Геометрические прогрессии высших порядков

1.

Исследовательская работа
Тема: Геометрические прогрессии высших
порядков
Автор работы:
Черепахин Григорий Юрьевич
11-2 класс, МАОУ лицей №18
Научный руководитель:
Малаховский Николай Владиславович
Кандидат физико-математических наук,
Доцент кафедры естественнонаучных и гуманитарных дисциплин
Московской финансово-юридической академии, Калининградский филиал
г. Калининград
2019 год

2.

Содержание
• Введение
• Понятие геометрической прогрессии высшего порядка
• Теоремы для геометрических прогрессий высших порядков
• Примеры применения геометрических прогрессий высших
порядков
• Заключение
• Библиография

3.

Введение
• Актуальность работы: тема, взятая мной для исследования, не изучается
школьниками и сложна для понимания, а между тем является достаточно
интересной и может иметь практическое применение.
• Цель работы: теоретическое исследование геометрических прогрессий
высших порядков.
• Поставленные задачи: изучение основных понятий по теме, обобщение
результатов предшествующих исследований, выделение основных
аспектов теории для создания краткого, лаконичного и полезного
конспекта, который мог бы помочь людям на ранних стадиях изучения
данной темы.

4.

Понятие геометрической прогрессии
высшего порядка
Пример:
F1 : 1, 2, 4, 8, 16, ...
F2 : 1, 3, 9, 27, 81, ...
F = 3F1 + 2F2 : 5, 12, 30, 78, 210, ...
an = 5an- 1 - 6an- 2 , a1 = 5, a2 = 12 , n = 3, 4,5,...
(1)

5.

Теорема I и её доказательство
F (q1 , q2 )= A1F (q1 )+ A2 F (q2 ) , A1 , A2 О Ў \ 0
(2)
an = l 1an- 1 + l 2 an- 2
l 1 = q1 + q2 , l 2 = - q1q2
(3)
(4)
F (q1 )= q1n- 1 и F (q2 )= q2n- 1
F (q1 , q2 )= A1F (q1 )+ A2 F (q2 )
an = A1q1n- 1 + A2 q2n- 1 = A1 (q1n- 1 + q2 q1n- 2 - q2 q1n- 2 )+ A2 (q2n- 1 + q1q2n- 2 - q1q2n- 2 ) =
(A1q1n- 2 + A2 q2n- 2 )(q1 + q2 )- (A1q1n- 3 + A2q2n- 3 )q1q2 = (q1 + q2 )an- 1 - q1q2an- 2
(5)

6.

Теорема I и её доказательство
an = l 1an- 1 + l 2 an- 2
(3)
A1q1n- 1 + A2 q2n- 2 = l 1 (A1q1n- 2 + A2 q2n- 3 )+ l 2 (A1q1n- 3 + A2 q2n- 4 )
(6)
A1q1n- 3 (q12 - l 1q1 - l 2 )+ A2 q2n- 3 (q22 - l 1q2 - l 2 ) = 0
(6’)
x2 - l 1x - l 2 = 0
(7)
l 1 = q1 + q2 , l 2 = - q1q2
2
м
п
x
- l 1x - l 2 = 0
п
п
п
н A1 + A2 = a1
п
п
п
п
о A1q1 + A2 q2 = a2
(
(8)
)
(
q1 = 12 l 1 + l 12 + 4l 2 , q2 = 12 l 1 -
)
l 12 + 4l 2 , A1 =
a1q2 - a2
a q - a2
, A2 = 1 1
,
q2 - q1
q1 - q2
(9)

7.

Теорема I и её доказательство
Пример:
F : 1, 1, 2, 3, 5, 8,...
an = an- 1 + an- 2 , a1 = 1, a2 = 1, n = 3, 4,5,...
2
м
п
x
- l 1x - l 2 = 0
п
п
п
н A1 + A2 = a1
п
п
п
п
о A1q1 + A2 q2 = a2
q1 = 12 1 + 5 , q2 = 12 1-
(
F1 : 1,
1
2
)
(
(11)
)
(
)
5 , A1 = 101 5 +
2
(
5 , A2 = 101 5 -
(1+ 5), (3 + 5), 2(1+ 5 ), ... F : 1, (11
2
(10)
1
2
an = l 1an- 1 + l 2 an- 2 + ... + l k an- k , k і 2
) (
5 , 12 3 -
5
) (
)
5 , 2 1-
(12)
)
5 , ...
(13)

8.

