Дифференциальные уравнения первого порядка

1.

Определение дифференциального уравнения (ДУ).
Общее и частное решение ДУ. Задача Коши.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ДУ с разделяющимися переменными.
Однородные ДУ.
Линейные ДУ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Линейные (не)однородные ДУ.

2.

Уравнение, связывающее независимую переменную x с
неизвестной функцией y(x) и ее производными до некоторого
порядка n включительно, называется дифференциальным
уравнением n-ого порядка.
дифференциальное уравнение
1-ого порядка
y 2 y x
2-ого порядка
2
y xy
3-его порядка
y 2 y 0

3.

ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ n-ОГО ПОРЯДКА
F ( x, y, y ,..., y ( n ) ) 0
F – некоторая функция от n+2 переменных,
(1)
n 1
x – независимая переменная, y(x) – искомая функция,
y ( x),..., y ( n ) ( x)
- ее производные
Дифференциальное уравнение n-ого порядка называется
разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет
вид:
y ( n ) f ( x, y, y ,..., y ( n 1) )

4.

Решением дифференциального уравнения (1) называется
функция y(x), имеющая производные до n-ого порядка
включительно, и такая, что ее подстановка в уравнение (1)
обращает его в тождество
Решением уравнения
y 2 y является функция y ( x) e 2 x
y (e 2 x ) 2e 2 x
2x
2x
2
e
2
e
y e2 x

5.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ
БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ
Общее решение дифференциального уравнения зависит от
произвольных постоянных, число которых равно порядку
дифференциального уравнения
Частное решение дифференциального уравнения получается
из общего путем придания конкретных значений произвольным
постоянным
Задача о нахождении решения некоторого дифференциального
уравнения называется задачей интегрирования данного
дифференциального уравнения
График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой

6.

Общим решением дифференциального уравнения (1) n-ого
порядка называется такое его решение, y ( x, с1 , с2 ,..., сn )
которое является функцией переменной x и n произвольных
независимых постоянных с1 , с2 ,..., сn .
Отыскание частного решения дифференциального уравнения
(1) n-ого порядка, удовлетворяющего n начальным условиям вида:
y ( x0 ) y0
y ( x0 ) y0
1
.................
y ( n 1) ( x0 ) y0
( n 1)
называется задачей Коши

7.

ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ОГО
ПОРЯДКА
F ( x, y, y ) 0
(2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-ОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
y f ( x, y )
f – некоторая функция двух переменных
(3)

8. Геометрический смысл уравнения (3)

D – множество точек плоскости OXY, на котором определена
функция f(x,y), причем D – окрестность (вместе с каждой своей точкой
содержит и некоторую окрестность этой точки).
y tg f ( x, y )
Уравнение (3) каждой
точке (x,y) плоскости OXY
сопоставляет направление
касательной к интегральной
кривой y=y(x), проходящей
через эту точку
Уравнение (3) задает поле
направлений в области D.
Решить уравнение (3) – значит
найти
отвечающих заданному полю направлений
семейство
кривых,

9.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
P( x)dx Q( y )dy 0
P( x)dx Q( y)dy 0
e dx ( y 1)dy 0
x
(5)
- ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ

10. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

y p ( x) g ( y )
Данное уравнение сводится к уравнению с разделенными
переменными
dy
dy
y
p ( x) g ( y )
dx
dx
dy
p( x)dx
g ( y)
dy
g ( y) p( x)dx

11. Пример

y
y ,
x
y ( 4) 1
dy
y dy
dx
ln y c1 ln x ln c ln x
dx
x
y
x
c
y
x
- общее решение
c
4
y (4) 1 1 c 4 y
4
x
- частное решение

12. Пример

x
2
( ye 9 y) y e (1 y ) 0
x
x
y
e
dy x
dx,
2
1 y
e 9
1 y 0
2
e 9 0
x
1
2
x
ln 1 y ln( e 9) c1
2
1
ln 1 y 2 ln( e x 9) ln c 1 y 2 c(e x 9)
2

13. Однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка

Функция f(x,y) называется однородной функцией
n-ого порядка, если f ( x, y ) n f ( x, y )
f ( x, y) x 2 xy -однородная функция 2 порядка
2 2
2
2
2
f ( x, y) x 2 x y ( x 2 xy) f ( x, y)
2
Дифференциальное уравнение y f ( x, y ) называется
однородным, если функция f(x,y) есть однородная
функция нулевого порядка, т.е. f ( x, y ) f ( x, y )

14. Однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка

Однородное дифференциальное уравнение можно
представить в виде:
y
y ( ) (8)
x
Если f(x,y) – однородная функция нулевого порядка,
то f ( x, y ) f ( x, y )
1
x y
y
Положим : f ( x, y ) f ( , ) f (1, )
x
x x
x
y
( )
x

15. Однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка

Однородное уравнение (8) преобразуется в
уравнение с разделяющимися переменными:
y
u y u x y u x u
x
Подставим в уравнение (8):
u x u (u )
u x (u ) u - уравнение с разделяющимися
переменными
Найдя его общее решение, следует заменить в нем u
на y . Получим общее решение исходного уравнения.
x

16. Однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка

Однородные уравнения часто задаются в
дифференциальной форме:
P( x, y )dx Q( x, y )dy 0
Это дифференциальное уравнение будет
однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные
функции одинакового порядка:
x y
1 n
P( , )
( ) P ( x, y )
dy
P ( x, y )
x
x
x
x y
1 n
dx
Q ( x, y )
Q( , )
( ) Q ( x, y )
x x
x

17. Пример

x y y
x
2
y
2
x y y
x y y
f ( x, y)
f ( x, y )
x
x
2 2
2 2
2
2
y
u y u x y u x u
x
(*)
x y y
x x u xu
2
1 u u
x
x
2
2
2
2 2
(**)

18. Пример

u x u 1 u u u x 1 u
du
dx x 0
,
2
2
x
1 u 0
1 u
2
2
arcsin u ln x c
u sin(ln x c)
y x sin(ln
y 2
1 ( ) 0
x
x c),
x y -особое решение

19.

Пример 2. y 2 dx x 2 xy dy 0,
2
y
y
2
разделим на x
dx 1 dy 0,
2
x
x
y
и вводим новую переменную t , dy tdx xdt ,
x
t 1 dx
t 1
dx
,
dt ,
t
x
t
x
y
et
C1 x; y Ce x
.
t

20. Линейные дифференциальные уравнения 1-ого порядка

Дифференциальное
уравнение
первого
порядка называется линейным, если его можно
записать в виде y p ( x) y g ( x)
(1)
где p(x) и g(x) – заданные функции.
Искомая функция y и ее производная y входят в уравнение,
не перемножаются между собой

21. Метод Бернулли

Решение уравнения ищется в виде
y u v , где
u u ( x), v v( x) - неизвестные
функции от x, причем одна из них произвольна 0
y u v u v
Подставим в (1) u v u v p ( x )uv q ( x )
u v u (v p ( x )v ) q ( x )
Подберем функцию v(x) так, чтобы v p ( x )v 0
dv
p ( x)v ln v p ( x) dx c
dx

22.

Так как функция v(x) подбирается свободно, то можно
принять c=0
v e
p ( x ) dx
Подставим в (2): u v q (x ) или u e
p ( x ) dx
q ( x)
p ( x ) dx
u q ( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
du
q( x) e
u q( x) e
dx c
dx
p ( x ) dx
p ( x ) dx
y ( q ( x) e
dx c) e

23. Пример

2y
2
y
5x
x
y u v y u v u v
2
2
2
2
u v u v uv 5 x u v u (v v) 5 x
x
x
2
dv
2
1
v v 0
dx ln v 2 ln x ln 2
x
v
x
x
1
1
2
4
5
v 2 u 2 5 x u 5 x u x c
x
x
1
c
5
3
y ( x c) 2 x 2
x
x

24.

