Треугольник и его элементы

1. Геометрия

Тема:Треугольник
Выполнила учитель математики
РСШ: Гутникова Е. А.

2. Цели и задачи

Раскрыть содержание понятие
треугольник и его элементов.
Сформировать умения
наблюдать, подмечать
закономерности, обобщать,
проводить рассуждения по
аналогии.

3. Неравенство треугольника

M
A
b
c
B
a
BAM B C
C
В любом треугольнике
каждая сторона меньше
суммы двух других сторон
a-b<c<a + b,
где a, b, c — длины сторон
треугольника, причем a > b
Внешний угол треугольника
равен сумме двух
внутренних, не смежных с
ним углов

4. Сумма углов треугольника 180°

5.

В треугольнике против большей стороны
лежит больший угол, против большего
угла — большая сторона
a 2 b2 c 2
b
a
с
остроугольный
a b c
2
a
2
a b c
2
c
b
прямоугольный
2
a
2
c
b
т
упоугольны
й
2

6. Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между
ними (С У С)

7.

По стороне и двум прилежащим к ней
углам (УСУ)

8.

По трем сторонам (С С С)

9. Признаки подобия треугольников

По двум углам (У У)

10.

По двум сторонам и углу между ними
(С У С)
ka
a
b
kb

11.

По трем сторонам (С С С)
ka
a
kb
b
c
kc

12.

B
Прямая, параллельная
стороне треугольника,
отсекает от него
треугольник, подобный
данному.
Сходственные линейные
элементы подобных
треугольников
пропорциональны
сходственным сторонам.
Периметры подобных
треугольников относятся
как сходственные стороны.
Площади подобных
треугольников относятся
как квадраты
сходственных сторон
P
A
P1
A1
Q
C
PQ || AC ABC ~ PBQ
AB AC BC
k коэффициент подобия
PB PQ BQ
AA1
PP1 || AA1
k
PP1
S ABC
AB AC BC
k;
k2
PB PQ BQ
S PBQ

13. Медиана

B
C1
À
M
A1
B1
C
AM : MA1 BM : MB 1
CM : MC 1 2 : 1
AA1 ma ; BC a; AC b; AB с
2
2
2
2
b
2
c
a
AA12 ma2
4
Медианой треугольника
называется отрезок, который
соединяет вершину
треугольника с серединой
противолежащей стороны
Медианы треугольника
пересекаются в одной точке
(центре тяжести
треугольника) и делятся этой
точкой в отношении 2:1,
считая от вершины
Медиана делит треугольник
на два равновеликих
треугольника. Три медианы
делят треугольник на шесть
равновеликих треугольников

14. Высота

Высотой
треугольника
называется
отрезок
перпендикуляра,
опущенного
из
вершины
треугольника
на
прямую,
содержащую
противолежащую сторону.
Все высоты треугольника пересекаются в одной
точке — ортоцентре треугольника
A
B
AA1 ,BB1 ,CC1 высота ABC
AA1 ha ;BB1 hb ; CC1 hc
h ортоцентр
1
1 1 1
ha hb hc r
r радиус вписанной окружности
A1
C1
C1
H
A1
A
B1
C
C
B1
H
B

15. Биссектриса

Биссектрисой
треугольника называется
отрезок биссектрисы
A
внутреннего угла
треугольника.
Все биссектрисы
треугольника
пересекаются в одной
точке — центре
вписанной в треугольник
окружности.
Биссектриса делит
противолежащую
сторону на отрезки,
пропорциональные
прилежащим сторонам
треугольника
B
C1
O
A1
B1
C
CA1 AC
ab
CA1
;
A1 B AB
b c
A1 B
ac AO b c
;
b c OA1
a
AA12 AB AC A1 B A1C
AA1
2 AB AC
A
cos
AB AC
2

16.

