Производная функции

1.

ТЕМА: Производная функции
ВОПРОС 1. Определение производной функции
одной переменной
ВОПРОС 2. Правила дифференцирования
ВОПРОС 3. Правило Лопиталя
ВОПРОС 4. План полного исследования
функций
ВОПРОС 5. Частные производные функции
нескольких переменных. Производная сложной
функции нескольких переменных
ВОПРОС 6. Наибольшее и наименьшее значения
функции

2.

1.
Определение. Производной функции y f (x) в точке x0 называют предел
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,
когда приращение аргумента x стремится к 0 (при условии, что этот предел
существует)
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
lim
f ( x0 )
x 0 x
x 0
x
Геометрически
производная
определяет
касательной к графику y f (x) в точке
Уравнение касательной к кривой:
угловой
x0 , f ( x0 ) .
коэффициент
y y0 f x0 x x0 ,
уравнение нормали к кривой:
y y0
Физический смысл:
изменения функции
y
1
x x0 , если
f x0
f ( x0 )
при
f ( x0 ) 0
характеризует мгновенную скорость
x x0 .

3.

1.
u
Таблица производных
u 1 u x
x
u
2.
x
1
u x
2 u
4.
1
1
2 u x
u
u x
sin u cos u u
5.
cos u x sin u u x
3.
6.
7.
x
tg u x
1
2
u x
cos u
сtg u x 21 u x
sin u
a
u
8.
x
e
u
x
x
a ln a u x
u
e u
u

4.

1.
1
ln u x u x
u
2.
log a u x
1
u x
u ln a
arcsin u x
3.
arccos u x
4.
5.
6.
arctg u x
1
1 u
1
1 u2
1
1 u2
arcctg u x
2
u x
u x
u x
1
u x
2
1 u

5.

2.Правила дифференцирования
1.
2.
3.
4.
5.
с 0
u v u v
u v u v v u
(cu) cu
u u v v u
v2
v
6.
y y u( x) , y x yu u x
7.
1
x y
,
y x y x 0

6.

1.
2.
3. Пр
x x(t ) t
y y (t ) a x b
yt
y x , xt 0
xt
F x, y 0
Fx ( x, y )
y x
Fy ( x, y )

7.

3. Правило Лопиталя
Теорема (Лопиталя). Если функции
1)
f x и x :
дифференцируемы в некоторой окрестности точки
исключением, быть может, самой точки
x x0 одновременно
2)
при
бесконечно большими,
3)
x 0
4)
существует
x0
являются бесконечно малыми или
отношения
производных
lim
f x
lim
x x 0 x
(конечный или бесконечный), то существует и предел x x 0
справедлива формула
за
,
в этой окрестности,
предел
x0 ,
f x
f x
lim
lim
x x x
x x x
f x
x , причем

8.

4. План полного исследования функции:
I. Область определения и область непрерывности:
1) если есть точки разрыва, установить их характер, найдя пределы слева
и справа;
2)
выяснить, не является ли
функция четной (график симметричен относительно OY ) или нечетной
(график симметричен относительно начала координат), периодической;
3) точки пересечения с осями координат.
II. Асимптоты.
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной
точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность
стремится к 0 (Точка удаляется в бесконечность, если ее расстояние от
начала координат неограниченно увеличивается).

9.

Прямую
x x0 называют вертикальной асимптотой графика функции
y f (x) ,
lim
x x0 0
Прямую
f x
если
хотя
бы
lim
f x
или x x 0 0
одно
из
равно
y kx b (k 0)
графика функции y f
можно представить в виде:
(x)
при
предельных
или
значений
.
называют наклонной асимптотой
x , если функцию f (x)
f ( x) kx b ( x), где ( x) 0 при
x
В этом случае
f ( x)
k lim
b lim f ( x) kx
,
x x
x

10.

В частности, если функция
x :
y f (x)
f (x)
стремится к конечному пределу при
k 0
lim f ( x) b , то, очевидно,
x
и линия
имеет горизонтальную асимптоту, параллельную оси
OX
,
y b
именно
.
I. Точки экстремума, интервалы возрастания и убывания.
Теорема (Достаточный признак монотонности)
Если
на
некотором
f ( x) 0 f ( x) 0
(убывает
).
промежутке
для
x X
X
, то на
f (x)
X
имеет
производную
функция возрастает

11.

