Тригонометрические функции

1.

1.Обратные тригонометрические функции.
В этом пункте мы хотели бы рассмотреть несколько задач, связанных с вычислением значений выражений,
содержащих обратные тригонометрические функции.
ЗАДАЧА 1.
Вычислите: arctg 1 + arctg 2 + arctg 3.
Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон (рис. 1), как задание выполняется практически устно.
arctg 3 = ВАМ, arctg 2 = CAN , arctg 1 = BAC ( BAC — острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника AВС
Ответ:
.
ЗАДАЧА 2.
Вычислите: arctg
2
arcctg 5
3
Решение. Поскольку arctg
2
BAD, а угол ВАС
= CAD (рис. 2), arcctg 5 =
3
равнобедренном
треугольнике АВС, то arctg
2
arcctg 5
3
4
Ответ:
4
—
острый
в
прямоугольном

2.

ЗАДАЧА 3.
Вычислите: ctg ( 1 arccos 5 )
2
13
Решение. Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство
биссектрисы треугольника, то задача решается почти мгновенно.
На рис. 3 изображен треугольник АВС,, в котором ACB = 90°, ВС = 5, АВ = 13 и ВМ - биссектриса угла АВС. Следовательно,
2
МС = 5х, АМ= 13х и АС= 12, отсюдаx . Тогда
3
40
Вычислите sin( 2 arccos )
41
ЗАДАЧА 4.
Решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АBС, где АB=BС=41, ВМ АС, ВМ=40,CN AB (рис.4). Отрезок AM согласно теореме
Пифагора имеет длину, равную 9.
Видно, что sin( 2 arccos
CN
AC BM 720
.
AB
41
40 CN
)
. Воспользовавшись подобием прямоугольных треугольников ANC и AMB, найдем
41 BC

3.

2. Алгебраические выражения.
Часто в алгебре встречаются задания, в которых по заданным условиям на переменные, необходимо
найти значение некоторого выражения, содержащего их.
ЗАДАЧА 5.
Из условий x 2 y 2 9 ,
выражения x y y z.
их значений, указать значение
y 2 z 2 16 и y 2 x z для положительных х, у и z, не вычисляя
Решение. Привычное задание решить систему уравнений
у учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае
нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + yz. По теореме, обратной теореме Пифагора,
числа х, у и z являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А, рассмотрев второе
уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника BCD
с прямым углом D (рис. 6).
Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z, и по теореме,
обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС — прямой.
Теперь рассмотрим выражение ху + yz.
xy yz ( x z ) y 2S ABC 3 4 12
Примечание. Для данной системы уравнений задания могут быть и другие. Например, найти значение выражения х + у + z или
в каком отношении находятся числа х и у; z и у; х + z и у.
Ответ: 12

4. Задача 6.

Для положительных х, у и z из условий x 2 xy
вычислите значение выражения ху + уz + zx.
y2
z2
2
2
2
169, y z 50, x xz
144, не находя значения х, у и z,
2
2
Решение.
Запишем три условия задачи в виде системы уравнений
x z
По теореме, обратной теореме, Пифагора, числа,
и 5 являются длинами соответственно
катетов и гипотенузы
2 2
треугольника АОС с прямым углом АОС.
y.
Числа х,
и 13 есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя
2
z
теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично, 2x, и 12 есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°.
Поскольку 52 + 122 = 132, то в треугольнике
ACB = 90°. Теперь найдем площади
На рис. 8 изображены эти треугольники.
АВС
треугольников АОВ, АОС, ВОС, АВС.
Видно, что значение выражения ху + yz +zx равно учетверенной площади треугольника ABC. Итак, xy+yz+zx =120
Ответ:120

5.

ЗАДАЧА 7.
Для положительных х, у и z, не вычисляя их значения из системы уравнений
определите величину ху + 2уz + Зxz.
Рассуждая так же, как и в задаче 8, получаем (рис. 9):
Так как площадь треугольника AВС равна 6, то
xy 2 yz 3 xz 24 3.
Ответ: 24 3

6.

3. Системы уравнений.
Решению систем уравнений в алгебре отводится достаточно большое внимание. Они встречаются и в
вариантах ЕГЭ. Поэтому, тем более, интересен такой нестандартный подход к решению некоторых систем
уравнений, рассмотренных в этом пункте.
ЗАДАЧА 8.
Имеет ли система уравнений
решения для х > 0, у > 0 и z> 0?
Допустим, что есть такая тройка положительных чисел х, у и z, удовлетворяющая каждому уравнению данной системы.
Тогда возможна ее геометрическая интерпретация, как в задаче 8 (рис.10).
Но такого треугольника АВС не может быть, так как не выполняется неравенство треугольника. Значит, система не имеет решений.
Примечание. Для положительных x,y и z данная система имеет решение, если в правой части третьего уравнения поставить число
из промежутка (1; 25).
Ответ: нет решений.
рис.10

7.

ЗАДАЧА 9.
Решите систему уравнений
Решение. Нетрудно убедиться, что х и у положительны. Поскольку
y 2 ( x 2 y 2 ) 2 x 2 , то числа у,
x 2 y 2 и х являются длинами
соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС с прямым углом АСВ (рис. 11).
Площадь этого треугольника 24 кв. ед., а его периметр 24 ед. Поэтому радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 2.
Так как длина гипотенузы АВ равна сумме длин катетов АС и ВС без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности,
то
Из второго уравнения системы получаем х = 10. Значит, у = 6 или у = 8.
Ответ: (10; 6), (10; 8).

