности, любое
значение между двумя соседними целыми
делениями.
Таким образом, случайная величина X имеет
равномерное распределение.

5. пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины

Равномерному закону распределения
подчиняется разность фаз 1 2 колебаний двух
источников синусоидального напряжения
u1 A1 sin t 1 и u2 A2 sin t 2
включенных независимо.
Любое значение равновероятно в пределах 0;2

6. пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины

При округлении чисел до n – верных знаков
ошибка округления распределена равномерно
на отрезке
5
1
10
5
n 1
1
10n 1

7. пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины

В настоящее время широко распространились
вероятностные методы приближенного решения
прикладных и математических задач на ЭВМ
(методы Монте – Карло).
Эти методы используют потоки из таблиц
случайных чисел. Каждое число такой таблицы
может рассматриваться как значение случайной
величины, распределенной по требуемому для
решения задачи закону.

8. метод Монте – Карло

Многообразие необходимых законов
распределения затрудняет построение таблиц
случайных чисел.
Таблицу случайных чисел с требуемым законом
распределения можно получить из таблицы
случайных чисел X, равномерно распределенных
на отрезке [0,1].

9. Найдем значение постоянной С равномерного распределения

Все возможные значения равномерной случайной
величины принадлежат интервалу [a,b]
Тогда по свойству дифференциальной функции
должно выполняться равенство
b
b
a
a
f x dx 1 C dx 1 . Тогда
C b
1
dx
a
1
b a

10. Дифференциальная функция равномерного распределения

закон равномерного распределения
аналитически можно записать так:
0 при x a ;
1
f x
при a x b ;
b a
0 при x b .

11. Записать закон распределения

Непрерывная случайная величина X
имеет равномерный закон распределения
на отрезке [ 2; 5 ]
0 при x 2;
0 при x 2;
1
1
f x
при 2 x 5; f x
при 2 x 5;
5 2
3
0 при x 5
0 при x 5

12. График дифференциальной функции равномерного распределения

f(x)
a
b
x

13. Дифференциальная функция равномерного распределения

закон равномерного распределения
аналитически можно записать так:
0 при x a ;
1
f x
при a x b ;
b a
0 при x b .

14. Интегральная функция распределения

Интегральную функцию распределения
найдем по формуле
x
F x f x dx
x a
.
0 при x a ;
1
f x
при a x b ;
b a
0 при x b .
f x 0, F x 0

15. Интегральная функция распределения

Интегральная функция F x f x dx
распределения
x
a x b
a
1
f x
b a
x
0 при x a ;
1
f x
при a x b ;
b a
0 при x b .
x a
1
F x 0dx
dx
b a
a b a
x b
x
dx
b a
F x 0dx
0dx
1
b a
a b a
b
a
b

16. Интегральная функция равномерного распределения

аналитическое выражение интегральной
функции распределения имеет вид:
0 , x a ;
x a
F x
, a x b,
b a
1 , x b ,

17. Интегральная функция равномерного распределения

F(x)
1
0
a
b
x

18. Записать интегральную функцию распределения

Непрерывная случайная величина X имеет
равномерный закон распределения на отрезке
0 , x a ;
[ 2; 5 ]
x a
F x
, a x b,
b a
1 , x b ,
0, x 2;
x 2
F x
, 2 x 5,
5 2
1, x 5,
0, x 2;
x 2
F x
, 2 x 5,
3
1, x 5,

19. Равномерный закон распределения

Если случайная величина подчиняется
равномерному закону распределения, то она
с одинаковой вероятностью может принимать
значения внутри любых равновеликих
интервалов, расположенных в области
возможных значений случайной величины.
Поэтому закон равномерного распределения
называют законом равной вероятности.

20. Числовые характеристики равномерного распределения

Равномерная случайная величина не
имеет максимума, а значит и моды.
Математическое ожидание равномерной
случайной величины равно
a b
M (X )
и равно медиане.
2
Дисперсия равна
2
b a
D( X )
12

21. Задача

Поезда метрополитена идут регулярно с
интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на
платформу в случайный момент времени.
Какова вероятность того, что ждать пассажиру
придется не более полминуты?
Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины
X – времени ожидания поезда.

22. Решение

Случайная величина X – время ожидания поезда,
является непрерывной случайной величиной с
равномерным распределением на отрезке от 0 до 2.
Параметры распределения: а = 0, b = 2.
Функция распределения равна f(x) = 1/(b – a) = ½ на
отрезке [0,2] и нулю вне этого отрезка.
Интегральная функция распределения равна
0, x 0;
x 0
F x
, 0 x 2,
2
0
1, x 2,
0, x 0;
x
F x , 0 x 2,
2
1, x 2,

23. Решение

Вероятность того, что ждать пассажиру придется не
более полминуты найдем по формуле
F(b) – F(a) = F(0,5) – F(0) = 0,5/2 – 0/2 = 0,25
0, x 0;
x
F x , 0 x 2,
2
1, x 2,

24. Решение

Математическое ожидание равномерной
случайной величины равно M ( X ) a b
2
M(X) = (0 + 2)/2 = 1
В среднем ждать поезда придется 1 минуту.
Дисперсия равномерной случайной величины
равна
2
b a
D( X )
12
D(X) = (2 – 0)2 /12 = 1/3, ( X ) D( X ) 1/ 3 0,58 мин.