Теорема II и её доказательство
an = l 1an- 1 + l 2 an- 2 + ... + l k an- k , k і 2
x k - l 1 x k - 1 - ... - l k - 1 x - l k = 0
(13)
м
A1 + A2 + ... + Ak = a1
п
п
п
п
п A1q1 + A2 q2 + ... + Ak qk = a2
н
п
.......................................
п
п
k- 1
k- 1
k- 1
п
A
q
+
A
q
+
...
+
A
q
= ak
п
2 2
k k
п
о 1 1
(15)
l 1 = q1 + q2 + ... + qk ,
(16)
(14)
l 2 = - (q1q2 + q1q3 + ... + qk- 1qk )
l 3 = q1q2 q3 + q1q2 q4 + ... + qk - 2 qk - 1qk
………………………………
k+ 1
l k = (- 1)
q1q2 Ч...Чqk
n
n
sn = е an = е
n= 1
k
е Aq
n = 1 m= 1
n- 1
m m
qnn - 1
= е An
qn - 1
n= 1
k
(17)

9.

Примеры применения геометрических
прогрессий высших порядков
Пример 1:
Имеем:
после 1-го года 1 растение;
после 2-го года 1 растение;
после 3-х лет 1 растение + 6 побегов = 7 растений;
после 4-х лет 7 растений + 6 побегов = 13 растений;
после 5-ти лет 13 растений + 7*6 побегов = 55 растений;
и т.д.
an = an- 1 + 6an- 2 , a1 = 1, a2 = 1, n = 3, 4,5,...
3
2
A
=
q1 = 3, q2 = - 2 , 1
, A2 =
5
5
n
3n - (- 2)
n = 1, 2,3,...
an =
5
,
1, 1, 7, 13, 55,...
(18)
(19)
(20)

10.

Примеры применения геометрических
прогрессий высших порядков
Пример 2:
m (m - 1) (m + 1 + n)(n - m)
2
=
2
(m, n О Ґ , m < n) 2m2 = n(n + 1)
(21)
1, 6, 35, 204, 1189, 6930,...
(22)
an = 6an- 1 - an- 2 , a1 = 1 , a2 = 6 , n = 3, 4,5,...
(23)
4+ 3 2
4- 3 2
, A2 =
q1 = 3 + 2 2 , q2 = 3 - 2 2, A1 =
8
8
(24)
1, 8, 49, 288, 1681, 9800,...
(25)
an = 7an- 1 - 7an- 2 + an- 3 , a1 = 1 , a2 = 8 , a3 = 49, n = 4,5, 6,...
(26)
q1 = 1 , q2 = 3 + 2 2 , q3 = 3 - 2 2 , A1 = -
1
, A2 = 3 + 2 2 , A3 = 3 - 2 2
2
4
4
(27)

11.

Заключение
• В ходе работы над своим проектом, я изучил материал по
выбранной теме. Также я проанализировал и
систематизировал всю найденною мной информацию. Я
надеюсь, что данный проект поможет людям,
заинтересованным в изучении данной темы, на начальных
этапах погружения в эту немаловажную и интересную главу
математики. Проект имеет пути дальнейшего исследования,
так как я считаю, что геометрическим прогрессиям высших
порядков можно найти практическое применение в жизни.

12.

Библиография
Литература:
Ресурсы Интернет:
• Малаховский Н.В. Метод комплексных
чисел в планиметрии. Издательство
Калининградского госуниверсита 1996
год.
• «Истрия возникновения
• Моденов П.С. Задачи по геометрии.
Москва. «Наука». Главная редакция
физико-математической литературы 1979
год.
• Скопец З. А. Геометрические
миниатюры. Москва. «Просвещение.
1990 год.
арифметической и геометрической
прогрессий»:
https://infourok.ru/istoriya-vozniknoveniyaarifmeticheskoy-i-geometricheskoyprogressiy-2263240.html
• «Формула Бине»:
http://math.msu.su/~shvetz/54/inf/perlproblems/chFibonacci_sIdeas.xhtml
• «Последовательность Фибоначчи»:
https://www.syl.ru/article/143607/mod_posl
edovatelnost-fibonachchi-i-printsipyizolotogo-secheniya

13.

Спасибо за внимание!