Признаки равенства треугольников

1.

Признаки равенства
треугольников по
трём медианам, по
трём высотам и по
трём биссектрисам
Треугольники могут быть равны, если у них равны
соответствующие стороны и углы. Однако, есть и другие признаки
равенства, которые основаны на различных характеристиках
треугольников. В этой презентации вы узнаете о том, каким
образом равенство треугольников можно доказать с помощью
медиан, высот и биссектрис.

2.

Свойства треугольников по трем
медианам
Медианы пересекаются в одной точке
Точка пересечения медиан называется центроидом. Она делит каждую медиану в отношении
2:1.
Центроид является центром тяжести треугольника
Центр тяжести треугольника находится на пересечении трёх медиан и является точкой
приложения его веса.
Равенство треугольников можно доказать, если медианы равны
Если медианы одного треугольника равны медианам другого треугольника, то треугольники
равны между собой.

3.

Свойства треугольников по трем
высотам
Равенство прямых углов
Высота, проведённая к гипотенузе, делит
прямой угол на два меньших угла, которые
равны соответствующим углам прилежащих
катетов.
1
2
3
Высоты пересекаются в одной
точке
Равенство треугольников можно
доказать, если высоты равны
Точка пересечения высот называется
Если высоты одного треугольника равны
ортоцентром. Она лежит внутри или на
высотам другого треугольника, то
расстоянии равном одной стороне от
треугольники равны между собой.
треугольника.

4.

Свойства треугольников по трём
биссектрисам
Биссектрисы
Расстояния до сторон
Равенство
пересекаются в одной
равны
треугольников можно
точке
доказать
, если
Расстояние от центра
биссектрисы
равны
Точка пересечения
вписанной окружности до
биссектрис называется
любой стороны
Если биссектрисы
центром вписанной
треугольника равно
соответствующих углов
окружности. Она лежит на
половине суммы этой
одного треугольника равны
биссектрисе угла,
стороны и двух других
биссектрисам
относящегося к той стороне,
сторон, взятых в
соответствующих углов
которая соответствует
уменьшенном соотношении.
другого треугольника, то
данному углу.
треугольники равны между
собой.

5.

Примеры использования свойств
равенства треугольников
1
2
3
Нахождение точки
пересечения медиан
Центроид используется
Нахождение
расстояний в
треугольниках
Нахождение
вписанной
окружности
для нахождения центра
Высоты используются для
Центр вписанной
тяжести треугольника, а
нахождения расстояний в
окружности используется
также в задачах на поиск
треугольниках, а также для
для нахождения радиуса
точки пересечения медиан.
доказательств неравенств
вписанной окружности и
треугольников.
других характеристик
треугольника.

6.

Задачи на применение
свойств равенства
треугольников
1
Задача на
равенство
треугольников по
трём медианам
2
Задача на
расстояние до
стороны
треугольника
Даны медианы
В треугольнике ABC
треугольника ABC: AD =
проведены биссектрисы
6, BE = 9, CF = 12.
углов A и C. Из вершины
Доказать, что
В проведена высота BH,
треугольник ABC равен
которая пересекает
треугольнику XYZ, где
биссектрису угла C в
медианы даны
точке L. Найти
соответственно: XH = 6,
расстояние от точки L до
YK = 9, ZL = 12.
стороны AC, если BL = 3
и AH = 4.
3
Задача на нахождение площади треугольника
В треугольнике ABC BQ и CR – высоты. Из точки P на
высоте BQ опущена перпендикуляр PQ на CR. Известно,
что PR=2, PQ=4, QR=3. Найдите площадь треугольника
ABC.