A
L
B
LAM 90o
LB AB
LC AC
M
C
Биссектрисы
внутреннего и смежного с
ним внешнего углов
треугольника
перпендикулярны.
Биссектриса внешнего
угла неравнобедренного
треугольника пересекает
продолжение
противолежащей
стороны в точке, отстоящей от концов этой
стороны на расстояния,
пропорциональные
длинам двух других
сторон

17. Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия параллельна третьей стороне и
равна ее половине
B
P
PQ || AB
PQ
A
Q
C
1
AB
2

18. Серединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром
называется прямая,
перпендикулярная стороне
треугольника и делящая ее
пополам.
Все серединные
перпендикуляры сторон
треугольника пересекаются в
одной точке — центре
описанной около треугольника
окружности. Около каждого
треугольника можно описать
окружность и притом только
одну.
Точка пересечения серединных
перпендикуляров
треугольника является точкой
пересечения высот
треугольника, образованного
средними линиями данного.
B
C
A
O
AO BO CO R
P
A
B
O
L
Q
C

19. Площадь треугольника

1
1
1
aha bhb chc
2
2
2
1
1
1
S ab sin C ac sin B bc sin A
2
2
2
S p( p a )( p b )( p c ) (формула Герона )
S
B
S rp
abc
S
4R
1
p (a b c ) полупериметр
A
2
r радиус вписанной окружности
R радиус описанной окружности
a
c
b
C

20.

a b c 2 bc cos A
2
2
2
Квадрат стороны
треугольника равен
сумме квадратов
двух других сторон
без удвоенного
произведения этих
сторон на косинус
угла между ними.
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
Стороны
треугольника
пропорциональны
синусам
противолежащих
им углов.

21. Вписанная окружность

В каждый треугольник
можно вписать окружность
и притом только одну.
Ее центр — точка
пересечения биссектрис.
Формулы для вычисления
радиуса.
B
V
O
W
S
r
p
A
B
C
r ( p a ) tg ( p b) tg ( p c ) tg
2
2
2
( p a )( p b )( p c )
r
p
p полупериметр
A
T
C
OT AC ; OV AB; OW BC
AV AT p a
BV BW p b
CW CT p c

22. Описанная окружность

Около каждого
треугольника можно
описать окружность и
притом только одну.
Ее центр — точка
пересечения серединных
перпендикуляров к
сторонам треугольника.
Формулы для вычисления
радиуса.
a
b
c
2 sin A 2 sin B 2 sin C
abc
R
2S
R
C1
A1
O
A
B1
C
AB1 B1C ; AC1 C1 B; BA1 A1C
OA1 BC; OB1 AC; OC1 AB
OA OB OC R

23. Прямоугольный треугольник

Сторона прямоугольного
треугольника,
a
противолежащая прямому
углу, называется
ка
те
т
гипотенузой, две другие
стороны называются
катетами.
Теорема Пифагора Квадрат
длины гипотенузы равен
сумме квадратов длин
катетов. с2 =a2 +b2
с
гип
оте
нуз
а
b
ка
те
т

24. Свойства прямоугольного треугольника

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного
треугольника, равна половине гипотенузы.
Только в прямоугольном треугольнике центр
описанной окружности лежит на стороне
треугольника (совпадает с серединой гипотенузы)
B
a
C
OA OB OC R
с
O
b
A
1
c
2

25. Площадь прямоугольного треугольника

1
1
S ab, S ch,
2
2
h высота, проведенная к гипотенузе

26. Тригонометрические функции острых углов прямоугольного треугольника

Синусом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение
противолежащего катета к
гипотенузе.
Косинусом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение
противолежащего катета к
прилежащему.
Котангенсом острого угла в
прямоугольном треугольнике
называется отношение прилежащего
катета к противолежащему
a
с
b
a
b
a
; cos ; tg
c
c
b
90 o
sin
b
cos
c
a
cos cos(90 o ) sin
c
b
tg tg(90 o ) ctg
a
sin sin( 90 o )

27. Значения тригонометрических функций некоторых углов

0
sin
o
0
cos 1
tg
0
30
o
45
o
60
o
o
90 180
o
1
2
1
2
3
2
1
0
3
2
1
2
1
2
0
1
1
3
1
не опр
0
3

