Применение квантовой механики к простейшим задачам. Введение

1.

ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ К ПРОСТЕЙШИМ ЗАДАЧАМ
ВВЕДЕНИЕ.
Уравнение Шредингера позволяет:
1. найти ψ – функцию состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных точках
пространства;
2. Из уравнение Шредингера и условий, налагаемых на волновую функцию (ВФ) непосредственно следуют правила
квантования энергии.
Для того, чтобы отвечать реальным, имеющим место в природе состояниям, ВФ должна удовлетворять определенным
условиям. Они называются СТАНДАРТНЫМИ УСЛОВИЯМИ. Перечислим их.
1. Однозначность. 2. Конечность – условие, налагаемое нормировкой ВФ. 3. Непрерывность. 4.Непрерывность первой
производной.
ЗАДАЧА: Найти собственные функции и собственные значения уравнению Ĥ E удовлетворяющие стандартным
условиям.
Будем рассматривать задачи только с дискретным спектром. В этом случае собственные значения и собственные функции
можно пронумеровать:
E1 , E2 , E3 ,..., En ,...
1 , 2 , ,..., n ,...
Вообще говоря, задача отыскания собственных функций и собственных значений математически очень сложна, однако,
имеются простые и важные с физической точки зрения частные задачи, на которых мы и остановимся.

2.

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками
Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме
с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. Изменение потенциальной энергии по
оси x описывается формулой
0, 0 x 0;
U x
, x 0; x l ;
d 2
U E ,
2m dx 2
2
или
d 2 2m
2 E U 0,
2
dx
где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. За пределы потенциальной ямы частица
попасть не может, так как не может приобрести бесконечную энергию
вероятность обнаружить
частицу за пределами ямы равна нулю,
ВФ за пределами ямы равна нулю.
Из условия непрерывности ВФ следует, что
lim x 0 и lim x 0
x 0
x l 0
В области 0< x<l, где волновая функция не равна тождественно нулю
d 2 2m
2 E 0,
2
dx
*
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка есть линейная комбинация
его двух частных решений:
Ae x Be x .

3.

Подставляя общее решение в *, получаем
2
2m
E ; i
2
2m
2m
2
E 0.
E ; ik ; k
2
2m
2
E.
**
Решение должно удовлетворять условиям ψ(0)=0; ψ(l)=0.
0 0
Из ψ(l)=0
a
B A ;
2
A B 0;
a x x
a
e e
eikx e ikx a sin kx.
2
2
a sin kl 0. kl n; n =1,2,3,...
Состояние с n = 0 приводит к решению, равному нулю тождественно, то есть такие состояния невозможны
n
n
a
sin
x.
k ; n=1,2,3,...
l
l
Из ** выразим энергию через волновой вектор
2 2
k
2
k 2 E; E
n .
2
2m 2ml
2
2m
2 2
E1 0!
Спектр энергии оказался дискретным!

4.

Оценим разность энергий двух соседних уровней.
2 2
3 2 2
2
2
E =En 1 En
n 1 n
2n 1
.
2
2
2
2ml
2ml
2ml
n 1
2 2
Найдем E для молекулы в сосуде. Масса протона = 1.672 10 24г. Масса молекулы
порядка 10 23г. Размеры сосуда порядка 10 см.
3 210 54
32
E12
~
10
эрг.
23 2
2 10 10
kT 300 K 1.38 10 16 3 102 5 10 14 эрг.
Схема энергетических уровней в
потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками.
kT 300 K >> E12 .
Уменьшим размеры потенциальной ямы до размеров атома l ~ 10 8 см ., и рассмотрим движение электрона, m ~ 10 27 г .
3 210 54
E12
~ 10 10 эрг. ~ 102 эВ.
27 16
2 10 10
E12 >> kT 300 K .
Дискретность энергетического спектра атомных систем оказывается более чем заметной. Спектры излучение и
поглощения всех газов носят дискретный характер – состоят из отдельных линий.

5.

Возможно ли при помощи современных технологий создать структуру, в которой будут проявляться дискретность
энергетического спектра электрона?
Зададимся довольно низкой, но обычной в эксперименте температурой жидкого азота T=80 K. Найдем размер
потенциальной ямы, при котором расстояние между основным и первым возбужденным уровнем будет порядка кТ:
3 2 2
E12
kT .
2
2ml
3 2 2
3 2 10 54
l
~ 1.5 10 12 см 2 .
27
16
2mkT 2 10 1.38 10 80
2
0
l ~ 1.2 10 6 см~100A 10нм.
Конечно, это величина малая, но вполне реализуемая на современных установках
молекулярной
эпитаксии,
которые
позволяют
выращивать
слоистые
монокристаллические структуры – так называемые сверхрешетки (квантовые
структуры) с такими периодами.

6.

Волновые функции
Движение частицы в потенциальной яме описывается набором
n
волновых функций
a sin
x.
l
Условие нормировки
l
l
a2 l
2 n
2
2
2 n
xdx 1 cos
x dx
dx a sin
l
2 0
l
0
0
l
a 2l a 2 l l
2 n 2 n a 2l a 2l
2 nx
a 2l
xd
x =
sin
.
cos
2 2 2 n 0
l
l
2
4
n
l
2
0
a 2l
2
1 a
;
2
l
x
2
n
sin
x.
l
l
1. Минимальная энергия частицы в потенциальной яме больше нуля E1 0!
2. n = 2 - стационарное состояние (с постоянной полной энергией). В нем
частица одинаково часто обнаруживается в правой и левой половине ямы, но
вероятность её обнаружения в середине ямы равна нулю! Поведение частицы
несовместимо с представлением о траекториях.

