Плоскость и прямая в пространстве

1. Плоскость и прямая в пространстве

2.

Определение. Уравнением поверхности
в пространстве Oxyz называется такое
уравнение между переменными x, y, z ,
которому удовлетворяют координаты
всех точек данной поверхности и не
удовлетворяют координаты точек, не
лежащих на этой поверхности.

3.

Назовем нормалью к плоскости вектор,
перпендикулярный к этой плоскости.
Обозначают нормаль
n A, B, C

4. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

Пусть точки M 0 и M лежат на
плоскости . Тогда n M 0 M и, значит,
их скалярное произведение равно нулю:
A x x0 B y y0 C z z0 0
- это уравнение плоскости, проходящей
через точку перпендикулярно вектору
.
n A, B, C

5.

M0
n A, B, C
М
M0

6. общее уравнение плоскости

Из предыдущего уравнения легко
получить общее уравнение плоскости
Ax By Cz D 0

7. Частные случаи общего уравнения

1.
Ах Ву Сz 0
плоскость проходит через начало координат.
2.
Ву Сz D 0
плоскость параллельна оси OX.
3.
Сz D 0
плоскость параллельна плоскости XOY.
Ву Сz 0
4.
Плоскость проходит через ось OX.
z 0
5.
плоскость является плоскостью XOY.
Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.

8. Уравнение в отрезках

Перенесем свободный член в правую часть
уравнения и разделим на него все слагаемые
Ax By Cz D
A
B
C
x
y
z 1
D
D
D
Введя соответствующие обозначения , имеем
õ
ó
z.
1.
à
b
ñ

9.

z
c
a
x
o
b
y

10. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) ,
M 3 ( x3 , y3 , z3 ). лежат на плоскости. Точка
M ( x , y , z ) - текущая точка плоскости.
M
M2
M1
M3

11. Запишем координаты векторов:

M 1M ( x x1 , y y1 , z z1 )
M 1M 2 ( x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1 )
M 1M 3 ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 )
Эти векторы компланарны, т.к. лежат в
одной плоскости. Следовательно их
смешанное произведение равно нулю.
Получаем уравнение:

12. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

х х1
у у1
z z1
х 2 х 1 у 2 у1 z 2 z 1 0 .
х 3 х 1 у 3 у1 z 3 z 1

13. Взаимное расположение плоскостей

14. Угол между плоскостями

Даны две плоскости Ï
и Ï
:
1
2
À1 õ Â1 ó Ñ1 z D1 0, n1 ( A1 , B1 , C1 )
À2 õ Â2 ó Ñ2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )
Тогда:
cos
А1 А2 В1 В2 С1С2
А В С А В С
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.

15. Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости перпендикулярны друг
к другу, то соответственно
перпендикулярны их нормальные
векторы
Ï 1 Ï 2 n1 n2 0
Ï 1 Ï 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0

16. Условие параллельности плоскостей

Если плоскости параллельны друг к
другу, то соответственно параллельны
их нормальные векторы:
Ï
1
Ï
2
A1 B1 C1
A2 B2 C2

17. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до
плоскости
Ах Ву Сz D 0.
d
Ахо Вуо Сz о D
А В С
2
2
2

18. Пример

Найти уравнение плоскости,
проходящей через точки
M1 1,5, 7 , M 2 3,6,3 , M 3 2,7,3
.

19. Решение

В уравнение плоскости, проходящей
через три точки, подставим координаты
данных точек:
x 1
y 5 z 7
x 1 y 5 z 7
3 1 6 5 3 7 0 4
1
10 0
2 1 7 5 3 7
2
10
3
Раскладывая определитель по
элементам первой строки, имеем
.
2 x 1 2 y 5 z 7 0 2 x 2 y z 15 0

20. Прямая в пространстве.

21.

z
a
M ( x0 , y 0 , z 0 ))
M
x
M ( x, y, z ))
0
y

22. Канонические уравнения прямой.

a (m, p, q )
прямой,
-направляющий вектор
M 0 ( x0 , y0 , z0 )-точка прямой. Тогда
a M0M
х хо у у о z z о
m
p
q

23. Параметрические уравнения (вывести самостоятельно)

t-переменный параметр.
х mt xo , y pt yo , z qt zo

24. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z 2 )
лежат на прямой. Вывод уравнения
сделать самостоятельно.
х х 1 у у1 z z 1
х 2 х 1 у 2 у1 z 2 z 1

25. Общее уравнение прямой

Прямая линия в пространстве определяется
как линия пересечения двух плоскостей

26.

