Прямая в пространстве. Взаимное положение прямой и плоскости. Уравнение прямой на плоскости

1. Прямая в пространстве

Взаимное положение прямой и
плоскости
Уравнение прямой на плоскости

2.

Прямая в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении
Пусть точка M 0 x0 ; y0 ; z0 принадлежит
прямой l , а направление совпадает с
a
M
вектором a m; n; p . Возьмем произвольную
M
M
a
M
x
;
y
;
z
l
M0
точку
. Тогда
и по
0
свойствам векторов M 0 M t a , где
l
t – параметр. Равенство M 0 M t a –
y
O
векторное уравнение прямой.
Представим его в координатной форме:
x
x x0 t m
y y0 t n
z z t p
0
x x0 t m
– параметрическое
y y0 t n
уравнение прямой.
z z t p
0
x x0
y y0
z z0
; t
; t
, приравняем эти
m
n
p
выражения, получим каноническое уравнение прямой:
x x0 y y0 z z0
.
m
n
p
Выразим t . Тогда t

3.

Уравнение прямой , проходящей через две точки
Пусть точки M1 x1; y1; z1 и M 2 x2 ; y2 ; z2 , которые принадлежат
прямой l . Примем вектор M1M 2 за
a
l
a , направляющий вектор, а точку
M2
M
за
точку
и
подставим
их
в
1
M1
M0
каноническое уравнение прямой. Тогда x x1 y y1 z z1 .
x2 x1 y2 y1 z2 z1
Пример: x 1 y 2 z
.
2
0
3
Прямая, проходящая через точку 1; 2; 0 с направляющим вектором
a 2; 0; 3 .
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Рассмотрим две прямые l1 и l2 , заданные точками M1 x1; y1; z1
и M 2 x2 ; y2 ; z2 с направляющими векторами a1 m1; n1; p1 и
a2 m2 ; n2 ; p2 . Тогда уравнения этих прямых соответственно
l1 :
x x1 y y1 z z1
x x2 y y2 z z2
; l2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2

4.

Данные прямые могут быть
a1
скрещивающими или лежать на одной
M1
плоскости. Рассмотрим векторы
M
a
2
2
M1M 2 x2 x1; y2 y1; z2 z1 , a1 и a2 .
Составим смешанное произведение этих векторов:
l1
l2
m1
n1
p1
M1M 2 a1 a2 m2
n2
p2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
Тогда, если прямые скрещивающиеся, данные три вектора не могут
лежать в одной плоскости, то есть через них нельзя провести
плоскость и 0 . Если же прямые лежат в одной плоскости, то есть
данные векторы компланарны, то 0. Во втором случае может быть
три случая:
1. Прямые будут параллельны, тогда их направляющие векторы
коллинеарны. l1 l2 , по свойствам векторов:
a1
a2
m1 n1 p1
.
m2 n2 p2

5.

2. Прямые перпендикулярны, тогда их направляющие векторы
перпендикулярны, то по свойствам векторов
скалярное
произведение равно нулю.
l1 l2 a1 a2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
3. Угол между прямыми равен углу между их направляющими
векторами, а именно
a1 a2
m1m2 n1n2 p1 p2
.
cos
a1 a2
m2 n2 p 2 m2 n2 p 2
1
1
1
2
2
2
4. Прямые будут совпадать, если все три вектор будут
коллинеарными, другими словами все три строки определителя
будут пропорциональны.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть плоскость задана общим уравнением Ax By Cz D 0,
прямая l параметрическим уравнением:
x x0 t m
.
y y0 t n
z z t. p
0

6.

Подставим x, y и z из уравнения прямой в уравнение плоскости.
Тогда
A( x0 mt ) B( y0 nt ) C( z0 pt ) D 0,
t ( Am Bn Cp) ( D Ax0 By0 Cz0 ).
1) Если Am Bn Cp 0 , то
( D Ax0 By0 Cz0 ) .
Am Bn Cp
Подставим полученное значение параметра t в уравнение
прямой, получим выраженные единственным образом значения
x, y и z , которые определяют координаты
единственной точки,
являющейся точкой пересечения прямой и плоскости. Таким образом,
Am Bn Cp 0 – условие пересечения прямой и плоскости.
2) Если Am Bn Cp 0 и D Ax0 By0 Cz0 0 , то
получаем
уравнение t 0 0, t – любое число, другими словами имеем
бесконечное число решений, то есть бесконечное число точек
пересечения прямой плоскости, получается ,что прямая лежит на
плоскости.
2) Если Am Bn Cp 0 и D Ax0 By0 Cz0 0 , то t 0 0 , получаем
противоречие, следовательно, нет решений и нет общих точек, то
есть прямая и плоскость параллельны.
t

7.

