Корреляционный анализ детерминированных сигналов

1. ТЕМА 3 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

2. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ (АКФ) СИГНАЛА

Наряду со спектральным подходом для описания свойств сигналов
широко используется корреляционный анализ. Он дает
информацию о скорости изменения сигнала и его длительности
без разложения на спектральные составляющие. Основная
область применения – анализ сигналов, сдвинутых во времени.
Для детерминированного сигнала s(t) конечной длительности
корреляционная функция определяется как
где t – временной сдвиг сигнала. Для вещественных функций
времени знак комплексного сопряжения можно опустить, при
этом получим скалярное произведение сигнала и копии
Величина Bs(t) характеризует степень связи (корреляции) сигнала со
своей копией, сдвинутой во времени на величину t. При t =0 Bs(t)
достигает максимума (сигнал полностью коррелирован с собой).
При этом
Такая функция называется также автокорреляционной функцией,
т.к. характеризует степень корреляции сигнала со своей
собственной копией.

3. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ (АКФ) СИГНАЛА

Как видим, корреляционная функция определена
по сути через операцию свертки.
Автокорелляционная функция – свертка сигнала
со своей копией. Для прямоугольного импульса
автокорреляционная функция:

4. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СИГНАЛА

Примеры
построения
автокорреляционной
функции
прямоугольного (слева) и треугольного (справа) импульса.
для

5. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СИГНАЛА

Поскольку безразлично, в какую сторону сдвигать сигнал на
величину t, можно записать:
Таким образом, Bs(t) – четная функция t.
Для периодических сигналов (энергия бесконечно велика) такое
определение неприемлемо. Для них применяют определение:
При таком определении Bs пер(t) приобретает размерность мощности,
а Bs(0) равна средней мощности периодического сигнала.
Ввиду периодичности сигнала усреднение по Т эквивалентно
усреднению по одному периоду сигнала Т1. Тогда
Очевидно, что периодическому сигналу соответствует
периодическая автокорреляционная функция.
также

6. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

t2
Ý p (t )dt
t1
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ
АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ
ФУНКЦИИ
Слева вверху – периодическая последовательность импульсов и ее
автокорреляционная функция. Справа - пачка из 4-х
прямоугольных импульсов и ее автокорреляционная функция.

7. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ (ВКФ)

Для оценки степени связи между различными сигналами s1(t) и s2(t)
применяют ВКФ, определяемую как
Для вещественных функций s1(t) и s2(t)
АКФ является частным случаем ВКФ при s1(t) = s2(t).
Выражение для ВКФ можно обобщить следующим образом:

8. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ (ВКФ)

Последнее выражение не означает, что ВКФ является четной
относительно t !! Далее, она не обязательно достигает максимума
при t=0. Пример:

9. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Рассмотрим выражение для спектра произведения двух функций:
Если в нем положить f(t)=s(t), g(t)=s(t+t), а также соответственно
то получим:
Поскольку
получим в итоге:

10. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Итак, прямое преобразование Фурье корреляционной функции дает
спектральную плотность энергии сигнала, а обратное
преобразование дает корреляционную функцию.
Важные свойства:
Чем шире спектр S (w) сигнала, тем меньше интервал корреляции, т.
е. сдвиг t, в пределах которого корреляционная функция отлична от
нуля. Соответственно чем больше интервал корреляции заданного
сигнала, тем уже его спектр.
Корреляционная функция Bs (t) не зависит от ФЧХ спектра сигнала.
Так как при заданном амплитудном спектре S (w) форма функции s (f)
существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать следующее
заключение:
Различным по форме сигналам s (t), обладающим одинаковыми
амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые
корреляционные функции Bs (t).

11. АКФ ДИСКРЕТНОГО ВО ВРЕМЕНИ СИГНАЛА

• Сигналы с дискретной во времени структурой широко
используются для кодирования информации.
• Дискретный во времени сигнал представляется целым
числом “m” равных интервалов дискретизации его
длительности, на которых сигнал Sm может принимать
фиксированные значения.
• В этом случае для АКФ операцию интегрирования можно
заменить операцией суммирования, а переменную t изменять
дискретно на величину интервала дискретизации сигнала,
тогда АКФ принимает вид
R ( n) ( S m S m n )
m
• где n – целое число, указывающее, на сколько интервалов
дискретизации сдвинута копия сигнала.
• АКФ дискретного сигнала при n = 0 равна энергии сигнала.

12. АКФ ДИСКРЕТНОГО ВО ВРЕМЕНИ СИГНАЛА

• Пример дискретного во времени сигнала - сигналы Баркера,
которые принимают фиксированные значения, кодируемые,
например, числами 1 и – 1
Sm(t)
1
1
1
1
1
t
0
-1
-1
-1
-1
ts
Sm(t)
ts
1
1
1
1
n
1
t
0
-1
-1
-1
-1
m= 7
R(n)
1
n
-7
-5
-3
-1
0
1
3
5
7

13. АКФ ДИСКРЕТНОГО ВО ВРЕМЕНИ СИГНАЛА

• Сигналы Баркера можно реализовать при числе
интервалов дискретизации m = 2, 3, 4, 5, 7; 11 и 13.
• АКФ таких сигналов обладают следующим
уникальным свойством: их значения при всех n 0
равны некоторому уровню (принимаемому за
единицу), а при n = 0 в “m” раз превышают этот
единичный уровень.
• Это позволяет улучшить обработку сигнала на
фоне помех.

14. ОБОБЩЕННАЯ СТРУКТУРНАЯ СХЕМА КОРРЕЛОМЕТРА

• Схема содержит линию переменной задержки (ЛПЗ) сигнала
во времени, перемножитель и интегратор (рисунок 1.28).
Коррелируемые сигналы S1(t) и S2(t) соответственно подаются
на вход перемножителя и ЛЗ. Сигнал S2(t), задержанный в ЛЗ
на время t, перемножается с сигналом S1(t), и полученный
результат поступает на интегратор. Сигнал на выходе
интегратора является функцией корреляции R12(t).
S1(t)S2(t–t)
t2
S1(t)
t1
ЛПЗ
S2(t)
R12(t)