8.

ЗАДАЧА 10.
Решите систему уравнений
Решение.
Первое уравнение системы задает плоскость, второе — сферу. Если их изобразить, то очевидно, что 0<х<1, 0 < у < 1, 0<z<1.
Согласно первому уравнениюz 3 ( x y ). z
1
3
Тогда второе уравнение принимает вид
(*)
Преобразовав его, получаем квадратное уравнение относительно х:
y
3 -1)2. Следовательно, -(у3 -1)2 0. Этонеравенство выполняется при
Дискриминант этого уравнения равен - (у
1
3
1
у
Уравнение (*) можно было преобразовать в квадратное относительно у с решением
3
1
Значение z
находится из первого уравнения.
3
Примечание. Задачу можно переформулировать, например, так: «Определите вид треугольника, периметр которого равен
а сумма квадратов длин его сторон равна 1».
3
,

9.

ЗАДАЧА 11.
Решите систему уравнений
Решение.
Уравнение x+y+z=3 - есть уравнение плоскости (рис. 12), пересекающей оси прямоугольной декартовой системы
координат в , А(3;0;0), B(0;3;0), С(0; 0; 3).
3
Уравнение x 2 y 2 z 2 3 есть уравнение сферы с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом
равным
R,
1
Вычислим расстояние от точки О до плоскости AВС. Для этого рассмотрим тетраэдр ОАВС. Объем V тетраэдра равенS ABC H
3
где H=OD (D — центр треугольника АВС).
Этот объем можно найти иначе:
3H 3
и 9 , получаем H= 3 . Это означает, что расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, а значит,
2
2
плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС. Поскольку D(x; у; z) — центр
Приравняв
равностороннего треугольника АВС, где А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0;0;3), то x=y=z.
Заменив у и z на х в уравнениях данной системы, получаем x=1.
Ответ: (1; 1; 1).

10.

ЗАДАЧА 12.
Решите систему уравнений
Решение.
Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения:
x 2 y 2 4 x 2 y 5 ( x 2) 2 ( y 1) 2
Пусть это расстояние между точками М(х; у) и A(2;-1).
Допустим, что это расстояние между точками М (х;у} и В(10; 5).
Найдем расстояние между точками А(2; -1) и В(10;5):
AB (10 2) 2 (5 1) 2 10
Итак, второе уравнение системы можно интерпретировать как равенство AM + ВМ = АВ. Это дает нам право утверждать, что
точка М принадлежит отрезку АВ, т.е. 2 ≤ х ≤ 10 и -1 ≤ у ≤ 5
Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2; -1) и B(10; 5).
1 k 2 b и 5 k 10 b. Отсюда k 3 ; b 5 , т.е. y 3 x 5 , или Зх — 4у = 10.
Запишем новую
4
2
4
2
систему:
Значит, х = 6 и у = 2.
Ответ: (6; 2).

11.

4. Аналитический способ решения.
Рассмотрим аналитический способ решения некоторых задач, рассмотренных выше, чтобы была возможность
убедиться в том, что геометрический подход дает более быстрое, а главное, красивое решение этих задач.
ЗАДАЧА 1.
Рассмотрим аналитический способ решения.
Решение.
Обозначим: arctg1, arctg 2, arctg 3, где
3
.
2
2
tg tg
2 3
1
tg tg ( )
1 tg ( )
1 tg tg
1 2 3 1 1 0
Найдем tg ( )
tg tg
2 3
1 tg tg ( ) 1 tg ( )
1 1
1
1
1 tg tg
1 2 3
1
3
2 2
Таким образом, tg ( ) 0 k , учитывая условие, что ( ; ), получим, что k=1 и ,
т.е. arctg1 arctg 2 arctg 3 .
Ответ:
ЗАДАЧА 2.
Решим систему аналитически:
Решение:
Обозначим уравнение3 x 4 y 26 - (1),

12.

уравнение x 2 y 2 4 x 2 y 5 x 2 y 2 20 x 10 y 125 10 - (2).
Заметим, что x 2 y 2 4 x 2 y 5 ( x 2) 2 ( y 1) 2 , а
x 2 y 2 20 x 10 y 125 ( x 10) 2 ( y 5) 2 .
Сделаем замену x 2 a, y 1 b, тогда уравнение (2) системы запишется в виде:
a 2 b 2 (a 8) 2 (b 6) 2 10, a 2 b 2 10 (a 8) 2 (b 6) 2 .
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
a 2 b 2 100 (a 8) 2 (b 6) 2 20 (a 8) 2 (b 6) 2 ,
20 (a 8) 2 (b 6) 2 100 (a 8) 2 (b 6) 2 a 2 b 2
20 (a 8) 2 (b 6) 2 200 16a 12b
5 (a 8) 2 (b 6) 2 50 4a 3b
25(( a 8) 2 (b 6) 2 ) 2500 16a 2 9b 2 400a 300b 24ab
25a 2 400a 1600 25b 2 300b 900 2500 16a 2 9b 2 400a 300b 24ab
(3a 4b) 2 0
3a 4b
3( x 2) 4( y 1)
3 x 4 y 10
Сделаем обратную замену:
Получим систему:
3x 4 y 26 x 6
,
3x 4 y 10 y 2
Поскольку мы не следили за равносильностью переходов, сделаем проверку:
(1) -
3 6 4 2 26
18 8 26
Ответ: (6;2).
(2)
-
36 4 24 4 5 36 4 120 20 125 10
5 5 10