Теорема (Необходимое условие экстремума)
Если
f (x)
дифференцируема в точке
x0
и имеет в этой точке
экстремум, то f x0 0 .
Функция может иметь экстремум среди точек, в которых:
1)
f ( x) 0 ,
2)
f (x) ,
f (x) – не существует, где
x D( f ) .
3)
Точки всех этих типов – критические точки функции.

12.

Теорема (Достаточное условие экстремума)
Пусть
точки
f (x)
x
O
0
дифференцируема в
(кроме, быть может, самой
x0 ). Если
x x0 – критическая точка
f (x) при переходе через точку
x0
f (x) и производная
меняет знак, то функция имеет в
данной точке экстремум:
максимум, если знак производной меняется с «+» на «–»,
минимум, если знак производной меняется с «–» на «+».

13.

I. Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.
x
0 , если
Определение. Кривую y f (x) называют вогнутой в точке
существует такая окрестность точки x0 , в которой кривая расположена над
касательной, проведенной к ней в точке x0 (рис. 5).
y
0
x0
Рис. 5
x

14.

Определение. Кривую
y f (x)
называют выпуклой в точке
если существует такая окрестность точки
x0
, в которой кривая
расположена под касательной, проведенной к ней в точке
y
0
x0
Рис. 6
x
x0 ,
x0
(рис. 6).

15.

Теорема (Достаточное условие выпуклости
(вогнутости))
Если во всех точках
(a, b) : f " ( x) 0 f " ( x) 0 ,
то кривая y f (x) на этом интервале выпукла
(вогнута).
Определение. Точку, отделяющую выпуклую часть
непрерывной кривой от вогнутой, называют точкой
перегиба кривой.
Теорема (Достаточное условие перегиба)
Если
f " ( x0 ) 0 или не существует и при переходе
через
x0
f " ( x)
x0
меняет знак, то точка кривой с
абсциссой
будет точкой перегиба.
I. Построение графика.

16.

5. Частные производные функции нескольких
переменных. Производная сложной функции
нескольких переменных
Определение.
Частной
производной
функции
x
в точке M 0 x0 , y0
называется предел отношения частного приращения
z z x, y по переменной
x
функции z x, y по
к приращению по
неограниченном убывании последнего к нулю:
x
при
xz
z x0 x, y0 z x0 , y0
z x M 0 lim
lim
x 0 x
x 0
x
z
Другое обозначение: x .

17.

Таким образом, частная производная функции
z z x, y по переменной x вычисляется в
предположении, что значение y постоянно.
Аналогично:
z x0 , y0 y z x0 , y0
z y M 0 lim
lim
y 0 y
y 0
y
yz
z
Другое обозначение: y .

18.

Частная производная функции
переменной
значение
x
y
z z x, y
по
вычисляется в предположении, что
постоянно.
Частные производные функции z x, y
сами
являются функциями этих же переменных и могут
иметь производные, которые называются частными
производными второго порядка.

19.

20.

21.

;
Пусть дана функция
v v x, y .
z f u, v , где u u x, y
z z u z v
Тогда x u x v x ,
z z u z v
y u y v y . (см. рис. 7)

22.

23.

Если
z f x, u, v ,
а
v v x , то
dz z
z du z dv
1
dx x
u dx v dx
u u x ,
(см. рис. 8)

24.

25.

6.. Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее или наименьшее из всех значений
нельзя смешивать с максимумом или минимумом
функции, которые являются наибольшим или
наименьшим значением функции только по
сравнению с ее значениями в соседних точках.
Функция z f x, y , непрерывная в некоторой
D , обязательно
ограниченной замкнутой области
имеет в этой области наибольшее и наименьшее
значения. Эти значения достигаются ею или в точках
экстремума, лежащих внутри области
точках, лежащих на границе области.
D ,
или в

26.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значения
функции
z f x, y
в ограниченной замкнутой
D , где она непрерывна,
области
руководствоваться следующим правилом:
1. Найти критические точки, лежащие
можно
внутри
области D и вычислить значения функции в этих
точках.
2. Найти наибольшее или наименьшее значения
функции на границе области D .
3. Сравнить полученные значения функции: самое
большее из них и будет наибольшим, самое меньшее
– наименьшим значением функции в области D .