28. Признаки прямоугольных треугольников

Если квадрат одной из сторон
треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон, то такой
треугольник прямоугольный. Если
медиана треугольника равна половине
соответствующей ей стороны, то
треугольник прямоугольный

29. Решение прямоугольных треугольников

Дано : гипотенуза и острый угол
Дано : катет и острый угол.
x a cos
x a tg
y a sin
a
cos
y
90o
a
y
a
y
x
x
Дано : высота, опущенная на гипотенузу ,
и острый угол
h
y
cos
h
x
sin
z h ctg
t h tg
x
y
h
Катет, лежащий против угла
30о , равен половине гипотенузы.
A
z
1
1
2
30 о
t
C
3
2
B

30. Соотношения в прямоугольном треугольнике

B
a1
C1
a
BC 2 BC1 AB; a 2 a1 c
AC 2 AC1 AB; b 2 b1 c
b1 c
CC12 BC1 C1 A; h2 a1 b1
h
C
b
A
ab
h
c

31. Вычисление радиусов вписанной и описанной окружности

2 R AB c (b r ) (a r )
2 R a b 2r
a b c
r
p c
2
2( R r ) a b
A
b -r
b -r
r
r
r
C
a -r
r
r
a -r
B

32. Треугольники классифицируют по сторонам: разносторонние, равнобедренные, равносторонние; a также по углам: остроугольные,

тупоугольные и
прямоугольные.
Треугольники
разносторонние
равнобедренные
Остроугольные
Тупоугольные
Прямоугольные
о
45
равносторонние

33. Равнобедренный треугольник

основание
о на
тор
бок
ова
я ст
оро
н
а
вершина равнобедренного
треугольника
яс
ова
бок
Равнобедренным
треугольником
называется треугольник
с двумя равными
сторонами.
Общая вершина равных
(боковых) сторон
называется вершиной
равнобедренного
треугольника, а третья
сторона основанием.

34. Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равны.
Высота, проведенная из
вершины равнобедренного
треугольника, является
медианой и биссектрисой
(осью симметрии).
Высоты (биссектрисы,
медианы), проведенные к
боковым сторонам, равны
B
C1
А
AA1 BC
CC1 AB
А1
C
AA1 CC1
Все эти свойства равнобедренного треугольника обратимы и
могут быть использованы для получения признаков
равнобедренного треугольника

35. Правильный треугольник

Правильным
(равносторонним)
называется
треугольник, все
стороны которого
равны

36. Свойства правильного треугольника

Все углы равностороннего
треугольника равны 60°.
Только в правильном
треугольнике совпадают точки
пересечения медиан, биссектрис,
высот, серединных
перпендикуляров. Эта точка
называется центром правильного
треугольника и является
центром вписанной и описанной
окружностей.
Центр правильного
треугольника делит его высоты в
отношении 2:1, считая от
вершины.
Только в правильном
треугольнике
R 2r
2
a
h
3
3
B
A1
C1
о
60
A
B1
AB BC AC a
AA1 BB1 CC1 h
h
3
a
2
C

37. Площадь равностороннего треугольника

S
a
2
3
4

38. Теорема Чевы

Отрезки АА1, BB1, CC1
тогда и только тогда
пересекаются в
одной точке, когда
AB1 CA1 BC1
1
B1C A1 B C1 A
B
B
1
F
A
C
1
A
1
C

39. Теорема Менелая

Точки A1, В1, С1 тогда
и только тогда лежат
на одной прямой,
когда
AB1 BC1 CA1
1
B1C C1 A A1 B
A
C1
B1
B
A1
C

40. Теорема Стюарта

A
AA1 l , тогда
b a1 c a 2
l
a1a 2
a1 a 2
2
2
2
c
B
a1
l
b
A1
a2
C

41.

Центры
вневписанных
A
окружностей лежат
c
в точках пересечения
B
биссектрисы
T1
внутреннего и двух
b
K
биссектрис внешних
Oa
углов треугольника.
C
T2
1
AT1 AT2 ( AB BC CA) p
2
BK p c; CK p b