Основные понятия. Понятие дифференциального уравнения. Лекция 1

1. Лекция 1.

План
Глава 1. Введение.
§1. Основные понятия.
1. Понятие дифференциального
уравнения.
2. Решение ДУ.
Решение, общее решение, общий
интеграл.

2. 3. Постановка основных задач для ОДУ. Дополнительные условия. 1) задача Коши; 2) краевые задачи; 3) периодическая задача;

3.

Глава 1. Введение.
§1. Основные понятия.
Понятие дифференциального уравнения
Определение 1. Дифференциальным уравнением
(ДУ) называют уравнение, в котором
неизвестная функция находится под знаком
производной или дифференциала.

4.

Определение 2. Если неизвестная функция
зависит от одной переменной, то такое ДУ
называют обыкновенным дифференциальным
уравнением (ОДУ).

5.

Примеры ОДУ.
1)
dy
y
f ( x),
dx
y ( x) ?
f ( x ) C a, b

6.

y( x, C ) F x C

7.

2)
y ( x) e
y y
x

8.

y( x) Ce
x

9.

3)
dx
x
v,
dt
x t0 x0

10.

x t x0 v t t0

11.

4)
d x
x 2 a, x t0 x0 , x t0 v0
dt
2

12.

a t t0
x t x0 v0 t t0
2
2

13.

5)
x y R
2
x x t ,
y y t
2
2

14.

xdx ydy 0
dx
dy
x y
0
dt
dt
dy
x
dx
y

15.

x R sin t ,
y R cos t

16.

.
x y
y x.

17.

6)
x x 0
2
0

18.

.
x t C1 cos 0t C2 sin 0t
x t A sin 0t

19.

x1 x, x2 x
.
x1 x2
x2 02 x1.

20.

7)
x 2 0 x x 0, 0 0 0
2
0

21.

x t e
.
0t
x t Ae
C1 cos t C2 sin t
0t
2
0
sin t
2
0

22.

x1 x, x2 x
.
x1 x2
2
x2 2 0 x2 0 x1.

23.

Общий вид ОДУ.
t , x t , J x x, x, x,
n
n
, xt
F t, J x 0
n
x, y x , J y y , y , y ,
n
F x, J y 0
n
n
, yx

24.

Определение 3. Порядком ДУ называется
наивысший порядок входящей в него
производной.

25.

ОДУ 2-го порядка
F x, J y F x y y y 0
2

26.

Определение 4. ОДУ, разрешенным
относительно старшей производной,
называется ОДУ вида
n
y ( x ) f x, J
n 1
y

27.

Определение 4а ОДУ, разрешенное
относительно старшей производной, правая
часть которого не содержит явно независимой
переменной, называется автономным.
n
y ( x) f J
n 1
y

28.

Определение 5. Нормальной системой ОДУ
называют систему ДУ первого порядка вида
y 1 f1 ( x y1 yn )
y 2 f 2 ( x y1 yn )
y n f n ( x y1 yn )

29.

В векторном виде ее можно записать как
y ( x) f x, y
y1 x
y
x
2
y ( x)
,
y
x
n
y1 x
y
x
2
,
y ( x)
y
x
n

30.

f1 ( x y1 yn )
f
(
x
y
y
)
2
1
n
f x, y
f n ( x y1 yn )

31.

Примеры ДУ, не являющихся ОДУ.
1)
x t x 2t
2)
x t x t 1
3)
t
x t x d
t0

32.

Определение 6 Если в ДУ неизвестная функция
зависит от нескольких переменных, то такое
ДУ называют уравнением в частных
производных (УЧП).

33.

Примеры УЧП.
1)
A r , grad u r F r , u
u r ,t
2)
div k r , u , t grad u r , t F r , u , t
2
t
u r , t
3)
div k r , u , t grad u r , t F r , u , t
t
4) div k r , u grad u r F r , u
2
5)
f r , v , t
f e
1
f
v
E v , B
0
t
r m
c
v

34.

2. Решение ДУ.
Определение 7. Решением ДУ называют
функцию, или совокупность функций,
обращающих ДУ в тождество.
Определение 8. Частное решение ДУ (ЧР) —
конкретная функция, удовлетворяющая ДУ.

35.

Например, частными решениями ОДУ
y ( x) 4 y ( x) 0
являются функции
y1 sin 2 x,
y2 2 cos 2 x,
y3 3sin 2 x / 4 ,
y4 4 cos 2 x / 6 ,

36.

Множество решений ОДУ n–го порядка зависит
от n произвольных постоянных.
Например, множество решений уравнения
y f ( x)
есть
y F ( x) C

37.

Множество решений УЧП 1-го порядка
определено с точностью до произвольной
функции.
Например, множество решений уравнения
u u
0
x y
есть
u f ( x y)
где f - произвольная дифференцируемая
функция
u ( x y ) , u cos( x y ), u sin e
m
x y

38.

Определение 9. Общим решение ДУ называется
совокупность всех решений ДУ.
Например, общим решением ОДУ
y ( x) 4 y ( x) 0
является функция
y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
или, что то же самое
y A sin 2 x

39.

Определение 10. Процесс нахождения решения
ДУ называют интегрированием ОДУ.
Определение 11. Если уравнение
где
C C1 , C2 ,
x, y , C 0
, Cn — вектор произвольных
параметров, определяет все множество
решений соответствующего ДУ, то его
называют общим интегралом данного ДУ, а
полученное из него параметрическое
семейство решений данного ДУ также
называют общим решением.

