Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. Дифференциальные уравнения (продолжение)

План лекции
I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными (примеры)
II. Линейные однородные уравнения 1-ого порядка.
III. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка.
IV. Линейные однородные дифференциальные
уравнения 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами.

2. I. Примеры

х
1
dy
y
2
dx
0
1.
3
2
Найти общий интеграл.
3
2
(
x
1
)
(
y
2
)
0
Поделим обе части на
чтобы разделить переменные.
dy dx
3
0Проинтегрируем обе части:
2
(
y
2
) (
x
1
)
dy dx (C
const
)
C
2
3
(
y
2
)
(
x
1
)
(
y
2
)
d
(
y
2
)
(
x
1
)
d
(
x
1
)
2
3
1
1
- общий интеграл
C
2
y
2
2
(
x
1
)
После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно
y и получить общее решение.

3.

2.
2
y
y
cos
x
ln
y
Перепишем уравнение, заменив
y
на
dy
:
dx
dy 2
y cosxlny | dx
dx
2
2
ydx
cos
xlnydy | : ycos
x 0
dx
dy
dx lnydy
lny 2
2
cosx
y
cosx
y
1 2
tg
x lnyd
(ln
y) tg
x ln y C- общий интеграл
2

4.

3.
(y xy)dx (x xy)dy 0
Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося
общие множители за скобки:
y(1 x)dx x(1 y)dy 0 | : (yx)
1 x
1 y
1 x
1 y
dx
dy 0
dx
dy C
x
y
x
y
1
1
1 dx 1 dy C
x
y
dx
dy
dx y C
x
y
lnx x lny y C - общий интеграл

5.

4.
Найти частный интеграл уравнения
удовлетворяющий начальному условию
ydx ctgx dy 0 ,
y 1.
3
Найдем вначале общий интеграл.
ydx ctgx dy 0
| : yctgx 0
dx dy
dy
0 tgxdx
C
ctgx y
y
y
C
cos x
y
y
y
с
e
C1
C1
cos x
cos x
cos x
ln cos x ln y C ln

6.

y
C
cos x
С
1
2
y C cos x
2
- общее решение
e с , C C .
2
1
Используя начальное условие, подставляем в общее решение значения
, y 1
x
3
C 2
1 C cos
3
Найденное значение константы С подставляем в общее решение
y 2 cos x - искомое частное решение
2
2
2

7. II. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и её
производной y
Общий вид линейного уравнения:
y
P
x
y
Q
x
Рассмотрим случай однородного уравнения, когда
y
P
x
y
0
, т.е.:
Q
x 0
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
dy dx
dy
P
x
y
0
|
P
x
dx
0
dx dy
y

8.

Интегрируем:
dy
P x C lny P x dx
C
y
lny C P x dx y eC P x dx
P x dx
y e e
C
P x dx
y C
1 e
P x dx
y C
e
2
C
(здесь C
e
,C
C
1
2
1)
Пример.
y
y
ctg
x
0
Найти общее решение.
и тогда
x
ctg
x
Здесь P
ln
sin
x
ctg
xdx
y
Ce
y
C
y
C
sin
x
y
C
sin
x
y
C
sin
x
- искомое общее решение
1
(
C
C
)
1

9. III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

(
n
)
Уравнение вида y
f(x
)решается последовательным n-кратным
интегрированием.
Умножаем обе части уравнения на dx:
(
n
)
y
dx
f
x
dx
Интегрируем:
(
n
)
y
dx
x
dx
f
Получаем уравнение (n-1)-го порядка:
(
n
1
)
y
F
x
C
1
1,где F1(x)первообразная для f(x)
Снова умножаем обе части на dx и интегрируем:
(
n
2
) (
y
(
x
)
C
)
dxили
F
1
1
(
n
2
)
y
F
(
x
)
C
x
C
2
1
2и т.д.
Общее решение будет зависеть от n произвольных констант

