Похожие презентации:
Математическое описание детерминированных сигналов
1. ТЕМА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Дляизучения
сигналов
необходимо
их
теоретическое описание с помощью моделей.
Одна из форм моделей – математическое описание
сигналов в виде функциональных зависимостей,
аргументом которых является время.
u(t)=U0cos(wt+j)
Другой
формой
может
быть
описание
в
спектральной
области,
когда
аргументом
функции является частота. Соответствие между
временнЫм
и
частотным
представлением
устанавливается
с
помощью
прямого
и
обратного преобразования Фурье.
Cигнал, описываемый одной функцией времени S(t)
- одномерный. Иначе - многомерный
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ
Основными энергетическими характеристикамивещественного сигнала s(t) являются его мощность и
энергия.
Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного
значения s(t):
p (t) = s2(t).
Если s (t) — напряжение или ток, то р (t) есть мгновенная
мощность, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом.
Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл
от мгновенной мощности:
t2
t2
2
E p (t )dt s (t )dt
Отношение
t1
t1
t2
E
1
2
2
s (t )dt s (t )
t2 t1 t2 t1 t1
имеет смысл средней мощности сигнала на интервале t2 , t1.
4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ
Реальные сигналы имеют конечнуюдлительность и ограниченную по
величине мгновенную мощность. Энергия
таких сигналов конечна.
В теории сигналов часто рассматриваются
функции времени, заданные на всей оси
времени — < t < при конечной
величине средней мощности.
Говорить об энергии подобных сигналов,
обращающейся в бесконечно большую
величину, не имеет смысла.
5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
Принцип динамического представления: реальный сигнал S(t)приближенно описывается суммой некоторых элементарных
сигналов dn(t), возникающих в последовательные моменты
времени. Если длительность сигналов dn(t) -> 0, то получим в
пределе точное представление сигнала S(t).
2 способа представления: 1) dn(t) - ступенчатые функции (а); 2) dn(t) прямоугольные импульсы (б).
dn(t)
S(t)
S(t)
Sn
S2
d1(t)
S1
а
tn
S1
Sn
б
d1(t)
d0(t)
t
S0
0
t
2 t
n t
t
dn(t)
0
t1
tn = n t
t
6. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ
Пусть математическая модель сигнала dn(t) задаётсясистемой равенств
0, t t ,
d n (t ) 0.5[(t / t ) 1], t t t ,
1, t t .
переход совершается по линейному закону за время 2 t.
t1
d(t)
d(t)
1
1
t1 t
0.5
– t
n2
t
0
а
t
n1
0.5
0
n2 n1
t
б
7. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ
Пусть математическая модель сигнала dn(t) задаётсясистемой равенств
0, t t ,
d n (t ) 0.5[(t / t ) 1], t t t ,
1, t t .
переход совершается по линейному закону за время 2 t.
t1
d(t)
1
t1 t
0.5
– t
0
а
t
d(t)
1
n2
0.5
n1
t
0
б
Другой вариант определения функции (рис. б):
1
d n (t )
1 exp( nt )
n2 n1
t
8. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ
Если t устремить к нулю, то в пределе переход будетсовершаться мгновенно. Математическая модель этого
предельного сигнала g(t) - функция включения, или
функция Хевисайда, или единичный скачок:
0, t 0 ,
g (t ) 0.5, t 0 ,
1, t 0 .
С помощью функции включения g(t) удобно описывать, в
частности импульсные сигналы, а также разнообразные
процессы коммутации в электрических цепях.
В общем случае функция включения может быть смещена
относительно начала отсчёта времени на значение t0:
0, t t0 ,
g (t t0 ) 0.5, t t0 ,
1, t t .
0
9. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ
Пример: сигнал S(t)=0 при t=0 и изменяется по закону S(t)=At2при t>0 (парабола). Запишем динамическое представление
этого сигнала с помощью функций Хевисайда g(t).
Так как S0 = 0, а ds / d = 2A ,
S (t ) 2 A g (t )d
0
Смысл этой формулы в том, что высота элементарных
ступенек, из которых складывается сигнал, линейно
нарастает во времени.
10. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
Рассмотрим свойства элементарного сигнала в видекороткого прямоугольного импульса d(t), задаваемого
следующим образом:
d (t , t )
1 t t
g t g t
t
2
2
(t-t0)
d(t)
1/ t
1
1/ t
– t/2
t/2
0
t
t0
а
б
Этот импульс характерен тем, что при любом выборе
параметра t его площадь
равна единице:
П d d (t , t )dt 1
t
11. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
Например, если S(t) – напряжение, то Пd = 1 В с. Пусть t 0Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою
площадь, поэтому его высота должна неограниченно
возрастать. Предел такой функции при t 0 носит
название дельта-функции или функции Дирака:
(t ) lim t 0 d (t , t )
Дельта-функция равна нулю всюду, за исключением точки t =
=0 (сосредоточена в этой точке), и обладает единичным
интегралом:
(t )dt 1
Дельта-функция - математическая модель короткого воздействия единичного импульса (площадь=1), смещённого от начала
отсчёта времени на значение t0, и записывается как
(t t0 )
Физическая размерность дельта-функции - размерность частоты.
12. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
Рассмотрим аналоговый сигнала S(t), представляемыйсуммой примыкающих друг к другу прямоугольных
импульсов. Если Sn – значение сигнала на n-м отсчёте, то
элементарный импульс с номером n представляется так:
dn (t ) = Sn[ (t tn ) (t tn t )]
По принципу динамического представления исходный сигнал
S(t) должен рассматриваться как сумма таких
элементарных слагаемых:
S (t ) d n (t )
n
Если перейти к пределу при t 0 (интегрированию по
формальной переменной = n t), получим формулу
динамического представления сигнала
S (t ) S ( ) (t )d
13. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
• Если непрерывную функцию S(t) умножить надельта-функцию и произведение
проинтегрировать по времени, то результат
будет равен значению непрерывной функции
S(t = tn) в точке tn = n t, где сосредоточен импульс. В этом состоит фильтрующее свойство
дельта-функции.
S (t ) S ( ) (t )d
14. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Для теории сигналов и их обработки важное значение имеетразложение заданной функции f(х) по различным
ортогональным системам функций jn(х).
Бесконечная система действительных функций
j0 ( x), j1 ( x), j2 ( x),...jn ( x),....
называется ортогональной на отрезке [а, b], если
При этом
Т.е. никакая из функций рассматриваемой системы не равна
тождественно нулю.
15. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
Если выполняется условието функция jn(x) называется нормированной функцией, а система
ортогональных функций
j0 ( x), j1 ( x), j2 ( x),...jn ( x),....
называется ортонормированной.
Величина
называется нормой функции jn(x).
16. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ
В математике доказывается, что если функции jn(x) непрерывны,то произвольная кусочно-непрерывная функция f (x), для которой
выполняется условие
может быть представлена в виде суммы ряда
при этом коэффициенты сn определяются как
Такой ряд называется обобщенным рядом Фурье по данной системе
функций. Набор коэффициентов сn называется спектром сигнала
f(x) в данной системе функций и полностью определяет этот
сигнал.
17. СПЕКТР
Выше понятие спектра было дано как наборкоэффициентов сn. В более широком
смысле спектр (от лат. spectrum –
представление, образ, призрак) –
совокупность всех значений какой-либо
величины, характеризующей систему или
процесс. Чаще всего пользуются
понятием частотного спектра колебаний
(электромагнитных или акустических),
либо энергетического спектра (может
быть связан с частотным, поскольку
Е= ћw).
18. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Если функции jn(x) принимают комплексные значения, то условиеортогональности
Квадрат нормы функции
Коэффициенты Фурье
j*n(x) - функция, комплексно-сопряженная функции jn(x).
19. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ
Для функции времени s(t) ряд будем записывать в формеКвадрат нормы функции
Таким образом, энергия сигнала
а при использовании ортонормированной системы функций
20. ВЫБОР ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Если задачей является точное разложение напростейшие ортогональные функции, то
наибольшее распространение получила
ортогональная система основных
тригонометрических функций — синусов и
косинусов.
Причины:
1) гармоническое колебание - единственная функция
времени, сохраняющая свою форму при
прохождении через любую линейную цепь (с
постоянными параметрами). Изменяются лишь
амплитуда и фаза колебания.
2) Разложение сложного сигнала по синусам и
косинусам позволяет использовать
символический метод, разработанный для
анализа передачи гармонических колебаний через
линейные цепи.
21. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
При разложении в ряд Фурье периодического сигнала s(t) с периодомТ по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной
системы берут
либо
В первом случае получают ряд Фурье в тригонометрической форме,
во втором – в комплексной. Между ними есть простая связь.
Интервал ортогональности в обоих случаях равен периоду T=2p/w1
функции s(t).
Ряд Фурье в комплексной форме:
Совокупность коэффициентов сn называется частотным спектром
периодического сигнала.
22. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Определим коэффициенты сn.Таким образом,
Тогда коэффициенты ряда
Поскольку
получим
Т.е. коэффициенты сn имеют действительную (косинусную) часть сnс и
мнимую (синусную) часть сns .
23. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Коэффициенты сn часто удобно записывать в видегде
четная ф-ция отн. n
нечетная ф-ция отн. n.
Тогда ряд Фурье можно представить как
Если выделить из ряда пару слагаемых для заданного n (n=2) и
учесть, что
получим
24. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Тогда ряд Фурье в тригонометрической форме:Вещественная функция 2 |cn| cos (nw1t+Qn)
получается как сумма проекций на
горизонтальную ось ОВ двух векторов
длиной |сn|, вращающихся с угловой
частотой w1 во взаимно противоположных
направлениях. Вектор, вращающийся
против часовой стрелки, соответствует
положительной частоте, а вектор,
вращающийся по часовой стрелке, —
отрицательной. После перехода к
тригонометрической форме понятие
«отрицательная частота» теряет смысл.
Коэффициент с0 не удваивается, так как в
спектре периодического сигнала
составляющая с нулевой частотой не
имеет «дублера».
25. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Часто встречается другая форма записи выражения для ряда Фурье:Амплитуда n-й гармоники Аn связана с коэффициентом |сn|
соотношением:
Таким образом, для всех n ≥ 0
Если сигнал – четная функция времени – в тригонометрической
записи остаются только косинусоидальные члены (bn=0), в
противном случае – только синусоидальные (an=0).
26. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Две характеристики – амплитудная и фазовая, т.е. модули иаргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью
определяют структуру частотного спектра периодического
колебания. Распределение амплитуд удобно представлять в
графической форме. Для полной характеристики спектра следует
добавить информацию о фазах отдельных гармоник.
Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов
Фурье периодической функции времени
27. СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Спектр периодической функции являетсялинейчатым или дискретным, так как состоит из
отдельных линий, cоответствующих дискретным
частотам 0, w1, w2 = 2w1, w3 = 3w1 и т. д.
Использование для гармонического анализа
сложных периодических колебаний рядов Фурье в
сочетании с принципом наложения представляет
собой эффективное средство для изучения
влияния линейных цепей на прохождение
сигналов.
28. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (МЕАНДР)Поскольку
, получим:
Начальные фазы всех гармоник равны –p/2.
Ряд Фурье в тригонометрической форме:
29. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (МЕАНДР)Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда
Фурье для меандра.
Для случая четной функции:
30. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (МЕАНДР)Результат суммирования гармоник
С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к
функции е (t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется
выброс. При n величина этого выброса равна 1,18E – явление
Гиббса.
31. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
ПИЛООБРАЗНОЕ КОЛЕБАНИЕРезультат суммирования
первых пяти гармоник
Функция нечетная, поэтому косинусоидальные члены равны нулю.
Выражение для ряда Фурье:
Амплитуды гармоник убывают по закону 1/n, где n=1,2,3…
32. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
УНИПОЛЯРНЫЕ ТРЕУГОЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСЫСумма первых
трех гармоник
Выражение для ряда Фурье:
Амплитуды гармоник относительно быстро убывают с частотой, так
как функция не имеет разрывов.
33. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
УНИПОЛЯРНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСЫВеличина N=T/ и называется скважностью. Пусть N > 2.
Среднее значение
(постоянная составляющая):
Коэффициент n-й гармоники:
Выражение для ряда Фурье (ф-ция четная,
):
34. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
УНИПОЛЯРНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСЫСПЕКТР СИГНАЛА:
При больших значениях N спектр сигнала содержит очень большое
число медленно убывающих по амплитуде гармоник. Расстояние
между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних
гармоник близки по величине.
Для малых n
Постоянная составляющая вдвое меньше
амплитуды первой
гармоники.
35. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей осивремени, совпадает со средней мощностью за период Т.
Средняя мощность периодического сигнала:
или
(с учетом того, что
)
Если s(t) представляет собой ток i(t), (то при прохождении его
через сопротивление R выделяется средняя мощность:
При этом I0 – постоянная составляющая, In – амплитуда n-й
гармоники тока.
36. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Итак, полная средняя мощность равна суммесредних мощностей, выделяемых отдельно
постоянной составляющей I0 и гармониками с
амплитудами I1, I2, ... Это означает, что средняя
мощность не зависит от фаз отдельных гармоник.
Это вытекает из ортогональности спектральных
составляющих, в данном случае на интервале Т.
37. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Периодический сигнал S(t) часто описываетсянесколькими общепринятыми обобщающими
параметрами: амплитудным, средним,
средневыпрямленным и среднеквадратическим
значениями – называемыми интегральными.
