Аэрогазодинамика. Уравнения движения газа как сплошной среды (лекции 4, 5)

1. Уравнения движения газа как сплошной среды

Аэрогазодинамика
Уравнения движения газа
как сплошной среды
Лекции 4, 5

2.

Уравнения движения выводятся исходя из закона
сохранения массы, закона изменения количества
движения, закона сохранения энергии, уравнения
термодинамического состояния и уравнения
напряженного состояния.
Применяем эти законы к массе жидкости m,
находящейся в момент времени t в некотором
произвольно выделенном объеме V.
Считаем, что внутри объема нет ни источников, ни
стоков
2

3. 4.1.Уравнение неразрывности

Согласно закону сохранения массы для
изолированной системы масса жидкости
m dV при ее движении будет dm 0
оставаться неизменной dt
V
Изменение массы за счет
dV
изменения плотности
t
V
Изменение массы за счет изменения объема
Получаем
закон сохранения
массы в интегральной форме
Т.к.
, то
V
dS
div(
V
)
dV
n
S
V
div
V
dV 0 и
t
V
V dS
n
S
dm
dV Vn dS 0
dt
t
V
S
d
divV 0
div V 0 или
dt
t
закон сохранения массы в дифференциальной форме (уравнение
неразрывности) для неустановившегося движения сжимаемой жидкости
3

4. Формы уравнения неразрывности

Для установившегося движения
сжимаемой жидкости
Для несжимаемой жидкости
div V 0
divV 0
Если движение несжимаемой V ; V ; V .
x
y
z
x
y
z
жидкости потенциальное, то
2
2
2
2 2 2
div V 2 2 2 0
2 2
2
x
y
z
x
y
z
Оператор
Лапласа
Для потенциального движения несжимаемой
жидкости 0 - уравнение Лапласа.
В форме массового расхода
для сжимаемой жидкости
В форме объемного расхода
для несжимаемой жидкости
VF const
VF const
4

5. 4.2.Уравнение, выражающее закон изменения количества движения

Изменение вектора количества движения
dK
постоянной массы m равно сумме внешних dt Fi 0
сил, действующих на рассматриваемую массу
Внешние силы:
Объемные (пропорциональны массе)
V F dV
Поверхностные (пропорциональны
np dS
площади поверхности, охватывающей
S
выделенный объем)
Вектор изменения количества движения dK
w dV
dt V
(сила инерции)
Уравнение движения
V F dV S np dS V w dV 0
идеальной жидкости
в интегральной форме
5

6.

Т.к. np dS grad p dV , то F w grad p dV 0
S
V
V
Уравнение движения идеального газа
1
в векторной форме – уравнение
w F grad p
движения Эйлера
Уравнения Эйлера в проекциях на оси координат в
свернутом dV
1 p dVy
1 p dVz
1 p
x
X
;
Y
;
Z
виде
dt
x
dt
y
dt
z
Уравнения
Эйлера в
проекциях на
оси координат
в развернутом
виде
ускорения
Vx
V
V
V
1 p
Vx x Vy x Vz x X
,
t
x
y
z
x
Vy
Vy
Vy
Vy
1 p
Vx
Vy
Vz
Y
,
t
x
y
z
y
Vz
Vz
Vz
Vz
1 p
Vx
Vy
Vz
Z
.
t
x
y
z
z
6

7.

Для решения системы уравнений задают начальные и
граничные условия:
Vx x, y, z,0 f1 x, y, z ,
начальные условия необхо
димы при решении задач
Vy x, y, z,0 f 2 x, y, z ,
неустановившегося движения
газа (поле скоростей при t = 0) Vz x, y, z,0 f3 x, y, z .
граничные условия (на границах течения: поверхность
тела, невозмущенный поток, граница раздела течений
и др.) разделяют на динамические (силы) и кинематические (скорости).
При движении вязкой жидкости
n dS div dV
учитывают силы внутреннего трения S
V
Уравнение движения реальной жидкости в векторной
форме
dV
1
1
F grad p div x y z
dt
7

8. 5.1. Уравнение, выражающее закон сохранения энергии

2
V
Кинетическая энергия единицы массы жидкости ,
2
ее внутренняя энергия - U
V2
полная энергия рассматриваемой E U
dV
2
массы жидкости
V
Изменение энергии некоторой массы жидкости за
некоторый промежуток времени t равно работе
всех сил, приложенных к данной массе жидкости (за
время t), ± количество тепла, полученное за t
вследствие теплопроводности, лучеиспускания или
химических реакций
Изменение
2
2
dE
V
V
энергии в
U
dV
U
Vn dS
единицу
dt V t
2
2
S
времени
8

9.

Заменяем интеграл по площади интегралом по
объему
2
2
dE
V
V
U
div U
V dV
dt V t
2
2
Работа внешних сил в единицу времени:
массовых сил F V dV , сил давления p n V dS,
V
S
V
dS
работа сил трения n
.
S
Тепло, подводимое или отводимое от выделенного
объема в единицу времени qn dS dV , где qn –
S
V
вектор потока тепла, проходящего через единицу
площади поверхности, – количество тепла,
выделяемое (поглощаемое) единицей массы. Тогда
dE
p n V dS n V dS F V dV qn dS dV
dt
S
S
V
S
V
9

10.