40.

Замечание. Определенное в 11 общее решение
является более узким, по сравнению с 9,
поскольку возможны еще особые решения,
которые не входят в это семейство ни при
значениях параметров.

41.

Пример.
dy
y
dx
2
3
Общее решение:
x C
y
3
Особое решение
y 0
3

42.

y
C=4
C=0
C= - 4 C= - 8
2
6
10
12
10
8
6
C=8
4
2
y=0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-2
4
8
12
-4
-6
-8
-10
-12
dy
dx
2
3
y ;y
x, C
x
C
3
3
;y 0
14
x

43.

Определение 12. Если для любого решения ОДУ
y x
функция
F x, J x const x
( p)
то такая функция называется
первым интегралом ОДУ.
В физических задачах первыми интегралами
могут быть энергия, импульс, момент
инерции, масса, заряд и т.д.

44.

Уравнение
Общий интеграл Общее
решение
Частное
решение
Первый
интеграл
F const
y
1.
y f ( x)
2.
x
y
y
3.
y f ( x)dx
C 0
C
y
f d f ( x)dx
x0
2
2
2
2
2
2
y
x
C
y
x
1
y
x
y x C 0
2
2
x C1 cos 0t
x C1 cos 0t
C2 sin 0t 0;
C2 sin 0t ;
x x 0 x
2
0
y f ( x)dx x
x
A sin 0t 0 A sin 0t
x cos 0t
2
2 2
x
0x

45.

Об интегрировании ОДУ в квадратурах.
Выражение общего решения или полного
интеграла через элементарные функции и
интегралы от них (берущихся или не
берущихся в элементарных функциях)
называют
интегрированием данного ОДУ в квадратурах.

46.

Интегрирование в квадратурах допускают
лишь уравнения некоторых простейших типов.
Большинство же ОДУ можно решать только
приближенно или исследовать их
качественными методами позволяющими
выяснять свойства решений без явного их
отыскания.

47.

Например, решение уравнения
2
y y x
нельзя записать в виде интеграла от элементарной
функции.

48.

Пример. Движение материальной точки массы m под
действием силы
F r Fx x , Fy y , Fz z
которая зависит только от положения точки
(не зависит явно от времени),
а каждая декартова проекция силы зависит только от
соответствующей проекции радиуса– вектора.
Уравнения движения имеют вид
m r F r

49.

или в координатах
m x Fx x , m y Fy y , m z Fz z
Общее решение этих уравнений может быть получено
в квадратурах.
Рассмотрим уравнение
m x Fx x
1
x x Fx x x
m

50.

2
1 d
1
dx
x Fx x
2 dt
m
dt

51.

2
2
d x Fx x dx
m

52.

2
2
x Fx x dx C1
m

53.

1/ 2
2
x Fx x dx C1
m

54.

1/ 2
dx
2
Fx x dx C1
dt
m

55.

dt
dx
1/ 2
2
Fx x dx C1
m

56.

t C2
dx
1/ 2
2
Fx x dx C1
m

57.

Если заданы начальные условия
x t0 x0 , x t0 v0
то решение задачи Коши имеет вид:
d
x
t t0
x0
1/ 2
2
2
Fx d v0
mx
0

58.

3. Постановка основных задач для ОДУ.
Дополнительные условия.
Наряду с ОДУ для постановки задач
используют начальные (НУ) и граничные
условия (ГУ), количество и вид которых
определяются «физической» постановкой
задачи.

59.

1)
Начальная задача (задача Коши)
(Огюстен Луи Коши (1789-1857)французский математик)
n
y ( x ) f x, J
J
n 1
y ,
начальные условия
n 1
y x0 Y
0
или
y ( x0 ) Y y ( x0 ) Y ,
0
0
0
1
,y
n 1
( x0 ) Y
0
n 1

60.

Пример 1. Задача Коши.
dy
3
y
x 3
dx
y
3
y (0) 1
2
3
Решение задачи существует и единственно!

61.

Пример 2. Задача Коши.
dy
3
y
x
dx
y , y 0
3
y (0) 0
2
3
Решение задачи существует, но не единственно!

62.

2)
Краевая задача (обычно 2-х точечная):
y ( x) f x, y, y , x a, b
граничные условия первого рода (задача Дирихле):
y(a) ya ,
y(b) yb
граничные условия второго рода (задача Неймана):
y (a) ya ,
y (b) yb
граничные условия третьего рода:
y (a) y a ya ,
y (b) y(b) yb
периодические граничные условия:
y ( a) y b a ,
y (a) y b

63.

Пример 1. Краевая задача.
d y
1, x 0,1
x
2
dx
y 1 x
2
y (0) 0, y (1) 0
2
Решение задачи существует и единственно!

64.

Пример 2. Краевая задача.
d y
1, x 0,1
2
dx
y (0) 0, y (1) 0
2
Решение задачи не существует!

65.

Пример 3. Краевая задача.
d y
0, x 0,1
2
dx
y C
y (0) 0, y (1) 0
2
Задача имеет бесконечное множество решений!

66.

3) Периодическая задача.
В общем случае задача о периодических решениях —
это задача о нахождении T-периодического решения
уравнения
x f t, x
правой частью:
, с T-периодической по t
f t, x f t T , x