Пример. y ytgx cosx;
y u x v x , y u v v u,
u v v u uvtgx cos x
u v u v vtgx cos x,
Выбреем функцию v(x) так, чтобы v vtgx 0 .
dv
1
tgxdx
,
ln
v
ln
cos
x
,
v
,
v
cos x
1
du
u cos x,
cos 2 x,
cos x
dx
dv
v vtgx,
vtgx,
dx
1
2
2 x sin 2 x C .
du
cos
xdx
,
u
4
1
2 x sin 2 x .
Таким образом y
4 cos x

25. Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли - это
n
(3)
y
p
(
x
)
y
g
(
x
)
y
уравнение вида
где n R; n 0, n 1
n=0 уравнение (3) становится линейным
дифференциальным уравнением первого порядка
n=1 уравнение (3) имеет вид дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными
y ( g ( x) p ( x)) y
В дальнейшем будем считать, что
n 0, n 1

26. Пример

6x
Уравнение Бернулли
e
y y 2
6x
2
y
y e y
y
2
3
6x
y y y e
1
3
2
2
z y z 3 y y y y z
3
1
6x
6x
z z e z 3 z 3e
3
z u v z u v u v
6x
u v u v 3uv 3e
6x
u v u(v 3v) 3e

27. Пример

1
1
x
3
v 3v 0 dv dx ln v x v e
3v
3
3x
v e
e u 3e u 3e
3x
u e c
3x
6x
3x
z e (e
3x
y
3
3x
c) e
6x
ce
z e (e c)
x
3x
1
3
3x

28. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка

Уравнение вида
y
(n)
a1 ( x) y
( n 1)
... an ( x) y f ( x) (1)
называется линейным неоднородным
дифференциальным уравнением n-ого порядка
Уравнение вида
y
(n)
a1 ( x) y
( n 1)
... an ( x) y 0 (3)
называется линейным однородным
дифференциальным уравнением n-ого порядка,
соответствующее уравнению (1)

29. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка

( о структуре решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения )
Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения (1) есть сумма
частного решения yчн (x) этого уравнения и общего
решения yоо (x) соответствующего линейного
однородного уравнения (3).
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО
УРАВНЕНИЯ
yон ( x) yчн ( x) yоо ( x)
(4)

30. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Функции y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x) называются линейно
зависимыми на отрезке [a,b], если существуют
n
такие числа ci 0, i 1, n : ci 0 ,что выполняется
1
следующееi тождество:
с1 y1 ( x) с2 y2 ( x) ... сn yn ( x) 0, x a, b (5)
Если тождество (5) выполняется в случае, когда
все с1 , с2 ,..., сn равны нулю, то функции
y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x)
называются линейно независимыми

31. Линейные однородные дифференциальные уравнения

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО, ПОСТРОЕННЫЙ
ДЛЯ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x)
y1 ( x)
y2 ( x) ... yn ( x)
y1 ( x) y2 ( x) ... yn ( x)
W ( y1 , y2 ,..., yn ) W ( x)
...
...
...
...
( n 1)
( n 1)
( n 1)
y1 ( x) y2 ( x) ... yn ( x)

32. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Свойства определителя Вронского:
Если функции y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x) линейно
1.
зависимы, то их определитель Вронского
тождественно равен нулю на отрезке [a,b].
Если функции y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x) линейно
независимые решения линейного однородного
2. дифференциального уравнения, определенные
на отрезке [a,b], то их определитель Вронского
ни в одной точке отрезка [a,b] не равен нулю, т.е
W ( y1 , y2 ,..., yn ) 0, x a, b

33. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Система функций y ( x),..., y ( x) , состоящая из n
1
n
линейно независимых решений линейного
однородного дифференциального уравнения (3)
называется фундаментальной системой решений
(ФСР) этого уравнения.
( о структуре общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения)
Пусть y1 ( x),..., yn ( x) - ФСР линейного однородного
дифференциального уравнения (3). Тогда общее
решение этого уравнения задается формулой
yоо ( x) с1 y1 ( x) с2 y2 ( x) ... сn yn ( x) (6)

34. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

y py qy 0 (7)
p, q – действительные числа
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (7)
yоо ( x) с1 y1 ( x) с2 y2 ( x)
y1 ( x), y2 ( x) - ФСР уравнения (7)
с1 , с2 - произвольные числа
(8)

35. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

МЕТОД ЭЙЛЕРА
Решение уравнения (7) будем искать в виде:
y( x) e , - неизвестное число
x
x
2 x
y ( x) e , y ( x) e
Подставим решение в уравнение (7):
2 x
x
x
e p e qe 0
Характеристическое уравнение
p q 0
2
(9)

36. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

p q 0
2
(9)
Случай 1:
D p 4q 0
2
1 , 2 - два различных действительных
решения уравнения (9)
1 x
y1 ( x) e - решения уравнения (7)
2 x
y2 ( x ) e
1 x
2 x
(10)
yоо ( x) с1e с2 e

37. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

1 x
y1 ( x) e , y2 ( x) e
2 x
- ФСР уравнения (7)
( т.к. по 2 свойству определителя Вронского
решения линейно независимы)
1 x
2 x
e
e
1 x 2 x
W ( y1 , y2 ) x
(
)
e
e
0
2
1
2 x
1
1e
2e
D 0 2 1 0
1 x
2 x
e 0, e 0

38. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

p q 0
2
(9)
Случай 2:
D p 4q 0
p
1 2 - решения уравнения (9)
p 2
x
2
y1 ( x) e
y2 ( x) xe
2
p
x - решения уравнения (7)
2
p
p
x
x
(11)
2
2
оо
1
2
y ( x) с e
с xe

39. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

y1 ( x) e
p
x
2
p
x
2 - ФСР уравнения (7)
, y2 ( x) xe
( т.к. по 2 свойству определителя Вронского
решения линейно независимы)
p
x
2
p
x
2
e
xe
px
p e
W ( y1 , y2 ) p p x
0
x
p
e 2 (1 x)e 2
2
2

40. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

p
x
2
Покажем, что y2 ( x) xe
является
решением уравнения (7)
y2 ( x) e
p
x
2
p
(1 x); y2 ( x) e
2
p
x
2
2
p
( p x)
4
Подставим в уравнение (7):
p
x
2
2
p
x
2
p
x
2
p
p
e ( p
x) pe (1 x) qxe 0
4
2
2
2
p
p
(
q) x 0 0 0, т.к. D 0 q 0
4
4

41. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

p q 0
2
(9)
D p 4q 0
p
D - два различных комплексных
1, 2 i
решения уравнения (9)
2
4
2
Случай 3:
p
,
2
x
D
4
y1 ( x) e sin x
x
- решения уравнения (7)
y2 ( x) e cos x
x
x
yоо ( x) с1e sin x с2 e cos x (12)

42. Пример

y 2 y 2 y 0
2 2 0
D 4 8 4 0
2
2 2i
1, 2
1 i
2
x
x
y1 e sin x, y2 e cos x
yоо ( x) с1e sin x с2 e cos x
x
x

43. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

y py qy f (x)
(1)
p, q – действительные числа
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (1)
yон ( x) yоо ( x) yчн ( x)
yчн (x) - частное решение уравнения (1)
yоо (x) -общее решение соответствующего
однородного уравнения (2)
y py qy 0
(2)

44. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ
Построение решения уравнения (2) рассмотрено ранее
Пусть y1 ( x), y2 ( x) - ФСР уравнения (2)
yчн ( x) с1 ( x) y1 ( x) с2 ( x) y2 ( x) (3)
с1 ( x), с2 ( x) - неизвестные функции

45. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

Подставим решение вида yчн с1 y1 с2 y2
в уравнение (1)
Для этого предварительно вычислим
производную этого решения
yчн (с1 y1 с2 y2 ) (с1 y1 с2 y2 )
Потребуем дополнительно с1 y1 с2 y 2 0 (4)
yчн с1 y1 с2 y2
yчн с1 y1 с1 y1 с2 y2 с2 y2

46. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

yчн , yчн , yчн в уравнение (1)
( y1 py1 qy1 )с1 ( y2 py2 qy2 )с2
с1 y1 с2 y2 f ( x)
Подставим
Так как y1 ( x), y2 ( x)- решения уравнения (2),
то выражения в скобках равны нулю
с1 y1 с2 y2 f ( x)
(5)

47. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

Объединим условия (4) и (5) в одну систему
с1 y1 с2 y2 0
с1 y1 с2 y2 f ( x)
(6)
Решением системы (6) является:
y2 f ( x)
с1 ( x)
dx
W ( y1 , y2 )
y1 f ( x)
с2 ( x )
dx
W ( y1 , y2 )
Найденные выражения c1(x) и c2(x) подставим в (3)

48. Пример

y y 6e
yон ( x) yоо ( x) yчн ( x)
2x
НАЙДЕМ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО
ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
yоо ( x) ?
y y 0
2
1 0 1
x
x
e , e - ФСР
x
x
yоо ( x ) c1e c2 e

49. Пример

НАЙДЕМ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ yчн ( x) ?
yчн ( x) c1 ( x)e
x
c2 ( x ) e
x
3x
x
x
c1 e c2 e 0 c1 e
x
x
x
2x
c2 3e
c
e
c
e
6
e
2
1
3x x
x x
2x
yчн ( x) e e 3e e 2e
yон ( x) c1e
x
c2 e 2e
x
x

50. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
y py qy f (x)
(1)
p, q – действительные числа
x
f ( x) e ( Pn ( x) cos x Qm ( x) sin x) (7)
, - заданные постоянные
Pn ( x), Qm ( x) - многочлены степени n и m
соответственно, зависящие от x

51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

r x
yчн ( x) x e ( Al ( x) cos x Bl ( x) sin x) (8)
r - показатель кратности корня i
2
характеристического уравнения p q 0
Al ( x), Bl ( x) - многочлены степени l max m, n
зависящие от x с неопределенными
коэффициентами A0 , A1 ,..., Al , B0 , B1 ,..., Bl
l 1
l 2
Al ( x) A0 x A1 x A2 x ... Al
l
l 1
l 2
Bl ( x) B0 x B1 x B2 x ... Bl
l

52. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами

Замечания:
Если в выражение (7) в функцию f(x) входит
1. хотя бы одна из функций cos x или sin x,то
в частном решении yчн (x) надо вводить обе
функции
Если правая часть уравнения (1) равна сумме
нескольких различных функций рассматриваемой
структуры (7), то для отыскания частного
2.
решения такого уравнения надо использовать
теорему о наложении решений, т.е. надо найти
частные решения соответствующих отдельных
слагаемых правой части, а затем взять их сумму

53. Пример

4x
y 2 y 3 y e
yон ( x) yоо ( x) yчн ( x)
НАЙДЕМ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО
ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
yоо ( x) ?
y 2 y 3 y 0
2
2 3 0 1 1; 2 3
x
3 x - ФСР
e ,e
x
3x
yоо ( x) c1e c2 e

54. Пример

НАЙДЕМ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ yчн ( x) ?
yчн ( x ) Ae
4x
4x
yчн ( x) 4 Ae ; yчн ( x) 16 Ae
4x
8 Ae 3 Ae e
1 4x
1
yчн ( x ) e
5A 1 A
5
5
16 Ae
4x
yон ( x ) c1e
4x
x
c2 e
4x
3x
4x
1 4x
e
5