25. Экспоненциальный (показательный) закон распределения

При решении прикладных задач физики,
биологии, астрономии, радиотехники,
теории информации, теории надежности и
т.д. приходится сталкиваться с обширным
классом случайных величин,
распределение которых достаточно
хорошо описывается экспоненциальным
(показательным) законом.

26. Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет
показательный закон распределения с
параметром , если её плотность вероятности
имеет вид
x
e
( x)
0
при x 0
при x 0
где положительная константа
Показательное распределение имеет один
параметр

27. Экспоненциальный (показательный) закон распределения

График плотности показательного
распределения
f(x)
x

28. Интегральная функция показательного распределения

0 , x 0 ;
F x
x
, x 0.
1 e
F(X)
1
0
x

29. Числовые характеристики показательного распределения

Математическое ожидание случайной величины,
распределенной по показательному закону равно
M(X) = 1/λ.
Дисперсия равна D(X) = 1/λ2
Математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение, в случае
экспоненциального закона, равны между собой.

30. Примеры показательного распределения

Примеры случайных величин, для описания
распределения которых применяется показательный
закон:
длительность телефонного разговора;
продолжительность жизни атома радиоактивного
вещества;
срок безотказной работы прибора;
время уничтожения цели одиночными выстрелами;
время обслуживания заявки в системе массового
обслуживания.

31. Функция надежности. Показательный закон надежности

Показательное распределение широко
применяется в приложениях, в частности, в
теории надежности, одним из основных понятий
которой является функция надежности.
Под элементом будем подразумевать некоторое
устройство, независимо от того, «простое» оно
или «сложное».
Пусть элемент начинает работать в момент
времени t0, а по истечении времени
длительностью t происходит отказ.

32. Функция надежности

Обозначим через T – непрерывную случайную
величину – длительность безотказной работы
элемента.
Если элемент проработал безотказно время,
меньшее чем t, то следовательно, за временем
длительностью t наступает отказ.

33. Функция надежности

Таким образом, интегральная функция F t P T t
определяет вероятность отказа за время
длительностью t.
Так как события T t и T t противоположны,
то вероятность безотказной работы за то же
время равна
P T t 1 P T t P T t 1 F t

34. Определение

Функцией надежности R(t) называют функцию,
определяющую вероятность безотказной
работы элемента за время длительностью t:
R(t) = P(T > t)
Часто длительность безотказной работы
элемента имеет показательное распределение,
функция распределения которого F(t) = 1 – e – λ t
Показательным законом надежности называют
функцию надежности, определяемую
равенством: R(t) = e – λ t,
где λ – интенсивность отказов.

35. Характеристическое свойство показательного закона надежности

Вероятность безотказной работы элемента
на интервале времени длительностью t не
зависит от времени предшествующей работы
до начала рассматриваемого интервала, а
зависит только от длительности времени t
(при заданной интенсивности отказов λ).
Если случайная величина обладает этим
свойством, то она распределена по
показательному закону.

36. Нормальный закон распределения

Определение
Нормальным называется распределение
вероятностей непрерывной случайной величины,
которое описывается плотностью вероятности
f ( x)
1
x 2
e
( x mx ) 2
2 2x
;
Нормальный закон распределения также
называется законом Гаусса.

37.

Нормальный закон распределения занимает
центральное место в теории вероятностей. Это
обусловлено тем, что этот закон проявляется во
всех случаях, когда случайная величина является
результатом
действия
большого
числа
различных факторов.
К
нормальному закону приближаются все
остальные законы распределения.

38. Функция распределения нормального закона

Найдем функцию распределения F(x).
F ( x)
1
x
e
x 2
( x mx ) 2
2 2x
dx

39. Кривая Гаусса

График плотности нормального распределения
называется нормальной кривой или кривой
Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими
свойствами:
1) Функция определена на всей числовой оси.
2) При всех х функция распределения принимает
только положительные значения.

40. Свойства нормальной кривой

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой
графика плотности вероятности, т.к. при
неограниченном возрастании по абсолютной
величине аргумента х, значение функции
стремится к нулю.
4) Найдем экстремум функции.
y
x m
3
2
e
( x m)2
2 2
0;
x m;

41. Вопросы к теме

1. Дайте определения непрерывной
случайной величины имеющей
равномерное распределение.
2. Привести примеры равномерно
распределенных величин.

42. Вопросы к теме

3. Записать функцию F(x) для
равномерного распределения.
4. Записать формулы для вычисления
математического ожидания и
дисперсии равномерно
распределенной величины.

43. Вопросы к теме

5. Записать параметры равномерного
распределения и объяснить их смысл.
6. Как найти вероятность попадания
равномерной случайной величины в
заданный интервал?

44. Вопросы к теме

7. Дайте определения непрерывной
случайной величины имеющей
показательное распределение.
8. Записать функцию F(x) для
показательного распределения.

45. Вопросы к теме

9. Записать числовые характеристики
показательного распределения.
10. Описать функцию надежности и ее
свойство.

46. Домашнее задание

Калинина В. Н.
Глава 6. Виды распределений.
§ 6.1 Равномерное распределение,
§ 6.6 Показательное распределение.