358.30K
Категория: ФизикаФизика

Кинематика точки. Лекция №2.1

1.

Лекция № 2.1
Учебная дисциплина: Теоретическая механика
Раздел: Кинематика
Тема:
Кинематика точки.
Учебные вопросы:
1.
Основные понятия кинематики.
2.
Способы задания движения точки.
3.
Частные случаи движения точки.

2.

Кинематикой называется раздел механики, в котором
изучается движения точки или тела без учета причин,
вызывающих или изменяющих его, т.е. без учета действующих
на них сил.
Разделы кинематики
КИНЕМАТИКА
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО
ТЕЛА

3.

Основные задачи кинематики точки
описание способов задания движения точки;
определение кинематических характеристик движения точки
(скорости, ускорения).
Скорость точки – это величина, которая характеризует как быстро и в каком
направлении меняется положение точки в пространстве.
Ускорение точки – это мера движения, которая характеризует как быстро и в
каком направлении меняется скорость точки в пространстве.
Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было
каким-либо образом задано (описано).
Задать движение или закон движения тела (точки) относительно какойнибудь системы отсчета − значит задать условия, позволяющие определить
положение этого тела относительно данной системы отсчета в любой
момент времени.

4.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИ ТОЧКИ
1. Векторный способ задания движения
2. Координатный способ задания движения
3. Естественный способ задания движения

5.

Векторный способ задания движения точки состоит в том, что
задается закон изменения радиус−вектора движущейся точки
М как функции времени:
М
z
О
y
x
Это равенство называется векторным уравнением движения
точки или законом движения точки в векторной форме.

6.

Определение скорости точки
Пусть
– радиус−вектор, определяющий положение точки
М в момент времени t;
М
z
М1
О
y
x
– радиус−вектор, определяющий положение
точки М в момент времени
t1 = t + Δt

7.

Тогда
где
М
z
М1
О
y
x

8.

Средней скоростью перемещения точки называется вектор,
равный отношению вектора перемещения точки к промежутку
времени Δt.
z
М
М1
О
y
x
Средняя скорость перемещения есть вектор, направленный по
вектору перемещения.

9.

Скорость точки в данный момент времени находится как
предел средней скорости при стремлении промежутка времени
к нулю, то есть
z
М
М1
О
y
x

10.

Следовательно,
Скорость точки в данный момент времени равна векторной
производной от радиуса−вектора точки по времени.
z
М
М1
О
y
x
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки
в сторону движения.

11.

Определение ускорения точки
М
Пусть
М1

12.

Средним ускорением точки называется вектор, равный
отношению вектора приращения скорости точки к промежутку
времени Δt.
М
М1
Среднее ускорение точки есть вектор того же направления, что
и вектор приращения скорости.

13.

Ускорением в данный момент времени называется
предельное значение среднего ускорения при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть
М
М1

14.

Таким образом:
Ускорение точки есть вектор, равный первой производной
вектора скорости по времени или второй производной от
радиуса−вектора точки по времени.
Вектор ускорения
траектории.
направлен
в
сторону
вогнутости

15.

Координатный способ задания движения точки состоит в том,
что в некоторой системе отсчета Оxyz задаются координаты
движущейся точки М как функции времени:
z
x = x(t)
М
y = y(t)
z(t)
x(t)
x
О
z = z(t)
y(t)
y

16.

Эти уравнения, заданием которых полностью определяется
движение точки, называются уравнениями движения точки в
координатной форме.
Уравнения являются параметрическими, в которых роль
параметра играет время t.
По ним легко определить уравнение траектории точки в
декартовых координатах.
Чтобы записать уравнение траектории в явном форме, надо
исключить из них время.

17.

Как известно из математики, радиус−вектор выражается
формулой:
(1)
где
x (t), y (t), z (t) − проекции радиус−вектора на
декартовой системы координат;
оси
Формула (1) выражает связь между координатным и
векторным способами задания движения.

18.

Определение скорости точки
По определению
Так как
Следовательно,

19.

Продифференцировав выражение, получаем:
С другой стороны
Следовательно,
Проекции скорости точки на оси неподвижных декартовых
координат равны первым производным от соответствующих
координат точки по времени.

20.

Определение ускорения точки
Из определения ускорения:
Так как
Следовательно,

21.

Продифференцировав выражение, получаем:
С другой стороны
Следовательно,
Проекции ускорения точки на оси неподвижных декартовых
координат
равны
вторым
производным
от
соответствующих координат точки по времени.

22.

При естественном способе задаются:
траектория точки;
М
+
О

начало отсчета на траектории;
положительное
отсчета;
закон
изменения
координаты:
направление
дуговой
s = s(t)

23.

Определение скорости точки
М
М1
s1
О

+
s
Δs
Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

24.

Отношение пройденного пути Δs к промежутку времени Δt
называется средней скоростью точки за время Δt.
Скорость точки в данный момент времени находится как
предел средней скорости при стремлении промежутка времени
к нулю, то есть

25.

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент времени
равно производной от дуговой координаты по времени.
М
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки
в сторону движения.

26.

Определение ускорения точки
М
М1
+
О

Пусть

27.

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1
+
О

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной системы
координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

28.

Ось Мτ направлена по касательной к траектории
положительном направлении отсчета дуговой координаты.
в
М
τ
М1
+
О

n
b
Ось Мn направлена по главной нормали в сторону вогнутости
траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена так,
чтобы она образовывала с ними правую тройку.

29.

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости, то
проекция вектора ускорения на бинормаль равна нулю, то есть
М
τ
М1
+
О

b
n
Таким образом

30.

где
τ
М
+
О

b
n
Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.

31.

τ
М
+
О

b
n
Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.

32.

Вектор
ускорения
точки
изображается
диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и нормальной
составляющих.
τ
М
+
О

b
n
Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по
модулю

33.

Равномерное движение точки
Движение точки называется равномерным, если модуль ее
скорости не изменяется во время движения, то есть
Уравнение равномерного движения точки имеет вид:

34.

Равнопеременное движение точки
Равнопеременным движением точки называется такое
движение, при котором касательное ускорение является
величиной постоянной, то есть
Уравнение равнопеременного движения точки имеет вид:

35.

Если
то равнопеременное
равноускоренным.
движение
называется
то равнопеременное
равнозамедленным.
движение
называется

36.

Если движение равномерное, то
Следовательно,
Если движение прямолинейное, то
Следовательно,

37.

1. Движение равномерное и прямолинейное.
Следовательно,
М

38.

2. Движение переменное и прямолинейное.
Следовательно,
М
Приведен случай замедленного движения.

39.

3. Движение равномерное и криволинейное.
Следовательно,
М

40.

4. Движение переменное и криволинейное.
Следовательно,
М

41.

Пример
По заданному уравнению движения точки М установить вид ее
траектории и для момента времени t = t1 найти положение
точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и
нормальное ускорение, а также радиус кривизны.
(1)
при

42.

1. Определим траекторию движения точки М.
Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме,
исключим время t из уравнений (1).
В результате произведенных вычислений получаем:
y
x
Траекторией движения является парабола.

43.

Начальное положение точки М: М0(0; 4).
Положение точки М в момент времени t1: М1(–2; 0).
y
М0
М1
x

44.

2. Определим скорость точки М.
По определению
y
М0
М1
x
то
Так как

45.

3. Определим ускорение точки М.
По определению
y
М0
Так как
М1
x
то

46.

4. Определим радиус кривизны траектории в точке М.
По определению
Так как
где
или
Окончательно получаем:

English     Русский Правила