Механика твердого тела

1. 2.6 Механика твердого тела

Абсолютно твердое тело - тело, которое ни при
каких условиях не может деформироваться (т.е.
изменять свою форму и размеры - расстояние между
двумя соседними частицами этого тела остается
постоянным).

2. 2.6.1 Момент инерции

Моментом инерции материальной точки относительно
оси
вращения
называется
скалярная
величина,
равная
J i mi ri
Моментом
инерции
2
тела
относительно данной оси
величина
(системы
n-тел)
называется скалярная
i=n
J= m i ri2
i=1
где ri - расстояние i-точки массы mi до оси,

3.

Значения J:
для полого тонкостенного цилиндра радиуса
R, ось является осью симметрии цилиндра
J = mR2
для сплошного цилиндра (диска) радиуса R,
ось является осью симметрии цилиндра
mR
J=
2
2

4.

для прямого тонкого стержня длины L:
1.
ось перпендикулярна стержню и проходит через
его середину
2.
2
mL
J=
12
ось перпендикулярна стержню и проходит через
один из его концов
2
mL
J=
3

5. 2.6.2 Момент силы

В
некоторой
точке
твердого
hi β
O
i
ri
Fi
Fτi
тела
приложена
β
Сила
i
сила
лежит
Fi
.
в
плоскости
перпендикулярной оси
вращения.
Моментом силы относительно оси вращения называют
векторное произведение радиуса-вектора на силу:
M i ri Fi

6.

Раскрывая векторное произведение
M i ri Fi sin
где β – угол между векторами ri и Fi
Величина
hi ri sin
называется плечом силы.
Поэтому:
M i Fi hi

7. 2.6.3 Кинетическая энергия вращения абсолютно твердого тела

Кинетическая энергия вращения абсолютно твердого
тела
вращающегося около неподвижной оси z с
угловой скоростью ω
J z
Wвр
2
2
где Jz - момент инерции тела относительно оси z.

8.

Если цилиндр скатывается с наклонной плоскости
без
скольжения,
складывается
из
то
кинетическая
энергии
энергия
поступательного
движения и энергии вращения
mv J c
Wk
2
2
2
c
2
где m - масса тела, vc - скорость центра массы
тела, Jc - момент инерции тела относительно оси,
проходящей через его центр массы, ω - угловая
скорость тела.

9. 2.6.4 Уравнение динамики вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения твердого
тела относительно неподвижной оси z выглядит так:
d
Mz Jz
J z
dt
Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей
через центр масс, то
M J
здесь J - главный момент инерции тела (момент инерции
относительно главной оси), -угловое ускорение, ω - угловая
скорость тела.