10. Пример.

y 60x2 dx
y dx 60x2dx y dx 60x2dx
3
x
y 60 x2dx y 60
C
3
1
y 20x3 C1 dx
y dx (20x3 C1)dx y dx (20x3 C1)dx
y 5x4 C1x C2 dx
y dx (5x4 C1x C2)dx y dx (5x4 C1x C2)dx
2
x
y x5 C1
C2x C3
2

11. IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Такими уравнениями называются уравнения вида:
a
y
a
y
a
y
0
(1)
0
1
2
в котором все члены имеют первую степень относительно функции и её
производных, а коэффициенты
a,a,a - постоянные a 0
0 1 2
0
Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое
уравнение:
2
a
r
a
r
a
0(2)
0
1
2
которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой
функции соответствующими степенями r , причём сама функция
заменяется единицей.

12.

Общее решение имеет вид
y
C
y
x
C
y
x
1
1
2
2
где y1 и y2 - линейно независимые частные решения уравнения (1),
а С1 и С2 - произвольные постоянные.
Строится общее решение в зависимости от дискриминанта D
квадратного уравнения (2):
1) D 0
В этом случае имеем 2 различных действительных корня
и общее решение имеет вид:
r
x
r
x
1
2
1
2
r1 и r2
,
y
C
e
C
e
2) D 0
В этом случае имеем единственный действительный корень
r
x
0
решение имеет вид:
1 2
3) D 0
r
i
y
C
C
x
e
В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней
где i
1- мнимая единица, и
1
,2
действительные числа.
r0 , и общее
-

13.

y
e
C
cos
x
C
sin
x
Общее решение имеет вид:
x
1
2
Примеры выделения чисел и :
2
5
2
5
1
2
5
1
1. r
1
,
2
2
5
i
2
,
5
1
31 3
11 3
i
2. r
1
,
2
2 2 2 22
1
3
,
.
2
2

14. Примеры интегрирования уравнений

5
y
6
y
0
,
y
y
x
1. y
Характеристическое уравнение:
r
6
1
r
5
r
6
0
D
0
r
1
2
2
Имеем случай 1)
6
x
x
y
C
e
C
e
1
2 - общее решение
2
d
ydy
2.
4
4
y
0
,y
y
x
2
dx
dx
Характеристическое уравнение:
r
4
r
4
0
r
2
0
r
2
D
0
.
2
2
Имеем случай 2).
Общее решение запишется:
2
x
y
C
C
x
e
1 2

15.

2
d
SdS
3.
6
13
S
0
,
S
S
t
.
2
dt
dt
Характеристическое уравнение:
2
Имеем случай 3).
r
6
r
13
0
,
D
36
52
16
0
.
6
16
6
4
1
r
3
2
i
3,
2
1
,
2
2
2
2
Общее решение:
3
t
S
e
C
cos
2
t
C
sin
2
t
1
2
2
y
2
y
0
4. Найти частное решение уравнения y
с начальными условиями y
0
1
,y
0
1
.
Найдём общее решение.
Характеристическое уравнение:
2
2
r
2
r
2
0
,
D
2
4
1
2
4
0
имеем 2 комплексных корня
2
4
2
2
1
r
1
i
1
,
1
1
,
2
2
1
2

16.

Общее решение:
x
y
e
C
cos
x
C
sin
x
*
1
2
x
x
y
e
C
cos
x
C
sin
x
e
C
sin
x
C
cos
x
1
2
1
2
В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия
x
0
,
y
1
x
0
,
y
1
:
0
1
e
C
cos
0
C
sin
0
1
2
0
0
1
e
C
cos
0
C
sin
0
e
C
sin
0
C
cos
0
2
2
1
2
1
С
С
1
1
1
1
С
С
С
2
1
2
2
С
1и С
2подставляем в общее решение * :
x
y
e
cos
x
2
sin
x
- искомое частное решение.
Найденные значения