Признаки равенства треугольников. Геометрия

1.

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

2.

Треугольник
Дано:
∆АВС
А, В, С – вершины ∆АВС
АВ, ВС, АС– стороны ∆АВС
А, В, С – углы ∆АВС
Вершины (3)
В
Стороны (3)
А
С
Углы (3)

3.

Равенство треугольников
Два треугольника называются равными, если их
можно совместить наложением.
С1
В1
А1
С
∆АВС = ∆А1В1С1
А
В

4.

Равенство треугольников
Если два треугольника равны, то элементы (т.е.
стороны и углы) одного треугольника соответственно
равны элементам другого треугольника.
С1
В1
А1
С
А
Дано:
∆АВС = ∆А1В1С1
АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1
А = А1, В = В1, С = С1
В

5.

Первый признак равенства треугольников
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного
треугольника равны соответственно двум сторонам
и углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники равны.
С1
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АС = А1С1, АВ = А1В1,
А = А1
А1
С
А
В
В1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

6.

Перпендикуляр к прямой
Дано:
прямая а,
АН – перпендикуляр к а
АН а
Н – основание
перпендикуляра
А
а
0
1
2
3
4
Н
5
6
7
8
9
10
11

7.

Перпендикуляр к прямой
Теорема
Из точки не лежащей на прямой, можно провести
перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
А
В
Дано:
прямая ВС, А ВС
С
Доказать:
1) существует АН ВС;
2) АН – единственный
М

8.

Медиана треугольника
Определение
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны, называется
медианой треугольника.
А
В
М
Дано:
∆АВС, М ВС
ВМ = МС
АМ – медиана ∆АВС
С

9.

Медиана треугольника
Любой треугольник имеет три медианы.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
А
С1
В
В1
А1
С
Дано: ∆АВС
А1 ВС, ВА1 = А1С;
В1 АС, АВ1 = В1С;
С1 АВ, АС1 = С1В;
АА1 ВВ1, СС1 – медианы ∆АВС

10.

Биссектриса треугольника
Определение
Отрезок
биссектрисы
угла
треугольника,
соединяющий
вершину
треугольника
с
точкой
противоположной стороны, называется биссектрисой
треугольника.
А
В
К
Дано:
∆АВС, ВАК = САК,
К ВС
АК – биссектриса ∆АВС
С

11.

Биссектриса треугольника
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
А
С1
В
В1
А1
С
Дано: ∆АВС
А1 ВС, ВАА1 = САА1;
В1 АС, АВВ1 = СВВ1;
С1 АВ, ВСС1 = АСС1;
АА1 ВВ1, СС1 – биссектрисы ∆АВС

12.

Высота треугольника
Определение
Перпендикуляр,
проведённый
из
вершины
треугольника к прямой, содержащей противоположную
сторону, называется высотой треугольника.
А
В
Н
Дано:
∆АВС, АН ВС, Н ВС
АН – высота ∆АВС
С

13.

Высота треугольника
Любой треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника или их продолжение
пересекаются в одной точке.
А
С1
В1
В
А1
С
Дано: ∆АВС
А1 ВС, АА1 ВС;
В1 АС, ВВ1 АС;
С1 АВ, СС1 АВ;
АА1 ВВ1, СС1 – высоты ∆АВС

14.

Равнобедренный треугольник
Определение
Треугольник называется равнобедренным, если
две его стороны равны.
А
В
основание
Дано: ∆АВС
АВ = АС
АВ, АС – боковые стороны ∆АВС
ВС – основание ∆АВС
С

15.

Равносторонний треугольник
Определение
Треугольник, все стороны которого равны
называется равносторонним.
А
В
Дано: ∆АВС
АВ = АС = ВС
С

16.

Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 1
В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны.
А
Дано: ∆АВС
АВ = АС
1 2
В
D
Доказать:
В = С
С

17.

Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 2
В
равнобедренном
треугольнике
биссектриса,
проведённая к основанию, является медианой и высотой.
А
Дано: ∆АВС
АВ = АС; 1 = 2.
1 2
Доказать:
1) BD = DC;
2) AD DC.
В
3 4
D
С

18.

Свойства равнобедренного треугольника
Утверждение 1
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к
основанию, является медианой и биссектрисой.
Утверждение 2
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к
основанию, является высотой и биссектрисой.
А
В
D
Дано: ∆АВС – р/б
АВ = АС;
BD = DC;
AD DC;
В = С.
С

19.

Второй признак равенства треугольников
Теорема
Если сторона и два прилежащих к ней углам
одного треугольника соответственно равны стороне
и
двум
прилежащим
к
ней
углам
другого
треугольника, то такие треугольники равны.
С1
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АВ = А1В1,
А = А1, В = В1
А1
С
А
В
В1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

20.

Третий признак равенства треугольников
Теорема
Если три стороны одного треугольника
соответственно равны трём сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
С1
С
А
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АВ = А1В1,
АС = А1С1,
ВС = В1С1
А1
В
В1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

21.

Использованы ресурсы
Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений /
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.:
Просвещение, 2012.
http://www.graphicsfuel.com/2012/07/pencil-icon-vector-psd/
- карандаш