Угол между прямой и плоскостью
Пусть плоскость задана общим уравнением Ax By Cz D 0,
а прямая l каноническим уравнением:
x x0 y y0 z z0
.
m
n
p
и пересекает данную
плоскость. Возможны два варианта:
n
n
a
l
l
a
а)
Рис. 1
б)
– угол между прямой и плоскостью, – угол между
направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.
Видно, что в случае а) 900 cos cos(900 ) sin (острый
0
0
угол), а в случае б) 90 cos cos( 90 ) sin (тупой угол).
Объединив, эти формулы получим: sin cos .

8.

Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой
Так как мы будем рассматривать прямую на плоскости, то ее
можно представить как пересечение плоскости Ax By Cz D 0
с координатной плоскостью Oxy
с уравнением z=0, то общее
уравнение прямой примет вид: Ax By Cz D 0,
z 0.
Тогда Ax By D 0 – общее уравнение прямой на плоскости.
Частные случаи общего уравнения прямой
1. D 0 Ax By 0 , то есть прямая проходит через начало
координат.
Ax 0
2. B 0 Ax D , то есть прямая
параллельна оси Oy .
Ax D
3. A 0 By D , то есть прямая
параллельна оси Ox .
By D
4. B D 0 Ax 0 , то есть прямая
совпадает с осью Oy .
4. A D 0 By 0 , то есть прямая
By 0
0
совпадает с осью Ox .
Ax By 0

9.

Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть M1 x1; y1 и M 2 x2 ; y2 – точки через которые проходит
заданная прямая. Вспомним соответствующее уравнение прямой в
x x1
y y1
z z1
пространстве:
.
x2 x1 y2 y1 z2 z1
x x1
y y1
Тогда отбрасывая координаты z, получим
, где
x
x
y
y
2
1
2
1
a x2 x1; y2 y1 – направляющий вектор.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая l
проходит через точки A a; 0 и B 0; b .
Представим, что x1 a, y1 0, x2 0, y2 b и подставим в уравнение
прямой, проходящей через две точки. Тогда
x a y или x y
y
1 .
a b
a b
x y
Пример:
1 .
3
2 3
0
2
x

10.

Уравнение прямой, проходящей через точку
в заданном направлении
a
Пусть направляющий вектор задан, как a0 cos ; cos .
a
Из уравнения прямой, проходящей через две точки получим
x x1 y y1
,
cos cos
cos
cos 900
sin
y y1
( x x1 )
( x x1 )
( x x1 ) tg ( x x1 ).
cos
cos
cos
Таким образом, получили уравнение прямой, проходящей через
точку M1 x1; y1 в данном направлении: y y1 k ( x x1) , где k tg .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая проходит через точку B 0; b , то есть x1 0, y1 b .
Тогда, подставив в предыдущее уравнение данные значения,
получим y kx b , где b – начальная ордината.
Экономический смысл начальной ординаты: уравнение вида
K kT b описывает процесс накопления капитала, где T – время.
Тогда при T 0 , получаем что K b – начальный капитал.

11.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Рассмотрим две прямые l1 : A1x B1 y C1 0 и l2 : A2 x B2 y C2 0
заданные общими уравнениями.
1. По аналогии с плоскостью, прямые параллельны, если их
нормальные
векторы
параллельны.
Тогда
условие
параллельности прямых можно записать как
A1 B1 или
A
A
k1 k2 , так как k1 1 ; k2 2 .
A2
B1
B2
B2
2. Прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы
перпендикулярны. Условие перпендикулярности можно записать
1
как
A1A2 B1B2 0 или k1k2 1 0 k1 .
k2
3. Угол между прямыми равен углу между нормальными векторами,
а следовательно
n1 n2
A1 A2 B1B2
cos l1,l2 cos n1,n2
.
2
2
2
2
n1 n2
A B A B
1
4. Прямые будут совпадать, если A1
A2
B1 C1
.
B2 C2
1
2
2

12.

Задания для самостоятельной работы.
1. Ответить на вопросы:
Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии?
Как найти точку пересечения двух линий, заданных своими
уравнениями? Что называется порядком алгебраической линии?
Как расположена прямая относительно декартовой системы
координат, если в ее уравнении отсутствует: а) свободный член; б)
одна из координат; в) одна из координат и свободный член?
Можно ли найти угловой коэффициент прямой, не составляя
ее уравнения, если известны две ее точки? Если да, то как это
сделать?
Как найти расстояние от данной точки до прямой,
заданной уравнением общего вида?
Напишите уравнения осей декартовой системы координат.
2. Написать каноническое уравнение прямой x 2 y z 4 0,
x y z 1 0.
3. Найти точку пересечения прямой x 2 y 3 z 1 и плоскости
1
1
4
x 2 y 3z 14 0.
4. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1), В(-5; 2) и С(-2; 3).
Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В.
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1;-1)
и образующей с осью Оу угол 60°.