А1 х В1 у С1 z D1 0 ,
А2 х В2 у С2 z D2 0 ,
n1 A1 , B1 , C1 , n2 A2 , B2 , C2
каждое уравнение отдельно- это
уравнение
плоскости,
которые
пересекаются
по
прямой.

27. Пример

Записать канонические уравнения прямой, заданной
общими уравнениями
2х у 3z 4 0 ,
х у 4z 1 0 .
Решение. Найдем точку на прямой. Пусть,
например, z = 0. Система примет вид
2 х у 4 0 ,
х у 1 0 .

28.

Сложив уравнения, получим
х 1.
Тогда из второго уравнения
у х 1 2 .
Точка на прямой А(1; -2; 0).
3х 3 0 ,

29.

Найдем направляющий вектор этой
прямой:
i
j
k
a n1 n2 2 1 3 i 11 j 3k 1;11;3 .
1 1 4
Получим канонические уравнения
прямой х 1 у 2 z
.
1
11
3

30. Взаимное расположение прямых в пространстве

31. Угол между прямыми

Угол между прямыми равен углу между
их направляющими векторами
х х1 у у1
z z1
l1 :
m1
p1
q1
х х2 у у 2 z z 2
l2 :
m2
p2
q2
cos
m1m2 p1 p2 q1q2
m p q m p q
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.

32. Параллельность прямых

Если
то
,
1 2
m1 p1 q1
а1 а2
.
m2 p2 q2

33. Перпендикулярность прямых

Если
1
2 , то
а1 а2 а1 а2 0

34. Взаимное расположение прямой и плоскости

35. Угол между прямой и плоскостью

n
φ
a

36.

Углом между прямой и плоскостью
называется угол между прямой и ее
ортогональной проекцией на
плоскость

37. Угол между прямой и плоскостью

n ( A, B, C )
a (m, p, q )
-нормаль плоскости П,
-направляющий
вектор прямой l
.
sin
2
,sin cos
Am Bp Cq
A B C m p q
2
2
2
2
2
2
.

38. Условие параллельности прямой и плоскости

Если
Аm Вp Сq 0
П , то
n
l
a

39. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Если
П , то
А B С
m p q

40. Точка пересечения прямой и плоскости

Пусть требуется найти точку пересечения
прямой õ õî y yo z zî
m
n
ð
и плоскости Àõ Âó Ñz D 0.
Запишем параметрические уравнения
прямой
õ mt xo , y nt y0 , z pt z0 .
и подставим выражения для х, у, z в
уравнение плоскости.

41.

Получим уравнение вида Mt N
относительно параметра t. Выразив t из
этого уравнения и подставив в
параметрические уравнения прямой,
найдем координаты точки пересечения
прямой и плоскости.

42.

Замечание. Если уравнение
относительно t примет вид 0t = 0 (то
есть M = N = 0), то любое
действительное значение t будет его
решением, значит, прямая и плоскость
имеют множество общих точек, то есть
прямая лежит в плоскости.

43. Пример

Найти точку пересечения прямой
х 1 у 1 z 4
2
1
3
и плоскости
3х у 5z 6 0 .

44. Пример

Написать уравнение плоскости,
проходящей через точки А(1;2;0) и
В(2;1;1) перпендикулярно заданной
плоскости –х+у-1=0.
М
В
n

45. Пример

х 1 у 2 z 3
Показать, что прямая
1
1
2
лежит в плоскости
7х 5у 6z 1 0 .
Решение. Используем
параметрические уравнения прямой
х t 1,
у t 2,
z 2t 3.

46.

Подставим в уравнение плоскости:
7 t 1 5 t 2 6 2t 3 1 0 ,
7t 7 5t 10 12t 18 1 0 , 0 0
-
Получили равенство, верное при любых
Следовательно, прямая лежит в
плоскости.

47. Пример

Найти уравнение перпендикуляра к
плоскости
x 3 y 4 z 13 0 ,
проходящего через точку А(2;-1:3), и
определить координаты основания
этого перпендикуляра.