7.

Прохождение частиц через потенциальный барьер
Потенциа́льный барье́р — область пространства, разделяющая две
другие области с различными или одинаковыми потенциальными
энергиями.
Характеризуется
«высотой»
—
минимальной
энергией классической частицы, необходимой для преодоления
барьера. Рассмотрим одномерное движение частицы. Барьер любой
формы с любой наперед заданной точностью может быть «набран» из
прямоугольных барьеров, поэтому рассмотрим взаимодействие
частицы с прямоугольным барьером, то есть на пути частицы при
движении слева направо встречается потенциальный барьер
прямоугольной формы.
Частица, движущаяся слева направо встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U0
и шириной l . По классическим представлениям движение частицы имеет следующий характер:
1. Если энергия частицы больше высоты барьера (Е > U0) , частица беспрепятственно проходит
над барьером.
2. Если (Е < U0) , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону. Сквозь барьер
частица проникнуть не может
ПОВЕДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КМ
2
d 2
U 0 E ;
Уравнение Шредингера для 2 области: :
2m dx 2
2
2
d
Уравнение Шредингера для 1 и 3 областей
E .
2
2m dx

8.

d 2 2m
2 E U 0 0;
2
dx
d 2 2m
2 E 0;
2
dx
Общее решение ищем в виде
Ae x Be x .
Подстановка в уравнение для первой и третьей областей дает:
Волновые функции в первой и третьей областях:
k
Исходя из размерности, разумно обозначить
Подстановка в уравнение для второй области:
2
2mE
1 A1eikx B1e ikx ;
2mE
2
2
i
0;
2mE
.
3 A3eikx B3e ikx ;
ik .
;
2m E U 0
2
0;
2m U 0 E
;
.
2 A2e x B2e x .
Вводя функцию де Бройля, мы положили, что частице, движущейся в положительном направлении оси Ох соответствует
функция
i
A exp Et px ~ eikx .

9.

В области «1», в случае, если на барьер падает поток частиц от источника, расположенного в этой же «1» области,
возможно как движение частиц в положительном, так и отрицательном (вследствие отражения от барьера)
направлении. Следовательно, как A1, так и B1 отличны от нуля. В области «3» невозможен поток частиц в
отрицательном направлении, так как частице, движущейся в положительном направлении не от чего отражаться.
Следовательно, только A3 отлично от нуля.
3 A3eikx .
Для того, чтобы волновая функция была всюду непрерывна, должны выполняться условия:
1 0 2 0 ;
2 l 3 l .
Для того, чтобы непрерывной была первая производная, необходимо выполнение условий:
1' 0 '2 0 ;
'2 l 3' l .
1 0 A1 B1 ;
2 0 A2 B2 .
2 l A2 e l B2 e l .
3 l A3eikl .
A1 B1 A2 B2 .
A2e l B2e l A3eikl .

10.

1' ikA1eikx ikB1e ikx ;
'2 A1e x B2 e x ;
3' ikA3eikx .
Из непрерывности производных на границах, получаем
ikA1 ikB1 A1 B2 ;
Сведем все граничные условия вместе
A1e l B2 e l ikA3eikl ;
A1 B1 A2 B2 .
A2 e l B2 e l A3eikl .
ikA1 ikB1 A2 B2 ;
A2 e l B2 e l ikA3eikl ;
Разделим все уравнения на A1 , и введем обозначения:
B1
B2 a A3 .
b1 ; b2 ; 3
A1
A1
A1
*

11.

Кроме того, третье и четвертое уравнение разделим на k и введем обозначения
2m U 0 E 2mE
U0 E
n
:
;
k
E
k
n 2 0;
k0 2
(1)
1 b1 a2 b2 ;
Теперь *
a2 e l b2 e l a3eikl ;
i ib1 na2 nb2 ;
(2)
na2 e l nb2 e l ia3eikl ;
(4)
R
B1
A1
Т
A3
A1
Из условия нормировки для вероятности
(3)
2
b1 - коэффициент отражения.
2
2
2
a3
2
R Т 1.
2
- коэффициент прозрачности (прохождения).

12.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОЗРАЧНОСТИ БАРЬЕРА
(1)*i+(3)
Рассмотрим уравнения 1 и 3.
1 b1 a2 b2 ;
i ib1 na2 nb2 ;
i ib1 ia2 ib2 ;
+
i ib1 na2 nb2 ;
Рассмотрим уравнения 2 и 4.
a2 e l b2 e l a3eikl ;
na2 e l nb2 e l ia3eikl ;
2i i n a2 i n b2 ;
(2)*i-(4)
-
ia2 e l ib2 e l ia3eikl ;
na2 e l nb2 e l ia3eikl ;
2i i n a2 i n b2 ;
i n a2e l i n b2e l 0;
i n a2e l i n b2e l 0;
n i e l
b2 a2
;
l
n i e
n i e l
2i i n a2 i n a2
;
l
n i e
n i e l
2 l
2 l
l
l
2
i
n
i
e
a
n
i
e
a
n
i
2i i n a2 i n a2
n i e ;
e ;
2
2
l
n i e
*

13.

a2
2i n i e l
n i e
2
l
n i e
2
l
;
Подставляем в *
2i n i e l
n i e l
b2
;
2 l
2 l
l
n i e n i e n i e
b2
2i n i e l
n i e
2
l
n i e
Подставляем