Асимптоты графика функции

1. Асимптоты графика функции.

Опр. Асимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, к которой неограниченно
приближается точка графика функции при
неограниченном удалении от начала координат.

2.

вертикальная асимптота
горизонтальные асимптоты
наклонные асимптоты

3. Асимптоты графика функции.

Теорема 1. Если lim f x
x a
то прямая x=a является вертикальной асимптотой
графика функции y=f(x).

4. Асимптоты графика функции.

Cледствие. Вертикальные асимптоты следует
искать в точках разрыва области определения и
на концах ее области определения (если
область определения имеет вид
(a,b), (a,+∞), (-∞,b)).

5. Примеры вертикальных асимптот.

Пример1.
1
f x
x 3

6. Примеры вертикальных асимптот.

1
f x
x 3
lim f x
Пример1.
x 3
-3
x 3
вертикальная
асимптота

7. Примеры вертикальных асимптот.

Пример 2.
x 1
f x 2
x 1

8. Асимптоты графика функции.

Теорема 2. Если lim f
x
x a , то
прямая y=a
является горизонтальной асимптотой.

9. Примеры горизонтальных асимптот.

Пример1.
1
f x 2
x

10. Примеры горизонтальных асимптот.

1
f x 2
x
lim f x 2
Пример1.
x
y 2
горизонтальная
асимптота
-3

11. Асимптоты графика функции.

Теорема 3. Если
f ( x)
a , lim f ( x) a x b
lim
x
x
x
то прямая y=ax+b является наклонной асимптотой.

12. Примеры наклонных асимптот.

2
x
x 2
Пример1.
f x
x

13. Примеры наклонных асимптот.

2
x
x 2
Пример1.
f x
x
1 2
1 2
2
f ( x)
x x 2
x x 1
a lim
lim
lim
2
x
x
x
x
x
1
x2 x 2
x2 x 2 x2
x 2
b lim f ( x) ax lim
x lim
lim
x
x
x
x
x
x x
2
1
x
lim
1
x
1

14. Примеры наклонных асимптот.

2
x
x 2
Пример1.
f x
x
y x 1
наклонная асимптота
-3

15. Замечание. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты

y=ax+b
Если а=0, то наклонная асимптота становится горизонтальной.
Поэтому горизонтальные асимптоты можно не искать,
сразу искать наклонные.

16. Общая схема исследования функций.

1. Область определения.
2. Исследование на четность-нечетность.
3. Асимптоты.
4. Экстремумы и интервалы монотонности.
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости.
6. Точки пресечения с осями координат.
7. График функции.

17.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
1. Область определения

18.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
1. Область определения
( ;3) (3; )

19.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
2. Исследование на четность-нечетность.
f(-x)=……

20.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
2. Исследование на четность-нечетность.
Функция общего вида

21.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
А) вертикальные
x=3 – точка разрыва

22.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
А) вертикальные
x=3 – точка разрыва
x 2 6 x 13 4
lim
x 3
x 3
0
x=3 – вертикальная асимптота

23.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
б) горизонтальные и наклонные y=ax+b
f ( x)
x 6 x 13
a lim
lim
x
x
x
( x 3) x
2

24.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
f ( x)
x 6 x 13
x 6 x 13
a lim
lim
lim
2
x
x
x
x
( x 3) x
x 3x
2
6 13
1 2
x x 1
lim
3
x
1
x
2

25.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
x 2 6 x 13
b lim f ( x) ax lim
x
x
x
x 3

26.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
x 2 6 x 13
b lim f ( x) ax lim
x
x
x
x 3
x 2 6 x 13 x 2 3 x
3 x 13
lim
lim
x
x 3
x x 3
13
x 3
lim
3
x
1
x
3
y=x-3 – наклонная асимптота,
горизонтальных асимптот нет

27.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
( x 2 6 x 13) ( x 3) ( x 3) ( x 2 6 x 13)
f x
2
( x 3)

28.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
( x 2 6 x 13) ( x 3) ( x 3) ( x 2 6 x 13)
f x
2
( x 3)
(2 x 6)( x 3) ( x 2 6 x 13)
2
( x 3)
2 x 2 6 x 6 x 18 x 2 6 x 13 x 2 6 x 5
2
2
( x 3)
( x 3)

29.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
f x 0
x2 6 x 5
0
2
( x 3)

30.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
x2 6 x 5
0
2
( x 3)
f x 0
+
1
т. max
f 1
x 1, x 5
+
3
5
т. min
f 5

31.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
x2 6 x 5
0
2
( x 3)
f x 0
+
1
x 1, x 5
+
3
т. max
1 6 13 8
f 1
4
1 3
2
5
т. min
25 30 13 8
f 5
4
5 3
2

32.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
x 2 6 x 5
f x
2
( x 3)

33.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
2
2
2 2
x 6 x 5 ( x 6 x 5) ( x 3) ( x 3) ( x 6 x 5)
f x
2
4
( x 3)
( x 3)
(2 x 6)( x 3) 2 2( x 3)( x 2 6 x 5)
4
( x 3)
(2 x 6)( x 3) 2( x 2 6 x 5)
3
( x 3)
2
2 x 2 6 x 6 x 18 2 x 2 12 x 10
8
3
3
( x 3)
( x 3)

34.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
f x 0
8
0
3
( x 3)
-
Точек перегиба нет
3
Решений нет
+

35.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OX y=0
x 2 6 x 13
0
x 3

36.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OX y=0
x 2 6 x 13
0
x 3
D 0
Точек пересечения с OX нет

37.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY x=0
f 0

38.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY x=0
13
1
f 0
4
3
3

39.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
7. График функции. Сначала строим асимптоты
x=3
y=x-3
3
-3

40.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
7. График функции. Отмечаем точки экстремума
x=3
y=x-3
4
1
-3
-4
3
5

41.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
7. График функции. Отмечаем точки пересечения с осями и строим
график
x=3
y=x-3
4
1
-3
-4
4
1
3
3
5