Амплитудное (пиковое) значение Sm равно
максимальному мгновенному значению сигнала S(t) на
его периоде.
Среднее значение Scp определяется как
и характеризует постоянную составляющую сигнала.
38. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Cредневыпрямленное значение:используется для сигналов, не содержащих постоянную
составляющую.
Среднеквадратическое значение:
где An – среднеквадратическое (эффективное) значение n-й
гармоники сигнала S(t).
Большинство вольтметров проградуировано в среднеквадратических
значениях напряжения (RMS).
39. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Связь между перечисленными параметрамиустанавливается с помощью следующих
трех коэффициентов:
Коэффициент формы kф = Sск / Sсв ,
Коэффициент амплитуды kа = Sm / Sск
Коэффициент усреднения kу = Sm / Sсв = kа kф.
40. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Пусть задан непериодический сигнал в виде функции, отличной отнуля на интервале t1, t2.
Выделим произвольный интервал Т, включающий в себя интервал t1,
t2. Таким образом сведем ситуацию к периодическому сигналу,
повторяющемуся через период Т. Тогда
Для перехода к непериодической функции
При этом
коэффициенты сn и интервал между гармониками стремятся к нулю.
41. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Число гармонических составляющих становится бесконечно большим,расстояние между ними – бесконечно малым. Спектр становится
сплошным. Тогда от суммирования можно перейти к
интегрированию.
Переход w1 dw; nw1 w. Приходим к двойному интегралу Фурье:
Внутренний интеграл (функция w)
называется спектральной плотностью (или спектральной функцией,
или спектральной характеристикой, или Фурье-образом) функции
s(t). В общем случае неуточненных t1, t2 получаем выражения для
прямого и обратного преобразования Фурье:
42. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
По аналогии с рядом Фурье можно записать:Модуль и аргумент функции спектральной плотности определяются
как
Первое выражение можно рассматривать как амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ), а второе – как фазо-частотную
характеристику (ФЧХ) спектра непериодического сигнала.
Переход к тригонометрической форме:
43. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральнаяфункция в первом интеграле является четной, а во втором — нечетной
относительно w. Следовательно, второй интеграл равен нулю и
окончательно
При w=0
Спектральная плотность S(w) есть амплитуда напряжения (тока),
приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая
включает в себя рассматриваемую частоту w.
Между сигналом s(t) и его спектром S(w) существует взаимнооднозначное соответствие.
44. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СИГНАЛОВ
Пусть сигнал s(t) есть произведение двух функций времени f(t) и g(t).Спектр сигнала:
Каждую функцию можно представить в виде интеграла Фурье:
Тогда
или
45. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СИГНАЛОВ
Спектр произведения двух функций времени f(t) и g(t) равен скоэффицентом 1/2p свертке их спектров F(w) и G(w).
При w=0 получим:
Тогда
- комплексно-сопряженная спектральная функция.
Аналогично для произведения двух спектров
- результат равен свертке двух функций времени f(t) и g(t) с
коэффицентом 2p .
46. ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ w И t В ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФУРЬЕ
Переменные w и t в преобразованиях Фурье взаимно заменимы; есликолебанию (четному) s (t) соответствует спектр S (w), то колебанию
S (t) соответствует спектр 2p s (w).
47. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Если f(t) и g(t) представляют собой одно и то же колебание,То полная энергия сигнала s(t) представляется как интеграл
Произведение спектральных плотностей G(w) и F*(w) можно привести к
виду
Тогда
Это равенство Парсеваля – соотношение между энергией сигнала и
модулем его спектральной плотности.
Величину |S (w)|2, имеющую смысл энергии, приходящейся на
частотный интервал в 1 Гц, можно рассматривать как спектральную
плотность энергии сигнала.
48. CООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ И ШИРИНОЙ СПЕКТРА СИГНАЛА
Чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр.Определения длительности сигнала и ширины его спектра различны и
зависят от формы сигналов.
В некоторых случаях выбор является произвольным. Например:
- Ширину спектра прямоугольного импульса определяют либо как
основание главного лепестка либо на уровне 1/ 2 от максимального
значения спектральной плотности.
- Длительность колоколообразного импульса и ширину его спектра
иногда определяют на уровне 0,606 от максимального значения
соответственно s (t) или S (w).
- Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под
шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю
полной энергии сигнала.
Для выявления предельных соотношений, связывающих
длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории
сигналов большое распространение получил метод моментов.
Также широко используется такой параметр, как произведение
ПОЛОСА Х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ.
49. CООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ И ШИРИНОЙ СПЕКТРА СИГНАЛА
Понятие длительности сигнала имеет ясный физический смыслдля импульсных сигналов (прямоугольный, треугольный и
др.), определённых на конечных интервалах времени.
Для сигналов, определённых на бесконечном или
полубесконечном интервале времени (например гауссов
или экспоненциальный импульсы), используют понятие
эквивалентной или эффективной длительности сигнала э
в одном из двух определений:
1)
под эффективной длительностью понимают конечную
величину э, определённую из решения уравнения
где (t2 – t1) = э, – коэффициент, численно определяющий
часть полной энергии сигнала, чаще всего принимаемый
= 0,9 и реже = 0,95 или 0,99.
50. CООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ И ШИРИНОЙ СПЕКТРА СИГНАЛА
2) в качестве э принимается интервал времени, ограниченныйзначениями t1 и t2, для которых значение S(t) уменьшается
с максимального до 0,1 или 0,05.
Техническая ширина спектра сигнала - полоса частот
fс, в которой сосредоточена основная часть
(90…95 %) энергии сигнала.
51. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСА Х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ
По аналогии с моментом инерции в механике эффективнуюдлительность сигнала Тэф можно определить как
где середина импульса t0 определяется из условия
Эффективная ширина спектра
определяется по аналогии:
Так как модуль спектра S (w) не зависит от смещения s (t) во времени,
можно положить t0 =0. Далее, сигнал s (t) можно нормировать таким
образом, чтобы его энергия Э равнялась единице.
52. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСА Х ДЛИТЕЛЬНОСТЬ
Тогда получим:В этих условиях
Тогда произведение полоса х длительность запишется как
‼ Полную длительность сигнала следует приравнять к 2Тэф, полную
щирину спектра – к 2 Wэф. Произведение Тэф Wэф зависит от формы
сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что
наименьшее возможное значение Тэф Wэф = 1/2 соответствует
колоколообразному импульсу.
53. ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ СИГНАЛОВ
1 Теорема суммированияСпектр суммы временных функций сигналов равен
сумме значений амплитудных и фазовых спектров
этих сигналов.
2 Теорема умножения на постоянное число
Изменение значений (амплитуды) функции сигнала в
«а» раз приводит к изменению в «а» раз значений
его амплитудного спектра без изменения его
ширины:
54. ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ СИГНАЛОВ
3 Теорема запаздывания (смещения по времени)Сдвиг начала отсчёта функции сигнала на время
t0 приводит к изменению значений его фазового
спектра на величину
4 Теорема умножения на
(смещения по частоте)
Умножение функции сигнала на величину
вызывает смещение спектра на
55. ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ СИГНАЛОВ
5 Теорема подобияИзменение временного масштаба функции сигнала в
«а» раз приводит к изменению в «а» раз значений
его амплитудного спектра, частоты гармоник и
ширины частотной полосы амплитудного и
фазового спектра:
При сжатии колебания в а раз на временной оси во
столько же раз расширяется его спектр на оси
частот. Модуль спектральной плотности при этом
уменьшается в а раз. При растягивании колебаний
во времени (а<1) получается сужение спектра и
увеличение модуля спектральной плотности.
56. ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ СИГНАЛОВ
6 Теорема дифференцированияДифференцирование функции сигнала адекватно умножению
его исходного спектра на величину jw, что приводит к
увеличению в «w» раз значений амплитудного спектра и
сдвигу на p / 2 значений фазового спектра:
7 Теорема интегрирования
Интегрирование функции сигнала адекватно делению его
исходного спектра на величину jw, что приводит к
уменьшению в «w» раз значений амплитудного спектра и
сдвигу на –p / 2 значений фазового спектра:
57. ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ СИГНАЛОВ
8 Теорема о свёртке двух сигналовСпектр свёртки двух сигналов определяется
произведением их спектров
где
Свертка позволяет рассчитать сигнал на выходе
фильтра с импульсной характеристикой S2(t) при
подаче на него сигнала S1(t)
58. СВЕРТКА СИГНАЛОВ
Графическое представление свертки двух сигналов1) два прямоугольных импульса
2)
Прямоугольный импульс и импульсная функция
с экспоненциальным затуханием
59. ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ СИГНАЛОВ
9 Теорема дуальности (взаимной обратимостичастоты и времени)
Если S(t) имеет спектр U(jw), то, рассматривая этот
спектр как функцию сигнала U(t), исходный сигнал
S(t), представленный в частотной области как S(–
jw), рассматривается в качестве спектра сигнала
U(t).