После подстановки и преобразований получим закон
сохранения энергии в дифференциальной форме
V2
V2
U
x V
div U
V div pV
t
2
2
x
y V
z V F V div q .
y
z
или в виде 1-го закона термодинамики
V
V
d Q
dU
d 1 V
x
y
z
p
div q
y
z
dt
dt x
dt
Диссипативная функция (тепло за счет трения)
d Q
0 , то процесс адиабатический. Как следует
Если
dt
из уравнения энергии, это возможно, если жидкость
идеальная (нет сил трения), отсутствует теплопередача между частицами жидкости и объемное
выделение тепла
10

11.

Представим уравнение энергии в другом виде, введя
2
p
V
в рассмотрение функцию H U
– тепло
2
содержание единицы массы движущейся жидкости
p
( h U – теплосодержание единицы массы
покоящейся жидкости):
d
p V 2 p
F V
U
dt
2 t
x
x V
y
y V
z
z V div q .
при адиабатическом процессе (Н = const) должны
выполняться следующие условия:
F V 0, p 0
t
т. е. давление не должно зависеть от времени, а
вектор массовых сил должен быть перпендикулярен
вектору скорости или равен нулю.
11

12.

в этом случае правая часть уравнения энергии
обращается в нуль
d
p V2
U
0,
dt
2
и в интегральном виде уравнение энергии будет
выглядеть следующим образом
p V2
U
const
2
12

13. Интегралы дифференциальных уравнений Эйлера

В общем виде дифференциальные уравнения
движения Эйлера не интегрируются. Их интегралы
можно найти только для некоторых частных случаев.
Рассмотрим порядок нахождения интегралов:
1) для потенциального неустановившегося движения;
2) для установившегося непотенциального движения
сжимаемого газа
13

14. 5.2.Потенциальное неустановившееся движение. Интеграл Лагранжа

Считаем жидкость идеальной. Уравнение Эйлера в
развернутом виде в проекции на ось ОХ:
Vx
Vx
Vx
Vx
1 p
Vx
Vy
Vz
X
t
x
y
z
x
При потенциальном движении x y z 0 , т.е.
Vx Vy
y
x
и
V y
Vx Vz
z
z
x
Vy
Vx
Vx
Vx
Vx
V
Vx
Vy
Vz
Vx
Vy
Vz z
x
y
z
x
x
x
Vz
y
2
Vx 2 Vy Vz 2 V 2
.
x 2
2
2 x 2
14

15.

Следовательно
1 p V 2 Vx
X
x x 2 t
При потенциальном течении Vx , Vy , Vz
x
y
z
Преобразуем локальную
Vx
производную
t t x x t
Введем понятие баротропность. Будем считать, что
баротропность имеет место во всем пространстве,
занятом жидкостью.
dp
Баротропным называется движение,
P
при котором плотность есть функция
только давления p.
P 1 p P 1 p
P 1 p
Тогда
,
,
x x y y
z z
Система
уравнений Эйлера может быть записана в виде:
15

16.

V 2
X P
dx,
x
2
t
V 2
Умножив каждое из уравнений Y
P
dy,
y
2
t
на соответствующее прираще-
V 2
ние (dx, dy, dz) и после их
Z P
dz ,
z
2
t
сложения получим следующее
V 2
Xdx Ydy Zdz P
dx
x
2 t
V 2
V 2
P
dy P
dz.
y
2 t
z
2 t
Правую часть этого уравнения можно
V 2
d P
считать полным дифференциалом
2
t
некоторой функции
16

17.

V 2
V 2
Т.е. Xdx Ydy Zdz d P
или dФ d P
2
t
2
t
И после интегрирования получим
интеграл Лагранжа для потенциального неустановившегося движения сжимаемой среды
Для несжимаемой среды
При установившемся движении
сжимаемой жидкости (интеграл
Эйлера-Бернулли). Здесь С=const
для всей массы движущегося газа
17

18. 5.3.Произвольное установившееся движение сжимаемой жидкости (интеграл Бернулли)

При установившемся движении траектории и линии
тока совпадают; параметры течения являются
функциями только координат. Считая движение
баротропным, запишем уравнения Эйлера в виде
dVx
P
X
dt
x
P
Y
dt
y
dVy
dVz
P
Z
dt
z
После умножения каждого уравнения на соответствующее приращение и их суммирования получаем
P
dx
dy
dz
P
P
dVx dVy dVz Xdx Ydy Zdz
dx
dy
dz
dt
dt
dt
y
z
x
dx
Vx и т.д., поэтому левая часть
На линии тока
dt
V 2
Полный
Vx dVx Vy dVy Vz dVz d дифференциал
2
18

19.

Следовательно, в правой части - сумма полных
дифференциалов
P
P
P
dx
dy
dz dP
Xdx Ydy Zdz dФ
x
y
z
V 2
dp V 2
Ф P 0 и Ф
C
Тогда d
2
2
Этот интеграл носит название интеграла Бернулли;
здесь произвольная постоянная есть постоянная
только вдоль линии тока.
V 2
p
C
Для несжимаемого газа
2
Для изоэнтропического течения сжимаемого газа
p
k 1
dp
k
d
const
дифференциал
k
19

20.

Уравнение Бернулли для сжимаемого газа
V2
k
p
const i0
2 k 1
i0 – полная энтальпия, включающая энтальпию и кине-
тическую энергию единицы массы движущегося газа.
a02
k
k p0
i0
RT0
k 1 k 1
k 1 0
Уравнение Бернулли есть уравнение энергии для
изоэнтропического течения сжимаемого (или
несжимаемого) газа
20